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物理/電流と磁界

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( 電流の単位 アンペア(A) )
( 応用;電動機 )
 
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*[[wikipedia_ja:ビオ・サバールの法則|ウィキペディア(ビオ・サバールの法則)]]
*[[wikipedia_ja:ビオ・サバールの法則|ウィキペディア(ビオ・サバールの法則)]]
をご覧ください。
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=== 電流と電荷の単位  ===
 
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==== 電荷の単位 クーロン(C) ====
 
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1秒間に1アンペアの電流によって運ばれる電荷(電気量)を1クーロン(1C)という。<br/>
 
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[[電気素量>http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E9%9D%99%E9%9B%BB%E6%B0%97%E3%81%A8%E9%9D%99%E9%9B%BB%E5%A0%B4#.E5.B8.AF.E9.9B.BB.E3.81.A8.E9.9B.BB.E6.B0.97.E7.B4.A0.E9.87.8F ]]の約0.624×1019倍である。<br/>
 
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== 磁界が電流に及ぼす力 ==
== 磁界が電流に及ぼす力 ==
アンペールは、電流は磁石に力を与えるので、(作用・反作用の原理から)磁石は電流に力を与えるはずであると考えた。<br/>
アンペールは、電流は磁石に力を与えるので、(作用・反作用の原理から)磁石は電流に力を与えるはずであると考えた。<br/>
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この事実にもとずいて、次のように、電流の単位が定められる。
この事実にもとずいて、次のように、電流の単位が定められる。
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====電流と電荷の単位====
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===電流と電荷の単位===
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=====電流の単位 アンペア(A)  =====
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1mの間隔の2本の直線状の電線に、等しい大きさの電流を流したとき、<br/>
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それぞれの電線の1mあたりに、2×107N/m の力が作用する時、<br/>
それぞれの電線の1mあたりに、2×107N/m の力が作用する時、<br/>
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この電流(の大きさ)を1Aと決める。<br/>
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この電流(の大きさ)を1アンペア(A)と決める。<br/>
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*[[wikipedia_ja: アンペア|ウィキペディア(アンペア)]]
すると(1)式より、2×107[N/m]=k1[A2]1[m], <br/>
すると(1)式より、2×107[N/m]=k1[A2]1[m], <br/>
故に比例定数は、k=2×107[N/A2]=μ02π。<br/>
故に比例定数は、k=2×107[N/A2]=μ02π。<br/>
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ここで、μ0=4π×107[N/A2]は真空の透磁率とよばれる。
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ここで、μ0=4π×107[N/A2]は'''真空の透磁率'''とよばれる。
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=====電荷の単位 クーロン(C)  =====
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電荷の単位は、'''クーロン'''([C])とよばれ、電流を利用して決められる。
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1アンペアの電流によって1秒間に運ばれる電荷量を1クーロン(1C)という。<br/>
*[[wikipedia_ja:クーロン|ウィキペディア(クーロン)]]
*[[wikipedia_ja:クーロン|ウィキペディア(クーロン)]]
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電気素量は、e=1.6×1019[C]
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=====電気素量 =====
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電気素量は、e=1.6×1019[C]<br/>
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その計測法については以下を参照のこと。
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*[[wikipedia_ja:電気素量|ウィキペディア(電気素量)]]
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====平行電流に働く力の近接作用による表現====
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===平行電流に働く力の近接作用による表現===
電流I1は、電流I2が作った磁界から力を受けると考え、1mあたりに働く力の大きさFを、F=μ02πI1,I2R=I1μ0I22πRと変形。直線電流I2が作る磁界は、電流I1のところでは、大きさがHI2(R)=I/2πR  であり、I1と直交している。そのためF=I1μ0HI2(R)=I1μ0HI2(R)sin(π/2) と書ける。
電流I1は、電流I2が作った磁界から力を受けると考え、1mあたりに働く力の大きさFを、F=μ02πI1,I2R=I1μ0I22πRと変形。直線電流I2が作る磁界は、電流I1のところでは、大きさがHI2(R)=I/2πR  であり、I1と直交している。そのためF=I1μ0HI2(R)=I1μ0HI2(R)sin(π/2) と書ける。
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==== 磁束密度と磁束====
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=== 磁束密度と磁束===
'''B=μ0H''' で、'''磁束密度'''という変量を導入する。すると、磁束密度Bと直交する電流 I には1mあたり、 F=I|B|=I|B|sin(π/2) の力が働く。 <br/>  
'''B=μ0H''' で、'''磁束密度'''という変量を導入する。すると、磁束密度Bと直交する電流 I には1mあたり、 F=I|B|=I|B|sin(π/2) の力が働く。 <br/>  
9章で学んだ磁力線の本数を、Bと直交する単位面積(1㎡)あたりB(=|B|)本書くとする。すると、磁力線と直交する面積 S には、Φ=BS 本の磁力線が貫くことになる。つらぬく磁力線の総本数Φ を'''磁束'''と呼ぶ。 <br/>
9章で学んだ磁力線の本数を、Bと直交する単位面積(1㎡)あたりB(=|B|)本書くとする。すると、磁力線と直交する面積 S には、Φ=BS 本の磁力線が貫くことになる。つらぬく磁力線の総本数Φ を'''磁束'''と呼ぶ。 <br/>
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*[[wikipedia_ja:磁束密度|ウィキペディア(磁束密度)]]
*[[wikipedia_ja:磁束密度|ウィキペディア(磁束密度)]]
を参照のこと。
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=== 磁界中の電流がうける力===
=== 磁界中の電流がうける力===
① 磁界が同じならば、それが何によって作られたものであるかに関係なく同じ力をうけるはずである。 <br/>
① 磁界が同じならば、それが何によって作られたものであるかに関係なく同じ力をうけるはずである。 <br/>
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=a×c+b×c=a×c+bc。証明終わり。<br/>
=a×c+b×c=a×c+bc。証明終わり。<br/>
性質3の証明;ベクトル積と(e1,e2,e3) の定義から、明らかである。 
性質3の証明;ベクトル積と(e1,e2,e3) の定義から、明らかである。 
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=== 応用;電動機 ===
 
