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2015年2月19日 (木) 17:48時点における版

極限と微分

集合

集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係
などについて学習してほしい。

ウィキペディア(集合）

実数の連続性と極限

実数の連続性は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、
実数の持つ最も重要な性質の一つである。

上界、下界と有界集合

${\bf R}$を、全ての実数を要素とする集合とし、
$A$をその部分集合とする。
実数$u$が$A$の上界(upper bound)とは、
任意の$a \in A$に対して、$a \leq u$がなりたつこと。
実数$l$が$A$の下界(lower bound)とは、
任意の$a \in A$に対して、$l \leq a$がなりたつこと。
$U_A$を$A$の上界をすべて集めた集合、
$L_A$を$A$の上界をすべて集めた集合とする。
$U_A$が空集合$\emptyset$でない（すなわち、$A$の上界が少なくとも一つ存在する）とき、
$A$は上に有界であるといい、
$L_A\neq \emptyset$の時、$A$は下に有界であるという。
上に有界で、下にも有界な集合($\subset {\bf R})$は、有界という。

実数の連続の公理と上限、下限

$A \subset {\bf R}$とする。
実数の連続性の公理
もし、$U_A \neq \emptyset$ならば、$U_A$は、最小元を持つ。
もし、$L_A \neq \emptyset$ならば、$L_A$は、最大元を持つ。

上限と下限の定義
$U_A$の最小元を$A$の上限(supremum)あるいは最小上界(least upper bound)という。
また、$L_A$の最大元を$A$の下限(infimum)あるいは最大下界(greatest lower bound)という。

命題１
$u$が$A(\subset {\bf R})$　の上限となるための必要十分条件は、
ⅰ）$u$は$A$の上界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$a \leq u$　　　
ⅱ）$x<u$である任意の$x$は$A$の上界ではない。すなわち、$x<a$となる$a\in A$が存在。
ⅲ）$A$が最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。
同様に、$l$が$A$　の下限となるための必要十分条件は、
ⅰ）$l$は$A$の下界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$l\leq a$　　　
ⅱ）$l<x$である任意の$x$は$A$の下界ではない。すなわち、$a<x$となる$a\in A$が存在。
ⅲ）$A$が最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。

$A$　の上限を$\sup A$、下限を$\inf A$と書く。

証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。
例；$A=(0,1)$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。
これらは、ともに$A$の要素でないので、
上限１は$A$の最大元(最大値)ではなく、下限０は$A$の最小元(最小値)ではない。
$A=[0,1]$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。
これらは、ともに$A$の要素なので、
上限は最大限であり、下限は最小限となる。

命題２
$A \subset B \subset {\bf R}$で、$B$は有界集合とする。
このとき、$\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$
証明は容易である。

命題３
$A \subset {\bf R}$で、$A$は有界集合とする。
$s:=\inf A,\quad S:=\sup A,\quad d(A):=\sup_{x,y\in A}(x-y)$とおくと、
$S-s=d(A)$
証明
１）$d(A)\leq S-s$を示す。
下限と上限の定義から、任意の$a,b\in A$に対して、$s \leq a,b \leq S$
これより、$|a-b| \leq S-s$。故に$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)\leq S-s$
２）$S-s\leq d(A)$を示す。
$d(A)<S-s $だと仮定する。
この仮定から矛盾が生じれば、誤謬法により、２）が成立することが分かる。
仮定により、ある十分に小さい正数$\epsilon$を取れば、
$d(A)<S-s-\epsilon=(S-\frac{1}{2}\epsilon)-(s+\frac{1}{2}\epsilon)\qquad (1) $
が成り立つ。
$S-\frac{1}{2}\epsilon$はＡの最小上界$S$より小さいのでＡの上界ではない。
そのため、ある$a_{0}\in A$が存在して
$S-\frac{1}{2}\epsilon < a_{0} \qquad \qquad (2)$
$s+\frac{1}{2}\epsilon$は、同様に、Ａの下界ではないので、ある$b_{0}\in A$が存在して
$b_{0}<s+\frac{1}{2}\epsilon \qquad \qquad (3)$
式(1),(2),(3)から、
$d(A)<a_{0}-b_{0}$
これは、$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)$と矛盾する。
証明終わり。

実数列の収束と極限、極限の性質　

順番に並んだ実数の列
$a_1,a_2,,,a_n,,,,,$
を実数列といい、
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{a_n\}_{n\in {\bf N}}, \{a_n\}$
などとも書く。ここで${\bf N}$は、すべての自然数を要素とする集合である。

ウィキペディア(極限)

