物理/電流と磁場

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(→「　5.1　静電気と静電場（１） 　」)
(→「　5.1　静電気と静電場（１）」)
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=「　5.1　静電気と静電場（１）」=
+
=「　5.4　電流と磁場　」=
-
== 電磁気現象の根源 ==
+
この節では静止した電荷でなく動く電荷の性質をしらべる。
-
詳細は次章で学ぶが、<br/>
+
==　電流　==
-
物質を形成している原子は、原子核とその周りを回る電子から出来ている。<br/>
+
電荷の流れを電流（electric current)という。      <br/>
-
原子核は(いくつかの)正の電荷＋eの陽子と電荷を持たない中性子からなる。<br/>
+
多くの場合は、導体中の多数の自由電子が動いて電流となる。<br/>
-
電子は陽子と符号が反対の負電荷－eを持つ（注１)。<br/>
+
[[wikipedia_ja:電解液|電解液（イオン溶液ともいう）]]では、正負のイオンが動いて電流となる。<br/>
-
電荷の間には電気力が働く。同符号の電荷は互いに反発し、異符号の電荷は互いに引き合う。　　<br/>
+
電流によって電荷は移動し、後に学ぶように、磁界を発生する。<br/>
-
電子の個数は陽子と同数であり、原子を巨視的な意味で離れて眺めると、<br/>
+
(注）電流中の電子の動きについて；<br/>
-
正負の電荷が打ち消しあって電荷をもたない粒子に見える。<br/>
+
-
原子核と電子は引き合うため原子を作っている。<br/>
+
===　電流の方向・向き===
-
また近くの原子同士も電気力で引き合い分子をつくり（注２）、
+
電流の方向・向きは、正の電荷の流れる方向・向きで定める。<br/>
-
気体や液体、固体になる。<br/><br/>
+
電子が移動する電流のばあい、電流の方向・向きとは逆に電子は動いている。<br/>
-
このような物体の形成だけでなく、<br/>
+
-
帯電、静電気、磁石、電流、電磁波など、すべての電磁気現象は、電子と陽子の存在と運動によって生じる。　<br/>
+
-
この章では、これらの電磁気現象とその法則について学ぼう。<br/>
+
-
（注１）電荷の正負について：<br/>
+
-
陽子どうし、電子どうしは反発するが、陽子と電子は引き合う。従って陽子と電子はことなった電荷である。<br/>
+
-
さらに陽子と電子の個数が同じだと離れた所からみると、電荷がない粒子として振る舞う。<br/>
+
-
このため一方の電荷に+、他方にーをつけて和を取ると電荷が０になるようにする。<br/>
+
-
どちらにーをあててもよかったが歴史的に電子にーをあてた。<br />
+
-
なお、原子核のなかで電気的に反発する複数の陽子がくっついているのは、<br/>
+
-
電気的反発力より強い核力で引き合っているためである（次章で簡単に説明する）。<br/>
+
-
（注２）；原子同士が引き合うメカニズムについては次章で簡単に紹介する。
+
-
== 静電気==
+
===　電流の強さ===
-
この節では、まず、静止した電荷（静電気という）の性質を学ぶ。
+
導体（電流の流れる物質のこと)からできた線を、導線という。<br/>
 +
導線を流れる電流の、ある導線断面での強さとは、その断面を一秒間に通過する電荷量のことをいう。<br/>
 +
===　直流電流・電圧と交流電流・電圧　===
 +
時間がたっても向きも強さも変化しない電流のことを狭義の直流電流(
 +
あるいは、定常電流という)、<br/>
 +
時間がたっても向きも強さも変化しない電圧のことを（狭義の）直流電圧という<br/>。単に方向だけを変えない電流を（広義の）直流電流、同じく電圧を、（広義の）直流電圧という。<br/>
 +
これに反して、時間とともに方向を変える、電流、電圧を、それぞれ、（広義の）交流電流、交流電圧という。さらにその強さが、時間とともに三角関数にしたがって変化する時、（狭義の）交流電流、交流電圧という。以下を参照のこと。
 +
*[[wikipedia_ja:直流|直流]]
 +
*[[wikipedia_ja:交流|交流]]
-
=== 帯電と電気素量===
+
===　定常電流の保存則===
-
原子は通常、同数の電荷量eの陽子と-eの電子から構成されるので、<br/>
+
実験によると、導線を通過する定常電流の強さは、導線上のどの断面をとっても同じ値をとる。<br/>
-
離れた所から観測すれば、正と負の電荷の影響が打ち消しあって,電荷をもたない粒子として振る舞う。<br/>
+
これを定常電流の保存則という。
-
このため原子からできている物質は、通常は電荷を持たない。<br/>
+
====☆☆ 電流密度を用いた電流保存則====
-
物質は、他の物質との摩擦のエネルギー等により<br/>
+
導線の断面全体を通過する電荷量は分かっても、<br/>
-
電子をいくつか失ったり、獲得すると、負や正の電荷をもつようになる。<br/>
+
導線の表面近くを沢山通るのか、中心部を沢山通るのかは分からない。<br/>
-
'''帯電'''するという。<br/>
+
断面の各点(位置ベクトルｘ）の微小部分を通過する、単位面積当たりの電荷量が分かれば、<br/>
-
このため全ての物質の電荷量は e の整数倍になる。<br/>
+
電流が導線のどの部分に沢山流れるかが分かる。<br/><br/>
-
そのため、e を'''電気素量'''と呼ぶ。
+
-
==== 点電荷====
+
-
巨視的な観測では一点とみなせる微小な電荷を'''点電荷'''という。<br/>
+
-
力学で質点が果たした役割を、電磁気学では点電荷が果たす。<br/>
+
-
==== 電子の電荷、質量　====
+
定義　<br/>
-
電荷;$\quad -e=-1.602\times 10^{-19}C]$<br/>
+
導線の位置ベクトル　$\vec x$　の電流密度　$\vec{i}(\vec x)$　とは、<br/>
-
ここで、 [C]　は電荷の単位クーロンである。
+
その方向・向きは、その地点を通過する電流の方向・向きで、<br/>
-
これについては、[[物理/電流と磁場#電流と電荷の単位|「5.4　電流と磁場　の1.3.2 電流と電荷の単位」]]を参照のこと。<br/>
+
大きさが　$i:=|\vec{i}(\vec x)|=\lim_{|S| \to 0}\frac{I_S}{|S|}$　<br/>
-
質量；$\quad m_e=9.11 \times 10^{-31}[kg]$<br/>　<br/>　
+
で与えられるベクトルである。<br/>
-
なお、電子は大きさのない電荷と考えられている。
+
ここで、S は点$\vec x$　をとおり電流の方向と直交する平面上の、点$\vec x$を含む微小領域、<br/>
-
詳しくは、
+
|S| はその面積、$I_S$　は、領域Sを一秒間に通過する電荷量である。<br/>
-
*[[wikipedia_ja:電子|ウィキペディア（電子）]]
+
$\frac{I_S}{|S|}$ は領域S上での単位面積当たりの電流の強さを表す。<br/><br/>
-
==== 陽子の電荷、質量、大きさ　====
+
電流密度を用いると、導線の断面を通過する電流の強さは、次のようにして求められる。<br/>　<br/>　
-
電荷;$\quad e=1.602\times 10^{-19}[C]$<br/>
+
命題<br/>　
-
質量；$\quad m_p=1.67 \times 10^{-27}[kg]$<br/>
+
導線上の任意の断面を　$S$　とする。<br/>
-
荷電半径;$\quad r_p=0.88 \times 10^{-15}[m]$<br/>
+
その断面を通過する電流の強さ　$I$　は、電流密度を用いて<br/>
-
詳しくは、
+
$I=\int_{S}\vec{i}(x)\idots \vec{n}(x)dS(x)$<br/>
-
*[[wikipedia_ja:陽子|ウィキペディア（陽子）]]
+
と表せる。<br/>
 +
ここで、$\vec{n}(x)$　は、点　$x (\in S)$　におけるＳの法線
-
==== 電荷保存の法則====
 