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=== ローレンツ力 ===
=== ローレンツ力 ===

2016年9月22日 (木) 10:43 時点における最新版

目次

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「 5.3 電流と磁界 」

この節では静止した電荷でなく動く電荷の性質をしらべる。

 電流 

電荷の流れを電流という。
多くの場合は、導体中の自由電子が動いて電流となる。
電解液(イオン溶液ともいう)では、正負のイオンが動いて電流となる。
電流によって電荷は移動し、後に学ぶように、磁界を発生する。

 直流電流・電圧と交流電流・電圧 

時間がたっても向きも大きさも変化しない、電流のことを(狭義の)直流電流、電圧のことを(狭義の)直流電圧という。単に方向だけを変えない電流を(広義の)直流電流、同じく電圧を、(広義の)直流電圧という。
これに反して、時間とともに方向を変える、電流、電圧を、それぞれ、(広義の)交流電流、交流電圧という。さらにその大きさが、時間とともに三角関数にしたがって変化する時、(狭義の)交流電流、交流電圧という。以下を参照のこと。

 電流の向き

電流の向きは、正の電荷の流れる向きと定める。
電子が移動する電流のばあい、電流の向きとは逆に電子は動いている。

 電流が作る磁界 

電流は磁界をつくる。エルステッドは1820年に電流は方位磁針を動かす磁界を作り出すことを発見。 本節では電流は直流電流に限定する。ゆっくりと変動する電流にたいしても、近似的に同様の性質が成り立つ。

 無限に長い直線導線に電流Iを流す時にできる磁界H  

実験によると、任意の点Pの磁界H(P) は、大きさは、電流の大きさ I に比例、電流からP点までの距離 r に反比例し、向きは、導線とP点を含む平面に直角で、右ねじの進行方向を電流の方向と一致させたときの、ねじの回転する方向である。

 アンペールの研究 

アンペールは、詳しい実験と考察により、任意の形状の電流の作る磁界に関するアンペールの法則を明らかにした。
この過程で、実験により、次の重要な原理を発見した。

 磁界の重ね合わせの原理 

電流I1 がP点に作る作る磁界をH1(P),電流I2 がP点に作る作る磁界をH2(P) とすると、
2つの電流I1と I2 が同時に流れた時にP点に作る作る磁界はH1(P)+H2(P)

 環状の電流は磁石のようにふるまう 

電流が流れている環状の線が作る磁場は、環の大きさに比べて十分離れたところでは、この環を縁とする板磁石のつくる磁界と同じになる。

 アンペールの法則 

アンペールは,実験で明らかにした以上の事実から、次のような重要な法則を導いた。

この記述中の「閉じた経路にそって磁場の大きさを足し合わせ」た値は、この経路にそって1Wbの磁荷を一周するとき磁荷が磁界から受ける仕事と同じ値である。
この値がこの閉路を貫く電流 I に等しくなる、というのがアンペールの法則である。 
この電流 I の向きは、電流の向きに進む右ねじの回転方向が、磁荷が閉路を一周するときの回転方向と一致するように定める。
なお、アンペールの法則の導出は少し難しいので、高校では扱わない。