有界な単調数列は収束する

定義；単調数列
実数列$\{a_n\}$が単調増加とは$a_i\leq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。
実数列$\{a_n\}$が単調減少とは$a_i\geq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。
実数列$\{a_n\}$が単調とは、単調増加か単調減少のこと。
実数列の単調収束定理
１）上に有界な単調増加の実数列$\{a_n\}$は収束し、
その極限は$\sup_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。
２）下に有界な単調減少の数列$\{a_n\}$は収束し、
その極限は$\inf_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。
証明；
1)。上に有界な数列は、実数の連続の公理から、
上限$s=\sup_{n\in {\bf N}}a_n$を持つ。
上限の定義から、どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq s$をみたす数列の要素$a_{n_{0}}$が存在する。
数列は単調増加なので、$n\geq n_{0}$ならば$a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$.
ゆえに、任意の正数$\epsilon$にたいして、ある番号$n_0$が存在して、
任意の$ n\geq n_{0}$にたいして、
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$
が言えた。ゆえに、この数列はｓに収束する。
2)の証明も同様に行えるので省略。

コーシー数列は収束する

コーシー実数列の定義
実数列$\{a_n\}$がコーシー列とは、
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
ある番号$n_0$が存在して、
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<\epsilon$
となること。

定理（コーシー）
実数列$\{a_n\}$に対して
収束する　$\Leftrightarrow$　コーシー列である。
証明；
（＝＞）実数列$\{a_n\}$が極限$s$に収束すると仮定する。どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
ある番号$n_0$が存在して、
$n \geq n_{0}$ならば$|a_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$
そこで、$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|\leq |a_m-s|+|s-a_n|<\epsilon$
ゆえに、コーシー列である。
（＜＝）実数列$\{a_n\}$がコーシー列とする。
（１）数列は有界
何故なら、正数１に対して、ある番号$n_0$が存在して、
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<1$
これより、$m \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_{n_{0}}|<1$
これより、$a_{n_{0}}-1<a_m<a_{n_{0}}+1$
すると数列の全ての要素は
$M:=\max{a_1,a_2,,,a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}+1$
以下となり上に有界である。
下に有界であることも、同様にして分かる。
（２）任意の自然数$n$に対して、$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$は存在し、
数列$\{s_n\}$は極限$s=\lim_{n\to \infty}s_n$に収束する。
理由；数列$\{ a_{n+k}\}_k$は有界なので、
実数の連続性の公理から、その下限$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$は存在する。
「実数の連続の公理と上限」の項の命題２から、数列$\{s_n\}$は、単調増加である。
単調収束定理からこの数列は極限$s=\lim_{n\to \infty}s_n$に収束する。（３）任意の自然数$n$に対して、$S_n:=\sup_{k\geq n}a_k$は存在し、
数列$\{S_n\}$は単調減少で極限$S=\lim_{n\to \infty}S_n$に収束する。
この命題は（２）と全く同じ考えで出来るので省略する。
（４）$s \leq S$である。
理由；任意の自然数ｎに対して
$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$なので、$s_n\leq a_{n+k},(k=0,1,2,,,,)$
$S_n:=\sup_{k\geq n}a_k$なので$a_{n+k} \leq S_n,(k=0,1,2,,,,)$
故に$s_n\leq S_n,(n=1,2,,,,)$
$s_n \leq s_{n+k} \leq S_{n+k},(k=0,1,2,,,,)$
ｋについて極限をとると、$s_n \leq S,(n=1,2,3,,,,)$
ｎについて極限をとると、$s \leq S$
（５）$S=s==\lim_{n\to \infty}a_n$
数列$\{a_n\}$がコーシー列なので、
任意の正数$\epsilon$をとると、自然数$n_{0}$が存在して
全ての$m,n \geq n_{0}$にたいして$|a_m-a_n|<\epsilon$
これより、$sup_{m,n\geq n_0}(a_n-b_m)\leq \epsilon$
一方,「実数の連続の公理と上限、下限」の命題３から、
$S_{n_0}-s_{n_0}=sup_{m,n\geq n_0}(a_n-b_m)$
故に、$S_{n_0}-s_{n_0}\leq \epsilon$
数列$\{S_n\}$は単調減少、数列$\{s_n\}$は、単調増加なので
$S-s=\lim_{n\to \infty}(S_n-s_n)\leq S_{n_0}-s_{n_0}\leq \epsilon$
故に$S-s=0$
また$s_{n}\leq a_n \leq S_{n},(n=1,2,3,,,,)$なので、
$ \lim_{n\to \infty}a_n=s=S$が示せた。
　　　

関数の連続性

関数の連続性の定義；
実数値関数 $f(x)$ がある点 $x_0$で連続であるとは、
$x$が$x_0$ に限りなく近づくならば、$f(x)$ が $f(x_0)$ に限りなく近づく
ことを言う。
$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$と記す。

これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。
（小さな）正の数 ε が任意に与えられたとき、
（小さな）正の数 δ をうまくとってやれば、
$x_0$ と δ 以内の距離にあるどんな $x$ に対しても、
$f(x)$ と $f(x)$ の差が ε より小さいようにすることができる。

関数 $f(x)$ がある区間$I$ で連続であるとは、
$I$ に属するそれぞれの点において連続であることを言う。

実数値関数とベクトル値関数の微分

このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。
以下の文献も必要に応じて参考にしてください。
一冊では不十分な内容なので色々あげてある。