-
電荷は消滅も生成もしないことが、経験によって確かめられている。これを'''電荷保存法則'''という。
 
-
*[[wikipedia_ja:電荷保存則|ウィキペディア（電荷保存の法則）]]
 
-
 
-
=== クーロンの法則===
 
-
クーロンは実験の結果次の法則を発見した。<br/>
 
-
・同符号の２つの電荷間には斥力(反発力)、異符号の電荷間には引力が働く。<br/>
 
-
・その向きは、2つの電荷を結ぶ直線の方向と一致し、<br/>
 
-
・その大きさ　$f$　は、２つの電荷の積　$q_{1} q_{2}$　に比例し、その距離　$r$　の２乗に反比例する。<br/>
 
-
$f=k\frac{q_{1} q_{2}}{r^2}\qquad \qquad (1)$<br/>
 
-
なお、比例定数は,　$k=8.988\times 10^{9}[\frac{Nm^2}{C^2}]$　である(注参照）。
 
<br/>
<br/>
-
これを'''クーロンの法則'''という。<br />
+
<br/>
-
*[[wikipedia_ja:クーロンの法則|ウィキペディア（クーロンの法則）]]を参照のこと。
+
-
(注）この比例定数は、物理量を[[物理/質点の運動の表し方#.E6.99.82.E9.96.93.E3.80.81.E9.95.B7.E3.81.95.E3.80.81.E9.80.9F.E5.BA.A6.E3.80.81.E5.8A.A0.E9.80.9F.E5.BA.A6.E3.81.AE.E5.8D.98.E4.BD.8D|SI国際単位系]]で表示している（距離[m],電荷[C])ときの値である。<br/>
+
-
====　法則の適用可能な距離（RT)  ====
 