 アンペールの法則の応用 

アンペールの法則を用いると、対称性をもついろいろな電流の作る磁界が、実験をしなくても、数式の計算だけで求められる。

 無限に長い直線導線に電流Iを流す時にできる磁界H 

直線電流から無限に離れた点の磁界は零と仮定してよい。 直線電流を軸とした回転で対称な現象なので、Hは、導線からの距離 r が等しい場所の電界は、この軸の周りの回転で一致するため、大きさはすべて等しい。この値をH(r)と書く。
任意の点Pに電流 I がつくる磁界をHIとすると重ね合わせの原理から、同じ大きさの電流を逆に流すとき、P点の磁界はHI=HI。 これを上下逆にしてながめると、対称性からHI とおなじにみえなければならないので、HIは、P点を始点として、O(P)Pと直交したベクトルである(ここでO(P)はP点から直線電流におろした垂線の足)。
さらに直線状の導線から距離r1r2にある長さlの線分を対辺とする長方形にアンペールの法則を用いると「HIのIと平行な成分」は電流からの距離に無関係な値になることが分かる。無限遠点では零なので、どこでも零であることが分かる。ゆえに磁界は電流と直交。
その向きは、「電流と垂直に交わり、かつ、電流を中心とする半径 r の円」の接線の、(電流の方向に進む)右ねじの回転方向である。従って、この円に沿って1Wbの磁荷を一周させるとき、磁荷の受ける仕事は、2πrH(r)となる。アンペールの法則から、 I=2πrH(r) ∴H(r)=I/2πr

 ソレノイドの作る磁界

円筒形の長い中空の筒に導線を一様に密にまいたコイルをソレノイドという。1mあたりn巻きしているとする。これに電流Iを流した時にできる磁界を求めよう。 
厳密な解は難しいので、近似解をアンペールの法則から求めよう。
コイルを流れる電流はコイルの各場所で右ねじの方向の磁界を発生させる。これらがある場所では強めあい、他の場所では弱めあって、現実の磁界が出来る。
ソレノイドの外側の側面の近くの磁界は、反対側の側面の電流のつくる磁界と弱めあい、ほぼ零。
= ソレノイドの内側の磁界はつよめあうので大きい。ソレノイドが、その軸のまわりの回転に関して対称なので、磁界の方向はソレノイド軸と平行で、磁界の大きさは、軸からの距離の等しいところでは同じ。
さらに軸からの距離に関係なく同じ大きさ(Hと書く)であることが、アンペールの法則から、次のように証明できる。
軸に平行で、軸からの距離r1と軸からの距離r2の長さlの線分を対辺とする、ソレノイド内部の長方形を考えろ。これにそって1Wbの磁荷を動かす時に磁荷の受けるエネルギーは、この長方形を貫く電流の大きさ零に等しい。これより導ける。
内側の磁界の大きさは、H=nI。 
何故なら、ソレノイドの軸と平行で長さがlの2本の線分
(一方はソレノイドの外側で側面に近いもの、他方はソレノイド内部)
を対辺とする長方形を考え、これにアンペールの法則を適用すれば、
これを一周する1Wbの磁荷のうける仕事=Hl,
これがこの長方形を貫く電流総和=nlI に等しい。

 もっと一般の電流の作る磁界 

アンペールの法則から直接計算するのは難しい。
アンペールの法則と磁界の重ね合わせの原理から、
磁界計算に大変都合のよい、ビオ・サバールの法則がえられる。
これについては大学で学ぶ。興味のある方は

をご覧ください。

 磁界が電流に及ぼす力 

アンペールは、電流は磁石に力を与えるので、(作用・反作用の原理から)磁石は電流に力を与えるはずであると考えた。
さらに電流は磁石と同じ作用を持つので、電流は電流に力を及ぼすと考え、実験で次の事実を明らかにした。

 2本の平行な直線状の電流が及ぼしあう力 

2本の平行な導線に、それぞれ電流I1,I2を流すと、それらの電流の単位長さあたりには、次のような力Fが働く。
大きさはF=kI1,I2R, , ,(1)
ここでR は平行線間の距離、kは正の比例定数。Fの単位は[N/m]
Fの向きは、
I1I2が同じ向きならば相手の電流から引力をうけ、相手の導線へおろした向きつき垂線とおなじ向き、
電流の向きが異なるならば斥力で、相手の導線へおろした向きつき垂線と逆の向きとなる。
この事実にもとずいて、次のように、電流の単位が定められる。