実数値関数の微分

実数の開区間$I=(a,b)$上で定義された実数値関数$y=f(x)$を考える。
定義;微分可能性
関数$f$が$s\in I$で微分可能であるとは、極限
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}=c　\qquad \qquad (1)$
が存在することである。
この時$c$を$f$の$s$における微分係数あるいは導値といい、
$f'(s)、\frac{df}{dt}(s)、(Df)(s)$
などと書く。
$I=(a,b)$の各点で$f$が微分可能であるとき、$f$は微分可能関数(あるいは微分可能）という。
この時、任意の$s\in I$に対して、$f'(s)$が定まるので、
関数$f'$が定まる。これを$f$の${\bf 導関数}$(derivative)という。

微分係数の意味

(1)$\frac{f(s+h)-f(s)}{h}$は、区間$[s,s+h]$における関数値の平均変化率である。
その極限である微分係数$f'(s)$は、関数値の$s$における瞬間的な変化率と考えられる。
(2)2次元空間(平面のこと)に直交座標座標系$O-xy$をいれ、
関数$y=f(x)$のグラフ$G=\{(x,y)\mid x\in I,y=f(x)\}$を書く。
すると、
$f'(s)$が存在することは、$x=s$においてグラフ$G$が接線をもつことと同等であり、
接線の方程式は
$y=f'(s)(x-s)+f(s)$である。
これは、接線の定義からただちに分かる。
(3）$h$を零に近づけていったときの極限の意味をさらに深めるため
微分可能の定義を、それと同等の別の表現に変換しよう。
(1)式の右辺の定数を左辺に移行すると
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}=0$
次に、
$o_{s}(h):=\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}\qquad \qquad (2)$
という、変数ｈの関数を定義する。
すると関数$f$が$s\in I$で微分可能で、微分係数が$c$である必要十分条件は
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$
である。
(2)式を変形すると
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h$
ゆえに次の命題が証明できた。
命題；
次の３つの条件は同等である。
１）関数$f$は$s\in I$で微分可能で、微分係数は$c$である
２）関数$f$は、
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h \qquad \qquad (3)$
と表現できる。
ここで、$o_{s}(h)$は
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0 \qquad \qquad (4)$
を満たす関数

3)　関数$f$は、
$s$の近傍の点$x$で $f(x)=f(s)+c(x-s)+\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s) \qquad \qquad (3)$
ここで、$o_{s}(x-s)$は
$\lim_{x \to s,x\neq s}o_{s}(x-s)=0 \qquad \qquad (4)$
を満たす関数

この定理の3）により、
「関数が$s$で微分可能であり、微分係数がｃであること」は、
「この関数が$s$の近傍の点$x$で直線$y=f(s)+c(x-s)$で近似でき、
誤差$|f(x)-(f(s)+c(x-s))|=|\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s)| $が,
$x$を$s$に近づけていくとき、$h=x-s$より高次で０に収束する(注参照)
ことと同等であることが分かる。
(注)$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{o_{s}(h)h}{h}=0$ 命題の系；関数が$s$で微分可能であれば、$s$で連続である。
証明；命題の２）を用いると、
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h $
この式から、$|f(s+h)-f(s)|=|(c+o_{s}(h))h|$
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$なので$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|(c+o_{s}(h))h|=0$。
ゆえに、$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|f(s+h)-f(s)|=0$
これは、関数が$s$で連続であることの定義そのものである。

導関数の性質

（１）$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された、微分可能な実数値関数ならば
$\alpha f+\beta g$、$fg(s):=f(s)g(s)$は微分可能で
それらの導関数の間には、
$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$（線形性）ここで$\alpha,\beta$は任意の実数。
(２) $(fg)'=f'g+fg'$
証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。

平均値の定理

ロールの定理
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。
$f$が$I=[a,b]$で連続、開区間$(a,b)$で微分可能,しかも$f(a)=f(b)$ならば、
$f'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。
証明；

平均値の定理
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。
$f$が$I=[a,b]$で連続で、開区間$(a,b)$で微分可能ならば、
ある数$\xi\in (a,b)$が存在して、
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
証明；

系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$

ベクトル値関数の微分

実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に値をとる関数$\vec f$を考える。
定義;微分可能性
実数値関数の場合と同じである。

導関数の線形性の性質も成り立つ。

ベクトル値関数の微分とその成分関数の微分の関係

関数値$\vec f(s)$は${\bf R^n}$の要素なので
$\vec f(s)=(f_1(s),f_2(s),\cdots f_n(s))$
と表示できる。
すると$\vec f$のｎ個の成分関数
$f_i,(i=1,2,\cdots n)$
が得られる。
命題；
$\vec f$が$s\in I$で微分可能$\Leftrightarrow$$f_i(i=1,2,\cdots n)$が$s\in I$で微分可能。
この時、${\vec f}'(s)=({f_1}'(s),{f_2}'(s)\cdots {f_n}'(s))$

