線形計画法

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2021年1月17日 (日) 11:43時点における版

メディア:Example.ogg線形計画法は線形計画法（Wikipedia）に説明がある.

解法には

シンプレックス法（Wikipedia）や内点法（Wikipedia）がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい．

ここでは2つの例を用いて説明する.　Microsoft　Excel　のソルバーを用いた解法例も説明する.

生産計画

例題1

ある製造会社があって, $x$ と $y$ という２種類の製品の製造販売をしている. これらを製造するには, 原材料$A$，$B$，$C$が必要で, $x$, $y$をそれぞれ1単位当たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている．

原材料＼製品	x	y	在庫量
A	10	20	400
B	20	10	600
C	15	40	1300

$x$, $y$を販売するとそれぞれ1単位当たり２万円, 1万円の利益が得られる. 問題は, 表の在庫量の範囲で, $x$と$y$をそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大になるかである。

線形計画法(1)

これを数式化すると, $x$, $y$の製造量を$x$, $y$で表すとして：

原材料$A$, $B$, $C$についての制約から

$ 10x+20y\leq 400 \qquad (1) \\ 20x+10y\leq 600 \qquad (2) \\ 15x+40y\leq 1300 \qquad (3) $

負の生産量はないのであるから

$ 0\leq x \qquad (4) \\ 0\leq y \qquad (5) \\ $

利益は

$ f(x,y)=2x+y \qquad (6) $

で結局, (6)を$(1)\sim (5)$の条件のもとで最大にすることになる。

下の図は関数$f(x,y)=2x+y$の図である。

(図1.0)

条件$(1)\sim (5)$を充たす点$P=(x,y)$は下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。

(図1.1)

この凸多角形の頂点を $ P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4) $ とすると,

内部の点$P=(x,y)$はこれらの頂点$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$によって

$ (1) \qquad P=\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4 \\ (2) \qquad \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4 =1 \\ (3) \qquad 0 \le \lambda_0 \le 1,~~0 \le \lambda_1 \le 1,~~2 \le \lambda_2 \le 1, 0 \le \lambda_3 \le 1,~~0 \le \lambda_4 \le 1 $

で表される。これを$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$の凸結合という．

$ f(x,y)=2x+y \qquad (6) $

には「線形性」が成り立っている.

これは $ P=(x,y),Q=(x',y') $

と$\alpha,\beta$について,

$ f(\alpha P+ \beta Q)=f(\alpha (x,y)+\beta (x',y')) =\alpha f(x,y)+\beta f(x',y')=\alpha f(P)+\beta f(Q) $

という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。

まず各頂点での関数$f$の値

$ f(P_i)=f(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4 $

のうち最大値を$f(P_*)=f(x_*,y_*)$とする.

凸多角形の内の任意の点$P=(x,y)$に対する$f(P)=f(x,y)$は

$P$が$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$ の凸結合で表されることから

$ f(P)=f(\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4)$

さらに$f$の線形性から

$ 右辺=\lambda_0 f(x_0,y_0) + \lambda_1 f(x_1,y_1) +\lambda_2 f(x_2,y_2)+\lambda_3 f(x_3,y_3)+\lambda_4f(x_4,y_4) （ｆの線形性） $

$f(P_*)=f(x_*,y_*)$が最大で,(3)のように各$\lambda_i$は正の数($1 \ge \lambda_i \ge 0$)であるから,

$ 右辺\le (\lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4)f(x_*,y_*)\\ $

さらに,(2)から

$ \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4= 1 $

で

$ f(P)=f(x,y) \le f(x_*,y_*)=f(P_*) $

となる。結局,関数$f$の制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、

頂点での関数$f$の値を調べれば良いことが判る．

(図1.2)

$(1)\sim(5) $式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ, $(6)$式のように評価関数も1次式で与えられる問題は線形計画法と呼ばれる.

線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での関数$f$の値を効率的に調べる方法である。適当な,頂点から始め,関数$f$の値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す．

この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。

線形計画法(2)

例題2

ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする．　また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.

原材＼製品名	A	B	C	使用できる上限
Ⅰ	4	0	7	90
Ⅱ	1	3	9	60
Ⅲ	6	0	14	110
Ⅳ	4	10	1	75

この問題も例題1と同じように以下のように数学的に定式化される．製品A,B,Cをそれぞれ$x_1,x_2,x_3$ 単位生産するとき$x_1,x_2,x_3$は以下の不等式を満たす.

$ 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) $

さらに各製品生産量は負ではないから

$ 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 $

この制約条件のもとに

$ L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 $

を最大にする$x_1,x_2, x_3$を求めよ.

この問題の解法にはシンプレックス法や内点法がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい．

この問題を解くのにはMicrosoft ExcelのソルバーやフリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる. この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。

Microsoft Excelのソルバー　を用いる.

ソルバーの導入
Excel　の　メニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である．

そのままソルバーによる解法の例を実行する．　

Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合
- ファイル　>　オプション　>　アドイン　の順に選択
- アドインの表示窓　アクティブでないアプリケーションにExcelソルバー　があることを確認
- 画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後，設定(G)をクリック
- 有効なアドインが小窓で表示される.　その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.

ソルバーによる解法の例　
- Excelに下記の作成例のように表１のデータを作成する.

この作成例ではセル　B2,C2,D2　が　製品A,B,Cのそれぞれの生産量 $x_1,x_2,x_3$を表す.

- 線形の一次式

$ 4x_1+0x_2+7x_3\\ 1x_1+3x_2+9x_3 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 $

をE3, E4, E5, E6に入力している.

ここで,sumproduct(B4:D4,B$2:D$2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2　であり$4x_1+0x_2+7x_3$　を表す．

- F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.

- E7には

$ L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 　　 $

を表す式を入力している．

- 表のデータを入力後,
  - メニュー　「データ」，「分析」，「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く．

- - 目的の設定という欄にセルE7を指定する　
  - 目標値には「最大値」を選択し，チェックを入れる．
  - 変数セルの変更欄にはx_1,x_2,x_3を表すセルB2からD2をドラックして指定する．

- - 制約条件の対象の欄には

この例題の制約条件式

$ 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　 $

を表す式を入力する．　　このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ, 例えば

$4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90$

を表す式を入力するのであればセルの参照欄に$4x_1+0x_2+7x_3$を表すセルE3を指定 ≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する．入力後さらに「追加」をクリックし他の３つの制約条件式も同様に入力する．

- - さらに, 制約条件式

$ 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3　 $ を入力するため

「制約のない変数を非負数にする」　にチェックを入れる．

- 最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.

$x_1=7.8,x_2=3.9,x_3=4.5$ のときに

$L\left(x_1,x_2,\ x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3$　

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.

フリーソフトOpenOfficeの表計算(Calc)　でも同様に解くことができる.

Calcの線形計画法解析ソフトもExcelと同じ名前の「ソルバー」である. メニューの「ツール」の「ソルバー」である. Excelのソルバーと操作法は殆ど同じある.

ベクトルの内積もExcelと同様にsumproductである. 行ベクトルと行ベクトルとの区切りが,ではなく;であることが異なる。ベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2　はsumproduct(B4:D4;B$2:D$2)で表される. また,

制約条件式　

$ 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3　 $ を入力するためには,ソルバーのメニューのオプションを使う. 変数を負でない　という　選択にチェックを入れる.

以下にデータの入力とソルバーの設定例を示す.