電流と電荷の単位

電流の単位 アンペア(A)

1mの間隔の2本の直線状の電線に、等しい大きさの電流を流したとき、
それぞれの電線の1mあたりに、2×107N/m の力が作用する時、
この電流(の大きさ)を1アンペア(A)と決める。

すると(1)式より、2×107[N/m]=k1[A2]1[m],
故に比例定数は、k=2×107[N/A2]=μ02π
ここで、μ0=4π×107[N/A2]真空の透磁率とよばれる。

電荷の単位 クーロン(C)

1アンペアの電流によって1秒間に運ばれる電荷量を1クーロン(1C)という。

電気素量

電気素量は、e=1.6×1019[C]
その計測法については以下を参照のこと。

平行電流に働く力の近接作用による表現

電流I1は、電流I2が作った磁界から力を受けると考え、1mあたりに働く力の大きさFを、F=μ02πI1,I2R=I1μ0I22πRと変形。直線電流I2が作る磁界は、電流I1のところでは、大きさがHI2(R)=I/2πR であり、I1と直交している。そのためF=I1μ0HI2(R)=I1μ0HI2(R)sin(π/2) と書ける。

 磁束密度と磁束

B=μ0H で、磁束密度という変量を導入する。すると、磁束密度Bと直交する電流 I には1mあたり、 F=I|B|=I|B|sin(π/2) の力が働く。
9章で学んだ磁力線の本数を、Bと直交する単位面積(1㎡)あたりB(=|B|)本書くとする。すると、磁力線と直交する面積 S には、Φ=BS 本の磁力線が貫くことになる。つらぬく磁力線の総本数Φ を磁束と呼ぶ。 
点Pでの磁束密度B(P)は、その点での磁力線の方向と磁束の密度を表す。
磁束密度については

を参照のこと。

 磁界中の電流がうける力

① 磁界が同じならば、それが何によって作られたものであるかに関係なく同じ力をうけるはずである。
したがって磁界Hに直行する電流Iの受ける力は、
1mあたりF=μ0IH=IBの大きさで、
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向。
② それでは、磁界と電流が直交しないときに受ける力はどうなるのだろうか。
実験によると磁界と電流が平行ならば、電流は磁界から力を受けないことが確かめられる。
これら2つの事実から、電流と磁界のなす角度をθ とすると、
磁界中の電流に働く、単位長さ当たりの、力Fは、
大きさがF=μ0IHsinθ=IBsinθ
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向,のベクトル
であることが示せる。

 ベクトル積またはクロス積

電流が磁界から受ける力Fは、以下の、ベクトル積(クロス積とも呼ばれる)を使うと正確に、簡単に記述できる。

これを用いると、磁界から電流の受ける力は,1mあたり、
F=μ0I×H=I×B (10-1)
ここで、 I は、大きさがIで、方向が電流の方向と一致するベクトルで、電流ベクトルと呼ばれる。

ベクトル積の性質 

a,b,cを2次元あるいは3次元ベクトルとする。
性質0.a を, bと垂直な成分a と, 平行な成分a の和に分解するとき、
a×c=(a+a)×c=a×c
性質1.a×b=b×a
性質2.(a+b)×c=a×c+b×c 
性質3.(e1,e2,e3) をそれぞれ長さ1で互いに直交し、右手系をなす、ベクトルとする。この時、
e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2
性質0の証明;ベクトル積の定義から明らかである。
性質1の証明;ベクトル積の定義から明らかである。
性質2の証明;① a,b とc が直交する場合。
a×cは、aを、cと垂直な平面H内で90度回転(右ねじをaからcへ回した時の進行方向)して、長さをc=|c|倍したベクトル。b×cは、同じ平面H内でbを、同じ方向に、90度回転して、長さをc=|c|倍したベクトル。(a+b)×cも、同じ平面内を同じ向きに90度回転し、長さをc=|c|倍したベクトル。従ってabから作られる平行四辺形とa×cb×cからつくられる平行四辺形は相似となり、(a+b)×c=a×c+b×cが示せる。 
② 一般の場合。
性質0より、cと垂直な成分を表すとすると、 (a+b)×c=(a+b)×c(1)
(a+b)=a+bなので、(1)式は、
=(a+b)×c,①より、
=a×c+b×c=a×c+bc。証明終わり。
性質3の証明;ベクトル積と(e1,e2,e3) の定義から、明らかである。 