ベクトル積の微分

命題
$ \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $は、開区間Ｉ上で定義され、微分可能なベクトル値関数とする。すると、
$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は微分可能で、
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$ 証明
すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =\lim_{\delta t \to 0} (\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t$ $\qquad $ (1)　　
を用いて証明する。
この極限が存在し、
$\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}$
になることを示せば命題は証明できたことになる。
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。
$ \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)} - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　
$ = \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)} -\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)} +\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)} - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　
ベクトル積の命題３を利用すると、　
$ = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right) \times \vec b\left(t+\delta t\right) +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) $

この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)} {\delta t}$ 　
$=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right) \times \vec b\left(t+\delta t\right) +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) } {\delta t} $
ベクトル積の命題４を使い、
$=\lim_{\delta t \to 0}\left( \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} \times \vec b\left(t+\delta t\right) + \vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)} {\delta t} \right)$
極限の命題を使って、
$=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} \times \lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t) + \vec a(t)\times \lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t} $
式中の極限は、$\vec a,\vec b$が、微分可能なので存在し、
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} =\frac{d\vec a(t)}{dt}$
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t} =\frac{d\vec b(t)}{dt}$

$C^{1}$級の関数

$I=(a,b)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,
$I$上で導関数 $f'$ が存在して、しかも$f'$ が$I$上で連続であることをいう。
$I=(a,b)$上で連続的微分可能である関数を$C^{1}$級関数という。

多変数の実数値関数の微分

${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$ を考える。一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後
${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$
が存在するときｓで微分可能と定義すること。
しかし、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。

方向微分

そこで、${\bf e}\in {\bf R^n}、{\bf e}\neq 0$を用いて、
この方向にそって$h=t{\bf e}$が零に近づく($t \to 0$)ときの
関数値の瞬間的変化率を考える。

定義;${\bf e}$方向の微分可能性
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で${\bf e}$方向に微分可能であるとは、極限
$\lim_{t \to 0,\neq 0}\frac{f({\bf s}+t{\bf e})-f({\bf s})}{t}=c　\qquad \qquad (1)$
が存在することである。
この時$c$を$f$の${\bf s}$における${\bf e}$方向の微分係数あるいは${\bf e}$方向の導値といい、
$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }({\bf s})、(D_{\bf e}{f)({\bf s})$
などと書く。
$I^n=\prod_{i}(a_i,b_i)$の各点で$f$が${\bf e}$方向に微分可能であるとき、 $f$は${\bf e}$方向に微分可能関数という。
この時、任意の${\bf s}\in I^n$に対して、$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }({\bf s})$が定まるので、
関数$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }$が定まる。これを$f$の${\bf e}$方向の${\bf 導関数}$という。

偏微分

${\bf R^n}$の自然基底${\bf e_1}=(1,0,\cdots 0),,,,,{\bf e_n}=(0,0,,,1)$を、
方向に選んだときの方向微分は、良くつかわれる。
定義；偏微分
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で${\bf e_i}$方向に微分可能であるとき、
$f$は、${\bf s}\in I^n$で第ｉ座標$x_i$にかんして偏微分可能という。
$(D_{\bf e_i}({\bf s})$を, $f$の ${\bf s}$における $x_i$ についての偏微分係数といい、
$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s}),f_{x_{i}},(D_if)({\bf s})$ などと書く。

ウィキペディア(偏微分)

$C^{1}$級の関数

$I^n=\prod_{i=1}{n}(a_i,b_i)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,
$I$上ですべての偏導関数 $\fraca{\partial f}{\partial x_i},(i=1,2,,,n)$ が存在して、しかも$I$上で連続であることをいう。
$I^n$上の$C^{1}$級関数という。
$f\in C^{1}(I^n)$と記す。