-
どの位の距離までこの法則は成り立つのであろうか。<br />
 
-
小さい方では、原子核の大きさは約　$10^{-15}m$ であるが、<br />
 
-
その中の陽子間にはクーロンの法則が成り立つと考えられている（注参照)。<br />
 
-
大きい方は、どこまで正確に法則がなりたつかは、はっきりしていない。
 
-
しかし、宇宙観測などからの分析から、現在の所、この法則は、この宇宙で普遍的に成り立つと考えられている。<br/><br/>
 
-
(注)　<br/>
 
-
何故、正の電荷を持つ陽子同士が、互いに反発して飛散せず、固く結合して原子核を作っているのだろうか？
 
-
それは、次章で簡単に触れるように、陽子同士が、これよりはるかに大きい核力で引き合うからである。
 
-
====　クーロンの法則のベクトル表示====
 
-
向きと大きさを同時に記述できるのでベクトル表示は便利である。<br/>
 
-
電荷$q_1$の位置ベクトルを$\vec{r_1}$、電荷$q_2$のそれを$\vec{r_2}$、<br/>
 
-
電荷$q_1$が電荷$q_2$から受けるクーロン力を$\vec{F_1}$とすると　　　<br />
 
-
$\vec{F_1}=k\frac{q_1q_2}{||\vec{r_1}-\vec{r_2}||^2}\frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{||\vec{r_1}-\vec{r_2}||}$    <br/>
 
-
この表現法に慣れておくとよい。ここで、$ k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} $ と表現することがある。 <br/>
 
-
$\varepsilon_0 $は'''真空の誘電率'''と呼ばれる。<br />
 
-
$k\fallingdotseq  9.0\times 10^{9}[\frac{N m^2}{C^2}]$なので 、<br/>
 
-
$\varepsilon_0\fallingdotseq  8.9\times 10^{-12} [\frac{C^2}{N m^2}]$ である。　　　<br/>
 
