物理/力学(3) 運動の法則
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2011年5月3日 (火) 07:56 時点における最新版
物理 ＞ ４章 力学(3) 運動の法則
質点の運動法則について学ぶ。2章で学んだように質点は大きさをもたない点であり、大きさをもった物体の運動の解析に比べてはるかに容易です。
目次 |
運動の3法則
ニュートンは次に述べる運動の３法則と万有引力を基本法則として記述し、地上の物体の運動も惑星の運動もすべて導けることを明らかにしました。
運動の第一法則（慣性法則）
慣性系から観測すると、力を受けていない質点は等速の直線運動をするという経験則（実験や観測で確かめられた事実のこと）であり,慣性系は存在するという主張をしている法則です。
運動の第二法則（運動法則）
物体は力を受けた時、運動を変えますが、どのように変えるかを明らかにした経験則です。力の正確な定義式とも見なせます。この法則の理解には質量という概念が必要です。
質量
運動の第二法則と微分方程式
この準備のもとで運動の第2法則は
で与えられます。
この式は時間関数x(t)の時間tについての２階の微分がF/ｍに等しいという微分を含んだ方程式なので、微分方程式と呼ばれます。Fが力の法則などから分かると、質点の初期時刻０の位置と速度をあたえればこの方程式をといて、任意の時刻ｔ(>=0)の質点の位置が分かり、速度や加速度も分かります。微分方程式の解法は大学で学びます。今後は特に断らないときはFは一定として議論をします。Fが時間とともに変わる時は大学で学びます。
運動量
運動の第三法則（作用・反作用の法則）
これについてはすでに３章で説明しました。
万有引力の法則
任意の２物体がお互いに相手におよぼす引力の大きさと方向を与える経験則です。 地上の物体は地球からM＊ｇ（M:質量、ｇ：重力による加速度。両者を掛けると、運動の第２法則から力になる）の力で地球の重心（もう少し後で学ぶ。当分中心と思ってください）方向に引っ張られます。
ガリレイ変換とガリレイの相対性原理
どのような慣性系で観測しても力学の法則は同じであるという原理です。 一つの慣性系にたいして等速直線運動する観測系を考えると、力の働いてない物体はやはり、等速直線運動するので慣性系であり、運動の第２、第３法則は成立することを主張しています。
運動の3法則と力の法則の応用
運動の3法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きます（その正しさは人工衛星や惑星の運動などで確かめられているが、もっとはるかかなたの天体運動にも正しいというのは仮説である）。 運動の３法則からはエネルギー保存則や運動量保存則などの重要な保存則を導く事が出来ます（５章で学びます）。
落体運動
地球上の物体は高いところから落とすと、時間とともに速度を増しながら落下します。この運動の法則は、ガリレオによって発見されましたが、ニュートンの第２法則と万有引力の法則から導けます。
- ウィキブックス（高等学校理科 物理I 運動とエネルギー）の2.4.1 ニュートン方程式
放物運動
これもガリレオによって発見されましたが、ニュートンの第２法則と万有引力の法則から導けます。
- ウィキブックス（高等学校理科 物理I 運動とエネルギー）の2.4.1 ニュートン方程式
振り子と単振動
- ウィキペディア（単振動）の「振り子」の項を見てください。
惑星運動
ケプラーは、火星の観測データをユークリッド幾何学を巧みに利用して分析し次の惑星運動の３法則を発見しました。
この３法則は、運動の第２法則と万有引力の法則から導くことが出来ますが少し難しい数学が必要なので大学で学びます。惑星の軌道を円運動に限定すると、高校の数学の知識で３法則を導けるので、興味がある方はぜひ挑戦してください。
質点系の運動と重心
質点系（いくつかの質点の集まりのこと。離れ離れでも良い。任意の２つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい）の各質点に外力（質点系の他の質点から受ける力（内力という）以外の力）が加わる時、各質点毎に、運動の第２法則による運動方程式を書き、加え合わせると、質点系の重心の運動方程式が得られる。
質点のつり合い
質点に力Ｆ１，，Ｆｎが作用し、質点が静止したまま（あるいは等速直線運動）であるとき、それらの力は釣り合っているという。釣り合いの条件は、F1+ +Fn=0です(運動の第2法則と力の合成則から導出できる）。
剛体のつり合い
剛体
剛体(Rigid body)とは、質点系のうちで質点相互の位置が変わらないもののこと。
- ウィキペディア（剛体の力学）の序文参照のこと。
剛体の運動は、少し難しい数学が必要になるので、高校では扱わず大学で学びます。 ここでは、つり合いについてだけ学びます。
剛体のつり合いとは
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、等速直線運動を続ける場合に剛体（に作用している力）は釣り合っているという。
力の作用線と作用線の定理
力の作用線とは、力の作用点を通り、力の方向と重なる直線のこと。 剛体の場合、作用線に沿って力の作用点を移動しても、力の作用は変わらない。何故かは、考えてみましょう。
てこの原理と力のモーメント
てこの原理については、
- ウィキペディア（てこ）の１．てこの原理 を参照のこと。
何故てこの原理が成り立つかを考えてみよう。 力のモーメントについては、
- ウィキペディア（力のモーメント）を参照のこと。
なお、これを理解するには、3次元ベクトルの外積（クロス積）の知識が必要です。以下を参照のこと。ウィキペディア（クロス積）
剛体のつり合い
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