微分(全微分）　

定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能

定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能

物理/極限と微分

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目次

極限と微分

集合

実数の連続性と極限

上界、下界と有界集合

実数の連続の公理と上限、下限

実数列の収束と極限、極限の性質

有界な単調数列は収束する

コーシー数列は収束する

関数の連続性

実数値関数とベクトル値関数の微分

実数値関数の微分

微分係数の意味

導関数の性質

平均値の定理

ベクトル値関数の微分

ベクトル値関数の微分とその成分関数の微分の関係

ベクトル積の微分

$C^{1}$級の関数

多変数の実数値関数の微分

方向微分

偏微分

$C^{1}$級の関数

微分(全微分）

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@@ 1 行: / 1 行: @@
 =  極限と微分   =
-本テキストで使う数学について、紹介する。
 ==集合==
 集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、<br/>
@@ 56 行: / 55 行: @@
 このとき、$\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$<br/>
 証明は容易である。<br/><br/>
-関数$y=f(x)$が連続でない時は、区間上で最大値や最小値を取らないことがある。<br/>
-この場合も考慮して、最大値を上限に、最小値を下限に置き換えて、<br/>
-$m(f;V_i)=\inf\{f(x)\mid x\in V_i\},M(f;V_i)=\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}$で定義すれば、<br/>
-有界関数に対して、これらは常に定義され、今までの議論はすべて成り立つ。
-===実数列の極限　===
-*[[wikipedia_ja:極限 |ウィキペディア(極限)]]
-==== 極限の性質====
-==  内積とノルム==
-内積とノルムは物理学では良くつかわれるので
-本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。<br/>
-以下では、<br/>
-$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。<br/>
-なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。<br/>
-座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。<br/>
-（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２
-===ノルムと内積の定義===
-ベクトル$\vec a$のノルムとは、<br/>
-$\|\vec a\|:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、<br/>
-ベクトルの長さ(大きさ）を表す。<br/>
-ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは<br/>
-$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$<br/>
-ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。<br/>
-この定義から、<br/>
-$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|^2 $<br/>
-であることが分かる。
-===内積とノルムの性質===
-命題１<br/>
-$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$<br/>
-証明；内積の定義から明らか。 <br/><br/>
-命題２<br/>
-$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$
-ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分<br/>
-直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。<br/>
-証明<br/>
-次の三角形の余弦定理を利用する。<br/>
-三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]];<br/>
-図のような$\triangle {ABC}$を考える。<br/>
-頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。<br/>
-すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$<br/>
-余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。<br/>
-[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、<br/>
-$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、<br/>
-$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、<br/>
-$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると<br/>
-$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$  <br/>
-証明終わり。<br/>
-命題２の証明　　<br/>
-ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、<br/>
-始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。<br/>
-すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。<br/>
-ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、<br/>
-$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$<br/>
-３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。<br/>
-$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、<br/>
-$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$<br/>
-$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。<br/>
-この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、<br/>
-$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。<br/>
-$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、<br/>
-$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $  <br/>
-この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 <br/>
-$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $<br/>$=\sum_{i}a_i b_i$ <br/>
-命題２の証明終わり。 <br/><br/>
 命題３<br/>
-$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　<br/>
+$A \subset {\bf R}$で、$A$は有界集合とする。<br/>
+$s:=\inf A,\quad S:=\sup A,\quad d(A):=\sup_{x,y\in A}(x-y)$とおくと、<br/>
+$S-s=d(A)$<br/>
 証明<br/>
-ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。<br/><br/>
+１）$d(A)\leq S-s$を示す。<br/>
-系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　<br/>
+下限と上限の定義から、任意の$a,b\in A$に対して、$s \leq a,b \leq S$<br/>
-証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。<br/><br/>
+これより、$|a-b| \leq S-s$。故に$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)\leq S-s$<br/>
-命題４<br/>
+２）$S-s\leq d(A)$を示す。<br/>
-$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ <br/>
+$d(A)<S-s $だと仮定する。<br/>
-が成り立つ。 <br/>
+この仮定から矛盾が生じれば、誤謬法により、２）が成立することが分かる。<br/>
-証明<br/>
+仮定により、ある十分に小さい正数$\epsilon$を取れば、<br/>
-同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 <br/> <br/>
+$d(A)<S-s-\epsilon=(S-\frac{1}{2}\epsilon)-(s+\frac{1}{2}\epsilon)\qquad (1) $<br/>
-命題５ <br/>
+が成り立つ。<br/>
-$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$<br/>