 ローレンツ力 

磁界中では電流は力を受ける事が分かった。電流とは運動する電荷なので、運動する電荷は磁界から力を受けることになる。
それでは、速度v で運動する電荷eはどのような力を受けるのだろうか。 
電流に働く力から、この力を導こう。
導線の断面積をS[m2]とし、そこを電荷e(>0)が、電流方向に速さ v[m/s]で運動(実際には電荷e の自由電子が、電流と逆方向に速さvで運動)しているとする。自由電子の密度をn[個/m3]とする。

 電流 I と電荷の速さ v との関係 

電流がI[A]なので、定義から導線のある断面を通過する電荷量は毎秒I[C/s], 他方、その断面を通過する電荷の個数は毎秒Svn個である。 ∴ I=Svne  

 一個の電荷が磁界から受ける力 

従って、電流ベクトルI と電荷の速度ベクトルv の間には、I=Snev 
(10-1)式の右辺に、上式を代入すると、 F=Snev×B
これが導線1mの受ける力であるが、導線1m中には電荷はSn個あるので、一個の電荷(速度v)の受ける力は、
f=ev×B

 ローレンツの法則 

電界E ,磁束密度 B の中を、速度v で運動する電荷 q は、 f=q(E+v×B) の力を受ける。これをローレンツの法則という。
電荷に働く電磁気的な力は、必ずローレンツの法則を満たすことが実験で確かめられている。 
次の解説を参照のこと。

 一様な静磁界のなかの荷電粒子の運動 

一様な磁界(磁束密度Bが一定)の中で、電荷 q はどのように運動するか、調べよう。但し重力の影響は無視する。
電荷の時刻tでの位置をr(t),その時の速度をv(t) 、加速度をα(t)とおくと、粒子の運動方程式は
mα=mdv/dt=qv(t)×B (1) 
磁界に垂直に電荷を速さvで入射する。
「上式の右辺で表される電荷の受ける力」の方向は電荷の速度ベクトルv(t) と磁界B の双方に垂直で、右ねじを速度ベクトルから磁界のほうに回した時のねじの進行方向である。電荷は受ける力の方向に向きを変えるので、絶えず磁界に垂直な方向に向きを変える。従って、電荷は磁界と垂直な1つの平面上を向きをかえながら進行する。
この間電荷は、進行方向に直角の力を受け続けるので、電荷は磁界からエネルギーを受け取らない。従って、運動エネルギー保存則より、電荷の速さは入射時の速さvを保持する。
したがって、電荷は進行方向と直角の方向に、大きさが一定qvBの力を受け続けて等速 v で運動するので、曲がり方も絶えず一様となり、等速vで円軌道を描くことが分かる。この半径を r と書くと、「2章 力学(1) 速度、加速度とヴェクトル」の「2.2.2.3 等速円運動の加速度」の式から、加速度の大きさはα=v2/rであり、また、(1)式の両辺のベクトルの大きさが等しいことからmα=qvBなので、半径はr=mv/(qB) である。

 磁界中を動く導体に発生する起電力 

導体は膨大な個数の正電荷(原子核)と負電荷(電子)を持っている。導体を磁界中で動かすとこれらの電荷は、磁界中を動くことになり、磁界からローレンツ力を受ける。
大部分の電荷はお互いにしっかり結合して金属を構成しているため動かないが、自由電子は自由にうごけるので、磁界からうける力の方向に移動する。
こうして、磁界中を動く導体には、起電力(電気を流す力)が発生する。

 磁界中を動く導体の棒に発生する電界 

導体の棒を磁界中で動かすと起電力が発生し、自由電子は移動する。自由電子が貯まって行く側は負に帯電し、反対側は自由電子が少なくなるので、正に帯電していく。
すると導体内に電界が発生し急速に強くなっていく。それに伴い導体内の自由電子は、この電界から、ローレンツ力と逆向きで、急速に増加する力を受けるので、瞬時に2つの力がつりあい、自由電子の移動が止まり、平衡状態になる。

一様で一定の磁界(磁束密度B)中を、これと垂直に長さlの導体の棒を速度vで平行移動させる場合に、平衡状態の電界Eを求めよう。
平衡状態では電荷にかかる2つの力の合力は零なので、E(e)ev×B=0が成立する。
両辺を -e で割れば、E+v×B=0
ゆえに、E=|E| とおくと、E=|v×B|=vBsin(π/2)=vB ゆえに、E=vB。これが導体の棒に発生する電界である。棒の長さを lとすると、棒の両端間の電圧は、V=El=vBlである。

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