-
(注）真空中の誘電率という用語について；<br/>
+
===オームの法則===
-
真空は空虚な空間なので奇異に思うかもしれないが、歴史的にこう命名された。<br/>
+
==　電流が作る磁界　==
-
誘電については後述「2.5 電界中の不導体と誘電分極」で学ぶ。<br/>
+
電流は磁界をつくる。エルステッドは1820年に電流は方位磁針を動かす磁界を作り出すことを発見。
-
クーロン則は誘電されるものが無い状態で常になりたつ。<br/><br/>
+
本節では電流は直流電流に限定する。ゆっくりと変動する電流にたいしても、近似的に同様の性質が成り立つ。
-
==== 　３つ以上の電荷に働く力====
+
===　無限に長い直線導線に電流Ｉを流す時にできる磁界$ \vec{H} $ 　===
-
N(＞２)個の電荷$q_1,,,,q_N $ があるとき、$q_1$ に作用する電気力は、<br/>
+
実験によると、任意の点Ｐの磁界$ \vec{H(P)} $ は、大きさは、電流の大きさ　Ｉ　に比例、電流からＰ点までの距離　ｒ　に反比例し、向きは、導線とＰ点を含む平面に直角で、右ねじの進行方向を電流の方向と一致させたときの、ねじの回転する方向である。
-
$q_2,,,,q_N $　のそれぞれから$q_1$が受けるクーロン力（ベクトル表示）の和になることが<br/>
+
-
実験で確かめられている。<br/>
+
-
これを、'''クーロン力の重ね合わせ原理'''という。
+
 +
===　アンペールの研究　===
 +
[[wikipedia_ja:アンドレ＝マリ・アンペール|アンペール]]は、詳しい実験と考察により、任意の形状の電流の作る磁界に関するアンペールの法則を明らかにした。
 +
<br/>
 +
この過程で、実験により、次の重要な原理を発見した。
 +
====　磁界の重ね合わせの原理　====
 +
電流$ I_1$ がＰ点に作る作る磁界を$ \vec{H_1(P)}$,電流$ I_2$ がＰ点に作る作る磁界を$ \vec{H_2(P)}$ とすると、<br/>
 +
２つの電流$ I_1$と　$ I_2$　が同時に流れた時にＰ点に作る作る磁界は$ \vec{H_1(P)}+\vec{H_2(P)}$
-
==== 電気力は重力よりはるかに大きいこと====
+
====　環状の電流は磁石のようにふるまう　====
-
電子や陽子など、非常に小さい（あるいは大きさのない）素粒子と呼ばれる粒子は、<br/>
+
電流が流れている環状の線が作る磁場は、環の大きさに比べて十分離れたところでは、この環を縁とする板磁石のつくる磁界と同じになる。
-
その位置が確率的にしか分からないが、<br/>
+
-
ニュートン力学の質点ように、その位置が分かるとして、<br/>
+
-
陽子と電子の間に働く電気力と万有引力の大きさを比べてみよう。<br/>
+
-
以下では、両者の距離を　$r[m]$　とする。<br/>
+
-
（１）電気力<br/>
+
-
クーロンの法則の比例定数は $k=9\times 10^{9}[\frac{Nm^2}{C^2}]$、電気素量は、$e=1.6\times 10^{-19}[C]$　なので、<br/>　
+
-
クーロンの法則から、$f_e=ke^2/r^2[N]\fallingdotseq　9\times 10^{9} \times (1.6\times10^{-19})^2/r^2  [N]\fallingdotseq 23\times 10^{-29}/r~2 [N]$<br/><br/>
+
-
（２）万有引力<br/>
+
-
電子の質量は　$m_e\fallingdotseq 9\times 10^{-31}$、
+
-
　陽子の質量は　$m_p\fallingdotseq 1.67\times 10^{-27}$　なので<br/>
+
-
万有引力の法則から、<br/>
+
-
$f_g=Gm_em_p/r^2[N]\fallingdotseq　6.7\times 10^{-11}\times  9\times 10^{-31} \times 1.67\times10^{-27}/r^2  [N]\fallingdotseq 101\times 10^{-69}/r^2 [N]$<br/><br/>
+
-
これらから、<br/>
+
-
$\frac{f_e}{f_g} \fallingdotseq 2.3 \times 10^{39}$<br/><br/>
+
-
電気力が重力より桁違いに大きいことが分かる。<br/>
+
-
====運動する2つの電荷の間に働く力====
+
===　アンペールの法則　===