+$S-\frac{1}{2}\epsilon$はＡの最小上界$S$より小さいのでＡの上界ではない。<br/>
-$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 <br/> <br/>
+そのため、ある$a_{0}\in A$が存在して<br/>
-命題６ ノルムの三角不等式 <br/>
+$S-\frac{1}{2}\epsilon < a_{0} \qquad \qquad (2)$<br/>
-$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$<br/>
+$s+\frac{1}{2}\epsilon$は、同様に、Ａの下界ではないので、ある$b_{0}\in A$が存在して<br/>
-証明 <br/>
+$b_{0}<s+\frac{1}{2}\epsilon \qquad \qquad (3)$<br/>
-$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$<br/>
+式(1),(2),(3)から、<br/>
-命題３を使って計算すると、<br/>
+$d(A)<a_{0}-b_{0}$<br/>
-$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$<br/>
+これは、$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)$と矛盾する。<br/>
-命題５より、<br/>
+証明終わり。<br/><br/>
-$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
-=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$<br/>故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$<br/>
-両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。<br/>
-==  ベクトル積　==
+===実数列の収束と極限、極限の性質　===
-本節での全ての命題で、<br/>
+順番に並んだ実数の列<br/>
-$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル<br/>
+$a_1,a_2,,,a_n,,,,,$<br/>
-$\alpha$を実数とする。<br/><br/>
+を実数列といい、<br/>
+実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{a_n\}_{n\in {\bf N}}, \{a_n\}$<br/>
-命題１． $ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 <br/>
+などとも書く。ここで${\bf N}$は、すべての自然数を要素とする集合である。<br/>
-$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$  <br/>
+*[[wikipedia_ja:極限 |ウィキペディア(極限)]]
-$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$  <br/>
+==== 有界な単調数列は収束する====
-証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。<br/>
+定義；単調数列<br/>
-２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。<br/>
+実数列$\{a_n\}$が単調増加とは$a_i\leq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。<br/>
+実数列$\{a_n\}$が単調減少とは$a_i\geq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。<br/>
-命題２．$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$  <br/>
+実数列$\{a_n\}$が単調とは、単調増加か単調減少のこと。<br/>
-証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。<br/>
+'''実数列の単調収束定理'''<br/>
-しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。<br/>
+１）上に有界な単調増加の実数列$\{a_n\}$は収束し、<br/>
-ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。<br/><br/>
+その極限は$\sup_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。<br/>
-命題３ <br/>
+２）下に有界な単調減少の数列$\{a_n\}$は収束し、<br/>
-$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　<br/>
+その極限は$\inf_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。<br/>
-証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。<br/>
-いずれの場合にも,
-ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。<br/>
-命題４．$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　<br/>
 証明；<br/>
-この証明には少し工夫が必要である。<br/>
+)。上に有界な数列は、実数の連続の公理から、<br/>
-ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。<br/>
+上限$s=\sup_{n\in {\bf N}}a_n$を持つ。<br/>
-①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$  が直交する場合。図参照のこと<br/>
+上限の定義から、どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
-・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。<br/>
+$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq s$をみたす数列の要素$a_{n_{0}}$が存在する。<br/>
-・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。<br/>
+数列は単調増加なので、$n\geq n_{0}$ならば$a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$.<br/>
-・仮定より$ \vec{a},\quad  \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。<br/>
+ゆえに、任意の正数$\epsilon$にたいして、ある番号$n_0$が存在して、<br/>
-・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、<br/>
+任意の$ n\geq n_{0}$にたいして、<br/>
-ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。<br/>
+$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$<br/>
-これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。<br/>
+が言えた。ゆえに、この数列はｓに収束する。<br/>
-　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, <br/>$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。<br/><br/>
+)の証明も同様に行えるので省略。
-・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。<br/>
+==== コーシー数列は収束する====
-そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。<br/>
+コーシー実数列の定義<br/>
-・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。<br/>
+実数列$\{a_n\}$が'''コーシー列とは、<br/>
-・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、<br/>
+どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
-後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。<br/>
+ある番号$n_0$が存在して、<br/>
-・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、<br/>
+$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<\epsilon$<br/>
-$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。<br/>
+となること。<br/>
-同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。<br/>
-・以上の結果より、所望の結果は示された。<br/><br/>
-　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。<br/>
-・　ⅰ)と同じ議論により、<br/>
-$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。<br/>
-・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は<br/>
-$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。<br/>
-・以上で①が示せた。<br/>
-②　一般の場合。<br/>
+定理（コーシー）<br/>
-命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1)<br/>
+実数列$\{a_n\}$に対して<br/>
-$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、<br/>
+収束する　$\Leftrightarrow$　コーシー列である。<br/>
-$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ <br/>
-①より、<br/>
-$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$   $ \qquad $ 命題４の証明終わり。<br/>
-命題４の系　　<br/>
-$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$<br/>
-$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$<br/>
 証明；<br/>
-命題２より、<br/>
+（＝＞）実数列$\{a_n\}$が極限$s$に収束すると仮定する。
-$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $  命題３から      <br/>
+どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
-$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
+ある番号$n_0$が存在して、<br/>
-命題４より、<br/>
+$n \geq n_{0}$ならば$|a_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$<br/>
-$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$   <br/>
+そこで、$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|\leq |a_m-s|+|s-a_n|<\epsilon$<br/>
-再び命題２より、<br/>
+ゆえに、コーシー列である。<br/>
-$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり <br/>
+（＜＝）実数列$\{a_n\}$がコーシー列とする。<br/>
-命題２より、<br/>
+（１）数列は有界<br/>
-$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$  <br/>
+何故なら、正数１に対して、ある番号$n_0$が存在して、<br/>
-再び命題２より、<br/>
+$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<1$<br/>
-$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
+これより、$m \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_{n_{0}}|<1$<br/>
-$\quad$証明終わり。<br/>
+これより、$a_{n_{0}}-1<a_m<a_{n_{0}}+1$<br/>
+すると数列の全ての要素は<br/>
+$M:=\max{a_1,a_2,,,a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}+1$<br/>
-命題５．$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を<br/>
+以下となり上に有界である。<br/>
-それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。<br/>
+下に有界であることも、同様にして分かる。<br/>
+（２）任意の自然数$n$に対して、$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$は存在し、<br/>
-この時、<br/>
+数列$\{s_n\}$は極限$s=\lim_{n\to \infty}s_n$に収束する。<br/>
-$ \quad  \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
+理由；数列$\{ a_{n+k}\}_k$は有界なので、<br/>
-\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
+実数の連続性の公理から、その下限$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$は存在する。<br/>
-\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$<br/>
+「実数の連続の公理と上限」の項の命題２から、数列$\{s_n\}$は、単調増加である。<br/>
-証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。<br/>
+単調収束定理からこの数列は極限$s=\lim_{n\to \infty}s_n$に収束する。
+（３）任意の自然数$n$に対して、$S_n:=\sup_{k\geq n}a_k$は存在し、<br/>
-命題６．ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ で決まる座標の座標成分で表示しておく。<br/>
+数列$\{S_n\}$は単調減少で極限$S=\lim_{n\to \infty}S_n$に収束する。<br/>
-すると$\vec a \times \vec b=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$　<br/>
+この命題は（２）と全く同じ考えで出来るので省略する。<br/>
-証明；$\vec a=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z}$, <br/>
+（４）$s \leq S$である。<br/>
-$\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$と表せるので、<br/>
+理由；任意の自然数ｎに対して<br/>
-$\vec a \times \vec b=(a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z})\times \vec b$
+$s_n:=\inf_{k\geq n}a_k$なので、$s_n\leq a_{n+k},(k=0,1,2,,,,)$<br/>
-命題３の系から<br/>
+$S_n:=\sup_{k\geq n}a_k$なので$a_{n+k} \leq S_n,(k=0,1,2,,,,)$<br/>
-$=a_x\vec{e_x}\times \vec b
+故に$s_n\leq S_n,(n=1,2,,,,)$<br/>
-+a_y\vec{e_y}\times \vec b
+$s_n \leq s_{n+k} \leq S_{n+k},(k=0,1,2,,,,)$<br/>
-+a_z\vec{e_z}\times \vec b$   $\qquad$          (1)<br/>
+ｋについて極限をとると、$s_n \leq S,(n=1,2,3,,,,)$<br/>
+ｎについて極限をとると、$s \leq S$<br/>
-式(1)の第１項
+（５）$S=s==\lim_{n\to \infty}a_n$<br/>
-$a_x\vec{e_x}\times \vec b$
+数列$\{a_n\}$がコーシー列なので、<br/>
-に
+任意の正数$\epsilon$をとると、自然数$n_{0}$が存在して<br/>
-$\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$
+全ての$m,n \geq n_{0}$にたいして$|a_m-a_n|<\epsilon$<br/>
-を代入して、命題３の系を使って変形すると、<br/>
+これより、$sup_{m,n\geq n_0}(a_n-b_m)\leq \epsilon$<br/>
-$a_x\vec{e_x}\times \vec b
+一方,「実数の連続の公理と上限、下限」の命題３から、<br/>
-=a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x}
+$S_{n_0}-s_{n_0}=sup_{m,n\geq n_0}(a_n-b_m)$<br/>
-+a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y}
+故に、$S_{n_0}-s_{n_0}\leq \epsilon$<br/>
-+a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z}$   $\qquad$      (2) <br/>
+数列$\{S_n\}$は単調減少、数列$\{s_n\}$は、単調増加なので<br/>
-命題４と命題５を使うと、<br/>
+$S-s=\lim_{n\to \infty}(S_n-s_n)\leq S_{n_0}-s_{n_0}\leq \epsilon$  <br/>
-$a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x}
+故に$S-s=0$  <br/>
-=a_x b_x\vec{e_x}\times \vec{e_x}
+また$s_{n}\leq a_n \leq S_{n},(n=1,2,3,,,,)$なので、<br/>
-=\vec 0$  。<br/>
+$ \lim_{n\to \infty}a_n=s=S$が示せた。<br/>
-同様の計算を行うと、<br/>
-$a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y}
-=a_x b_y\vec{e_x}\times \vec{e_y}
-=a_x b_y\vec{e_z}$ <br/>
-$a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z}