-
運動する2つの電荷の間にも力が働くが、クーロンの法則は正確には成り立たなくなる。<br/>
+
アンペールは,実験で明らかにした以上の事実から、次のような重要な法則を導いた。
-
その力は、電荷の運動に複雑に関係するため、導出は大変難しい。<br/>
+
*[[wikipedia_ja:アンペールの法則|ウィキペディア（アンペールの法則）]]
-
運動する電荷の作る電場を求め、電場中で動く電荷が受ける力を求める法則を用いて
+
この記述中の「閉じた経路にそって磁場の大きさを足し合わせ」た値は、この経路にそって１Ｗｂの磁荷を一周するとき磁荷が磁界から受ける仕事と同じ値である。<br/>
-
導出するほうが、見通しよく、簡単である。（後述予定。ＲＴ）
+
この値がこの閉路を貫く電流 Ｉ　に等しくなる、というのがアンペールの法則である。　<br/>
 +
この電流 Ｉ の向きは、電流の向きに進む右ねじの回転方向が、磁荷が閉路を一周するときの回転方向と一致するように定める。<br/>
 +
なお、アンペールの法則の導出は少し難しいので、高校では扱わない。
-
=== 電場（あるいは電界）===
+
===　アンペールの法則の応用　===
-
電荷間に作用する力を近接作用の考え方で考察して電場という重要な概念を得る。<br/>
+
アンペールの法則を用いると、対称性をもついろいろな電流の作る磁界が、実験をしなくても、数式の計算だけで求められる。<br/>
-
クーロンの法則を電場の概念でいいかえると、電場にかんするガウスの法則が得られる。<br/>
+
-
電場から電位や電圧という重要な概念も得られる。<br/>
+
-
なお、電場は、工学の分野では、電界と呼ばれることが多い。
+
-
==== 遠隔作用と近接作用(RT)====
+
====　無限に長い直線導線に電流Ｉを流す時にできる磁界$ \vec{H} $　====
-
電荷の間のクーロン力はどのようにして働くのだろうか。　<br/>
+
直線電流から無限に離れた点の磁界は零と仮定してよい。
-
遠隔作用と近接作用という二つの考え方がある。<br/>
+
直線電流を軸とした回転で対称な現象なので、$ \vec{H} $は、導線からの距離 ｒ が等しい場所の電界は、この軸の周りの回転で一致するため、大きさはすべて等しい。この値を$ H(r)$と書く。<br/>
-
遠隔作用では、離れた電荷が瞬時に直接互いに力を及ぼしあうと考える。<br/>
+
任意の点Ｐに電流　Ｉ　がつくる磁界を$ \vec{H_I}$とすると重ね合わせの原理から、同じ大きさの電流を逆に流すとき、Ｐ点の磁界は$ \vec{H_{-I}} = -\vec{H_I}$。
-
近接作用では、電荷はその周りの空間を電気的にひずませ、<br/>
+
これを上下逆にしてながめると、対称性から$ \vec{H_I}$　とおなじにみえなければならないので、$ \vec{H_I}$は、Ｐ点を始点として、$ \vec{O(P)P} $と直交したベクトルである（ここでO(P)はＰ点から直線電流におろした垂線の足）。<br/>
-
それが空間全体に及んで行き、
+
さらに直線状の導線から距離$r_1$と$r_2$にある長さ$l$の線分を対辺とする長方形にアンペールの法則を用いると「$\vec{ H_I}$のＩと平行な成分」は電流からの距離に無関係な値になることが分かる。無限遠点では零なので、どこでも零であることが分かる。ゆえに磁界は電流と直交。<br/>
-
この歪の中におかれた他の電荷は、その場所の歪から力を受けると考える。　<br/>
+
その向きは、「電流と垂直に交わり、かつ、電流を中心とする半径 ｒ の円」の接線の、（電流の方向に進む）右ねじの回転方向である。従って、この円に沿って１Ｗｂの磁荷を一周させるとき、磁荷の受ける仕事は、$ 2\pi r H(r) $となる。アンペールの法則から、
-
この空間の電気的歪を電場と呼ぶ。<br/>
+
$ I=2\pi r H(r)$　∴$ H(r)=I/2 \pi r$ 
-
静電気を考えるだけならば、両者は、単なる読み替えに過ぎず、同じ結論になる。<br/>
+
-
しかし、電気量が変化したり、電荷が動く場合には、遠隔力では説明できない現象が起こる。<br/>
+
-
そこで現在、電磁現象は、近接作用の基づいて起こると考えられ、<br/>
+
-
電磁気学は、この考え方で研究され、記述されている。<br/><br/>
+
-
(注）真空は何もない空虚な空間と考えるのではなく、電磁気的な性質を持つ空間であると考える。<br/>
+
-
これは、真空という空間の物理的性質の解明の一端となりえる認識の変革である。
+
-
 