-=a_x b_z\vec{e_x}\times \vec{e_z}
-=-a_x b_z\vec{e_y}$ <br/>
-式(2)にこれらを代入して、<br/>
-$a_x\vec{e_x}\times \vec b
-=a_x b_y\vec{e_z}  - a_x b_z\vec{e_y} $   $\qquad$　(3)<br/>
-式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、<br/>
-$a_y\vec{e_y}\times \vec b
-=a_y b_z\vec{e_x}  - a_y b_x\vec{e_z} $    $\qquad$ (4)<br/>
-$a_z\vec{e_z}\times \vec b
-=a_z b_x\vec{e_y}  - a_z b_y\vec{e_x} $    $\qquad$ (5)<br/>
-式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、<br/>
-$\vec a \times \vec b
-=a_x b_y\vec{e_z}  - a_x b_z\vec{e_y}
-+a_y b_z\vec{e_x}  - a_y b_x\vec{e_z}
-+a_z b_x\vec{e_y}  - a_z b_y\vec{e_x}$ <br/>
-$ =(a_y b_z - a_z b_y)\vec{e_x}
-+(a_z b_x - a_x b_z)\vec{e_y}
-+(a_x b_y - a_y b_x)\vec{e_z}$ <br/>
-命題６の証明終わり。<br/>
-命題７の証明；<br/>
-$ \quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。<br/>
-残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。<br/>
-右手系をなす一つの直交座標を決める。<br/>
-３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題６と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。<br/>
-概略をスケッチしよう。<br/>
-$ \quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
-=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
-\cdot (c_x,c_y,c_z)
-=(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　<br/>
-$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。<br/>これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。<br/>
-命題７．<br/>
-$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} =(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}$  <br/>
-証明<br/>
-$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。<br/>
-残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。<br/>
-右手系をなす一つの直交座標を決める。<br/>
-３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、命題６と内積の命題を使えば、左右が等しいことが証明できる。<br/>
-概略をスケッチしよう。<br/>
-$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
-=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
-\cdot (c_x,c_y,c_z)
-=(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　<br/>
-$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。<br/>これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。<br/>
-命題７の証明終わり。<br/>
-==数ベクトル空間${\bf R^n}$   ==
-[[wikipedia_ja:数ベクトル空間 |ウィキペディア(数ベクトル空間)]]
 == 関数の連続性       ==
 関数の連続性の定義；<br/>
@@ 354 行: / 202 行: @@
 $I=(a,b)$の各点で$f$が微分可能であるとき、$f$は'''微分可能関数'''(あるいは
 微分可能）という。<br/>
-この時、任意の$s\in I$に対して、$f'(s)\in I$が定まるので、<br/>
+この時、任意の$s\in I$に対して、$f'(s)$が定まるので、<br/>
 関数$f'$が定まる。これを$f$の${\bf 導関数}$(derivative)という。<br/>
@@ 418 行: / 266 行: @@
 (２) $(fg)'=f'g+fg'$<br/>
 証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。
+====平均値の定理====
+'''ロールの定理'''<br/>
+$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。<br/>
+$f$が$I=[a,b]$で連続、開区間$(a,b)$で微分可能,しかも$f(a)=f(b)$ならば、<br/>
+$f'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。<br/>
+証明；<br/>
+'''平均値の定理'''<br/>
+$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。<br/>
+$f$が$I=[a,b]$で連続で、開区間$(a,b)$で微分可能ならば、<br/>
+ある数$\xi\in (a,b)$が存在して、<br/>
+$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$<br/>
+証明；<br/>
+系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$<br/>
 ===ベクトル値関数の微分===
 実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に
@@ 519 行: / 391 行: @@
 しかし、<br/>
 ${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。
-====方向微分と偏微分====
+====方向微分====
-そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、
+そこで、${\bf e}\in {\bf R^n}、{\bf e}\neq 0$を用いて、<br/>
+この方向にそって$h=t{\bf e}$が零に近づく($t \to 0$)ときの<br/>
+関数値の瞬間的変化率を考える。
+定義;${\bf e}$方向の微分可能性<br/>
+関数$f$が${\bf s}\in I^n$で'''${\bf e}$方向に微分可能'''であるとは、極限<br/>
+$\lim_{t \to 0,\neq 0}\frac{f({\bf s}+t{\bf e})-f({\bf s})}{t}=c　\qquad \qquad (1)$<br/>
+が存在することである。<br/>
+この時$c$を$f$の${\bf s}$における'''${\bf e}$方向の微分係数'''あるいは${\bf e}$方向の導値といい、<br/>
+$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }({\bf s})、(D_{\bf e}{f)({\bf s})$<br/>
+などと書く。<br/>
+$I^n=\prod_{i}(a_i,b_i)$の各点で$f$が${\bf e}$方向に微分可能であるとき、
+$f$は'''${\bf e}$方向に微分可能関数'''という。<br/>
+この時、任意の${\bf s}\in I^n$に対して、$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }({\bf s})$が定まるので、<br/>
+関数$\frac{\partial f}{\partial{\bf e} }$が定まる。
+これを$f$の${\bf e}$方向の${\bf 導関数}$という。<br/>
+=====偏微分=====
+${\bf R^n}$の自然基底${\bf e_1}=(1,0,\cdots 0),,,,,{\bf e_n}=(0,0,,,1)$を、<br/>方向に選んだときの方向微分は、良くつかわれる。<br/>
+定義；偏微分<br/>
+関数$f$が${\bf s}\in I^n$で'''${\bf e_i}$方向に微分可能'''であるとき、<br/>
+$f$は、${\bf s}\in I^n$で第ｉ座標$x_i$にかんして偏微分可能という。<br/>
+$(D_{\bf e_i}({\bf s})$を, $f$の ${\bf s}$における  $x_i$ についての偏微分係数といい、<br/>
+$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s}),f_{x_{i}},(D_if)({\bf s})$
+などと書く。
 *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]]
+==== $C^{1}$級の関数====
+$I^n=\prod_{i=1}{n}(a_i,b_i)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,<br/>
+$I$上ですべての偏導関数 $\fraca{\partial f}{\partial x_i},(i=1,2,,,n)$ が存在して、しかも$I$上で連続であることをいう。<br/>
+$I^n$上の$C^{1}$級関数という。<br/>
+$f\in C^{1}(I^n)$と記す。
 ====微分(全微分）　====