+
-
==== 電場の定義====
+
-
電荷に静電気力（クーロン力）を及ぼす空間を'''電場'''[electric(al) field]と呼ぶ。<br/>
+
-
クーロンの法則から、静止電荷は電場という、他の電荷に力をあたえる力の場を作ることが分かる。<br/><br/>
+
-
空間の任意の点Pの電場の強さと向きは、<br/>
+
-
その点に単位量の点電荷を置いたときに作用する静電気力で定義する。　<br/>
+
-
正確には、単位電荷をおくと、この電荷が、空間の電場をつくっている電荷達に、力を及ぼし動かして、<br/>
+
-
単位電荷の場所Pの電場を変えてしまう恐れがあるので、<br/>
+
-
無限小の電荷ｑを置いた時作用する電気力を　$\vec{f}$ とするとき、<br/>
+
-
$\vec{f}/q $ で'''P点での電場'''を決め,　$ \vec{E(P)}$　で表す(注参照)。
+
<br/>
<br/>
-
作用する電気力はベクトルで、それを電荷量というスカラーで割って定義する電場はベクトルである。<br/>
+
====　ソレノイドの作る磁界====
-
詳しくは
+
円筒形の長い中空の筒に導線を一様に密にまいたコイルをソレノイドという。１ｍあたりｎ巻きしているとする。これに電流Ｉを流した時にできる磁界を求めよう。　<br/>
-
*[[wikipedia_ja:電場|ウィキペディア（電場）]]
+
厳密な解は難しいので、近似解をアンペールの法則から求めよう。<br/>コイルを流れる電流はコイルの各場所で右ねじの方向の磁界を発生させる。これらがある場所では強めあい、他の場所では弱めあって、現実の磁界が出来る。<br/>
-
（注）電子を電場計測には使用できない。<br/>
+
ソレノイドの外側の側面の近くの磁界は、反対側の側面の電流のつくる磁界と弱めあい、ほぼ零。<br/>=
-
その理由は、次章で説明するように、<br/>量子力学的な効果のため、その位置を固定できないためである。<br/>
+
ソレノイドの内側の磁界はつよめあうので大きい。ソレノイドが、その軸のまわりの回転に関して対称なので、磁界の方向はソレノイド軸と平行で、磁界の大きさは、軸からの距離の等しいところでは同じ。<br/>
-
電場の定義には、位置の確定できる電荷が
+
さらに軸からの距離に関係なく同じ大きさ（Hと書く）であることが、アンペールの法則から、次のように証明できる。<br/>軸に平行で、軸からの距離$ r_1$と軸からの距離$ r_2$の長さｌの線分を対辺とする、ソレノイド内部の長方形を考えろ。これにそって１Ｗｂの磁荷を動かす時に磁荷の受けるエネルギーは、この長方形を貫く電流の大きさ零に等しい。これより導ける。<br/>
-
必要であり、<br/>
+
内側の磁界の大きさは、'''H=nI'''。　<br/>
-
巨視的には点とみなせるが、
+
何故なら、ソレノイドの軸と平行で長さがｌの2本の線分<br/>
-
原子レベルでみると、大きな電荷(点電荷という）を用いるしかない。<br/>
+
（一方はソレノイドの外側で側面に近いもの、他方はソレノイド内部）<br/>
-
従って電場とは、巨視的には点とみなせる領域の平均的な値を与えるだけである。<br/>
+
を対辺とする長方形を考え、これにアンペールの法則を適用すれば、<br/>
-
電磁気学では、<br/>
+
これを一周する１Ｗｂの磁荷のうける仕事＝Ｈｌ，<br/>
-
任意の時刻ｔの空間の各点$\vec x$に、<br/>
+
これがこの長方形を貫く電流総和＝nlI　に等しい。
-
この点の周りの巨視的には点とみなせる領域の<br/>
+
====　もっと一般の電流の作る磁界　====
-
平均的な場の値$E(\vec x,t)$を対応させ、電気現象を研究する。
+
アンペールの法則から直接計算するのは難しい。<br/>
 +
アンペールの法則と磁界の重ね合わせの原理から、<br/>
 +
磁界計算に大変都合のよい、ビオ・サバールの法則がえられる。<br/>
 +
これについては大学で学ぶ。興味のある方は
 +
*[[wikipedia_ja:ビオ・サバールの法則|ウィキペディア（ビオ・サバールの法則）]]
 +
をご覧ください。
 +
==　磁界が電流に及ぼす力　==
 +
アンペールは、電流は磁石に力を与えるので、（作用・反作用の原理から）磁石は電流に力を与えるはずであると考えた。<br/>
 +
さらに電流は磁石と同じ作用を持つので、電流は電流に力を及ぼすと考え、実験で次の事実を明らかにした。
-
==== 静止した点電荷の作る電場　====
+
===　2本の平行な直線状の電流が及ぼしあう力　===
-
空間の位置$\vec{r}$の電荷$\mathit{q}$が位置$\vec{r'}$ に作る電場は、<br/>
+
2本の平行な導線に、それぞれ電流$I_1,I_2$を流すと、それらの電流の単位長さあたりには、次のような力$ \vec{F}$が働く。<br/>
-
クーロンの法則と電場の定義から、<br/>
+
大きさは$F = k\frac{I_1 ,I_2}{R}$,  ,  ,(1)<br/>
-
$\vec{E_q(r')}=\frac{kq}{||\vec{r'}-\vec{r}||^2}\frac{\vec{r'}-\vec{r}}{||\vec{r'}-{r}||}$    <br/>
+
ここでR は平行線間の距離、ｋは正の比例定数。Ｆの単位は[N/m]<br/>
-
(注)導出；<br/>
+
力$\vec{F}$の向きは、<br/>
-
位置$\vec{r'}$ の電荷$q'$が、電荷$q$から受ける力$\vec{F}$は、クーロンの法則から　<br/>
+
$I_1$と$I_2$が同じ向きならば相手の電流から引力をうけ、相手の導線へおろした向きつき垂線とおなじ向き、<br/>
-
$\vec{F}=k\frac{qq'}{||\vec{r'}-\vec{r}||^2}\frac{\vec{r'}-\vec{r}}{||\vec{r'}-\vec{r}||}\qquad \qquad (a)$    <br/>
+
電流の向きが異なるならば斥力で、相手の導線へおろした向きつき垂線と逆の向きとなる。<br/>
-
電場の定義から、位置$\vec{r'}$ の電場$\vec{E_q(r')}$は<br/>
+
この事実にもとずいて、次のように、電流の単位が定められる。
-
$\vec{E_q(r')}=\vec{F}/q'$<br/>
+
-
この式に、式(a)を代入する。
+
-
===== 電場によるクーロンの法則の表現=====
+
-
場所$\vec{r}$の電荷$ \mathit{q} $と、場所$\vec{r'}$の電荷$ \mathit{q'} $の間に働く電気力は、<br />  
+
-
$\vec{F}=qk\frac{q'}{||\vec{r}-\vec{r'}||^2}\frac{\vec{r}-\vec{r'}}{||\vec{r}-{r'}||}=q\vec{E_{q'}(r)}$ ; 電荷$ \mathit{q} $  に働く力<br />
+
-
$\vec{F'}=q'k\frac{q}{||\vec{r'}-\vec{r}||^2}\frac{\vec{r'}-\vec{r}}{||\vec{r'}-\vec{r}||}=q'\vec{E_q(r')}$ ；電荷$ \mathit{q'} $  に働く力  <br />
+
-
===== 点電荷のつくる電場=====
+
===電流と電荷の単位===
-
点電荷のつくる電場については
+
====電流の単位 アンペア（A)  ====
-
*[[wikipedia_ja:電場|ウィキペディア（電場）]]　の2.1 クーロンの法則
+
-
を参照のこと。静電荷の作る電場は、時間変動がなく、静電場と呼ばれる。　
+
-
===== ２つ以上の点電荷の作る電場=====
+
-
クーロン力の重ね合わせの原理と電場の定義から、<br/>
+
-
それぞれの電荷がつくる電場のベクトル和を取れば良いことが分かる。<br/>
+
-
'''電場の[[wikipedia_ja:重ね合わせの原理 |重ね合わせの原理]]'''という。
+
-
===== 電場の単位=====
+
１ｍの間隔の2本の直線状の電線に、等しい大きさの電流を流したとき、<br/>
-
$ \vec{F}=\mathit{q}\vec{E} $、電荷$\mathit{q}$の単位はＣ（クーロン）、力$ \vec{F} $の単位はN（ニュートン）なので、<br />
+
それぞれの電線の１ｍあたりに、$2 \times 10^{-7} N/m $ の力が作用する時、<br/>
-
電場$ \vec{E} $の単位はＮ/Ｃ である。
+
この電流（の大きさ)を１アンペア(Ａ)と決める。<br/>
-
==== 電気力線とガウスの法則====
+
*[[wikipedia_ja: アンペア|ウィキペディア(アンペア)]]
-
===== 電気力線とは　　=====
+
すると(1)式より、$2 \times 10^{-7}[N/m] = k\frac{1[A^2]}{1[m]}$, <br/>
-
電場を目で見て理解できるように工夫したのが電気力線である。<br />
+
故に比例定数は、$k=2\times 10^{-7}[N/A^2]=\frac{\mu _0}{2 \pi}$。<br/>
-
電場内で正の電荷が電場から力を受けて非常にゆっくりと動く時<br/>
+
ここで、$\mu _0= 4 \pi\times 10^{-7}[N/A^2]$は'''真空の透磁率'''とよばれる。
-
その方向に向きをつけた軌跡（曲線）を考え、'''電気力線'''(line of electric force)と呼ぶ。<br/>
+
-
正確には、曲線の各点における電場が、その曲線に[[wikipedia_ja:接線 |接している]]ような曲線(電場の[[wikipedia_ja: 包絡線|包絡線]]）を電気力線という。
+
-
===== 電気力線の本数と密度=====
+
====電荷の単位 クーロン（C)  ====
-
ある点Pで電場の強さが$ \mathit{E}=|\vec{E}| $　であるとき、<br/>
+
1アンペアの電流によって1秒間に運ばれる電荷量を1クーロン（１C)という。<br/>
-
その点の周りに電場と直交する微小な平面部分を考え、<br/>　
+
*[[wikipedia_ja:クーロン|ウィキペディア（クーロン）]]
-
そこを$1m^2 $ あたり$ \mathit{E} $本の密度で<br/>
+
=====電気素量 =====
-
電気力線が通るように描いて、電場の強さを表示する。<br/>　
+
電気素量は、$ e = 1.6\times 10^{-19}[C] $<br/>
-
電場の強さが、負のときは向きを逆にする。<br/>　
+
その計測法については以下を参照のこと。
-
電場の強さが整数でなく、例えば0.1単位で変わる時に電気力線を図示するには、<br/>
+
*[[wikipedia_ja:電気素量|ウィキペディア（電気素量）]]
-
一本の電気力線が0.1を表すなど工夫すればよい。
+
-
===== ガウスの法則=====
+
===平行電流に働く力の近接作用による表現===
-
●　Ｏ点に置かれた一つの点電荷$q$がつくる電気力線の場合；<br/>
+
電流$I_1$は、電流$I_2$が作った磁界から力を受けると考え、１ｍあたりに働く力の大きさＦを、$F = \frac{\mu _0}{2 \pi}\frac{I_1 ,I_2}{R}= I_1 \mu_0 \frac{I_2}{2 \pi R} $と変形。直線電流$I_2$が作る磁界は、電流$I_1$のところでは、大きさが$ H_{I_2}{(R)}=I/2 \pi R$ であり、$I_1$と直交している。そのため$F =  I_1 \mu_0  {H_{I_2}{(R)}}=I_1 \mu_0  {H_{I_2}{(R)}}\sin(\pi/2)$ と書ける。
-
電気力線はＯ点を始点とする外向きの半直線となる。<br/>
+
===　磁束密度と磁束===
-
その密度；Ｏ点を中心とし半径$r$ [ｍ]の球面上での電場の大きさは、<br/>
+
'''$ \vec{B} = \mu_0  \vec{H}$''' で、'''磁束密度'''という変量を導入する。すると、磁束密度$\vec{B}$と直交する電流　I　には１ｍあたり、 $F = I|\vec{B}|= I|\vec{B}| \sin(\pi/2)$ の力が働く。 <br/>  
-
$\mathit{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}=\frac{kq}{r^2}$ [N/C] なので、この球面を$1m^2 $ あたり$\mathit{E}=\frac{kq}{r^2}$ 本の電気力線が、中から外に向かって貫く。<br />
+
９章で学んだ磁力線の本数を、$\vec{B}$と直交する単位面積（１㎡）あたりB(=$|\vec{B}|$)本書くとする。すると、磁力線と直交する面積 S には、$ \Phi=BS $　本の磁力線が貫くことになる。つらぬく磁力線の総本数$ \Phi $　を'''磁束'''と呼ぶ。　<br/>
-
但し、$q \lt 0$ のときは、$\frac{k|q|}{r^2}$ 本の電気力線が外から中に向かうと決める。<br/><br/>
+
点Pでの磁束密度$\vec{B(P)}$は、その点での磁力線の方向と磁束の密度を表す。<br/>
-
球面を貫く電気力線の総本数；球面の面積は$4 \pi r^2$ なので、<br/>
+
磁束密度については
-
球面全体を貫く電気力線の総本数は$\frac{|q|}{\varepsilon_0} =4\pi k|q|$。<br/>
+
*[[wikipedia_ja:磁束密度|ウィキペディア（磁束密度）]]
-
故に、球面の半径を変えてもこの本数は変わらないことが分かる。<br/>
+
を参照のこと。
-
大学で学ぶ少し高等な数学(注参照）を利用すると、<br/>
+
-
Ｏ点を含む任意の形状の立体の表面を貫く電気力線の総数も、<br/>
+
-
$\frac{q}{\varepsilon_0} $であることが示せる。<br/>
+
-
（注)ベクトル解析という。
+
-
興味のある方は本テキストの<br/>
+
-
[http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6(2)%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E3%83%BB%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90#9._.E7.89.A9.E7.90.86.E6.95.B0.E5.AD.A6.282.29.E5.A4.9A.E5.A4.89.E6.95.B0.E3.81.AE.E8.A7.A3.E6.9E.90.E5.AD.A6.E3.83.BB.E3.83.99.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB.E8.A7.A3.E6.9E.90  「9章　物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析」](RT;執筆予定）、　
+
-
*[[wikipedia_ja:ベクトル解析|ウィキペディア(ベクトル解析)]]
+
-
をご覧ください。<br/>
+
-
●Ｏ点を含まない任意の形状の立体の表面を貫く電気力線の総本数；<br/>
+
-
Ｏ点からの半直線である電気力線がこの面から立体の中にはいると、<br/>
+
-
必ず出ていくので、この立体に入る電気力線の本数は、出ていく本数と等しい。<br/>
+
-
前者は負の本数と取り決めると、立体を出ていく本数の合計は0本となる。<br/>
+
-
故にこの場合も、<br/>
+
-
立体の表面を貫いて出ていく電気力線の総数＝$\frac{q}{\varepsilon_0} $が成立する。<br/>
+
-
ここで$q=0 $はこの立体の内部にある点電荷量。<br/>
+
-
======ガウスの法則 ======
+
-
点電荷の作る電場では<br/>
+
-
　　任意の形状の滑らかな境界を持つ立体の表面を貫く電気力線の総本数は、<br/>
+
-
その内部の電荷量をｑとすると、<br/>
+
-
$\frac{q}{\varepsilon_0} \qquad \qquad (1)$<br/>
+
-
を満たすことが分かった。<br/>
+
-
●　重ね合わせの原理をもちいると、上記の法則は次のように、一般化出来る。<br/>
+
-
電磁気学の基本法則の一つで,非常に重要な法則である。  <br/><br/>
+
-
'''ガウスの法則'''；
+
-
任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数＝$\frac{Q}{\varepsilon_0} $。<br />
+
-
ここで、$Q$はこの立体の内部にある全電荷量。  <br/><br/>
+
===　磁界中の電流がうける力===
 +
①　磁界が同じならば、それが何によって作られたものであるかに関係なく同じ力をうけるはずである。 <br/>
 +
したがって磁界$H$に直行する電流$I$の受ける力は、<br/>
 +
１ｍあたり$F=\mu_0IH=IB$の大きさで、<br/>
 +
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向。<br/>
 +
②　それでは、磁界と電流が直交しないときに受ける力はどうなるのだろうか。<br/>
 +
実験によると磁界と電流が平行ならば、電流は磁界から力を受けないことが確かめられる。<br/>
 +
これら2つの事実から、電流と磁界のなす角度を$\theta$　とすると、<br/>
 +
磁界中の電流に働く、単位長さ当たりの、力$ \vec{F}$は、<br/>
 +
大きさが$F=\mu_0IH\sin\theta=IB\sin\theta$ <br/>
 +
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向,のベクトル<br/>
 +
であることが示せる。
-
この法則の導出を吟味すると、ガウスの法則はクーロン則から導かれていることがわかる。 <br />
+
====　ベクトル積またはクロス積    ====
-
ところがクーロン力はあらゆる静止電荷間に作用するので <br />
+
電流が磁界から受ける力$ \vec{F}$は、以下の、ベクトル積（クロス積とも呼ばれる）を使うと正確に、簡単に記述できる。
-
ガウスの法則は、電気力線（電場）を生み出している、立体Ｖの内部にある電荷をすべて考慮してＱとすれば、どのような物質の中でも、常に成立している。<br />
+
*[[wikipedia_ja:クロス積|ウィキペディア（クロス積）]]
-
「2.5 電場中の不導体と誘電分極」で学ぶように電荷Ｑを置いたとき、それが作る電場で、自動的に電荷が誘導され、これのつくる電場がもとの電場に加わって変化した電場が観測される。 <br />
+
これを用いると、磁界から電流の受ける力は,１ｍあたり、 <br/>
-
そこで観測電場の電気力線のガウスの法則の右辺の電荷は、立体Ｖ内の元の電荷と誘電された電荷を含めたものにしないといけない。
+
$ \vec{F}=\mu_0\vec{I}\times\vec{H}=\vec{I}\times\vec{B}  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  $ (10-1)<br/>
-
● ガウスの法則は電磁気学の基本法則のひとつで、色々応用されるので、理解を深めるため別の表現を記しておく。<br />
+
ここで、　$ \vec{I}$　は、大きさが$I$で、方向が電流の方向と一致するベクトルで、電流ベクトルと呼ばれる。
-
「任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数」を、電場$\vec E$とＳの各点$\vec r$に立体Ｖの外部にむけて立てた長さ１の垂線$\vec n(\vec r)$(Ｓの点$\vec r$におけるＶの単位外法線と呼ぶ）を用いて表現しよう。<br />
+
=====  ベクトル積の性質　=====
-
'''$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$が方向も向きも一致するとき'''は、面Ｓは、点$\vec r$の近くの小部分$dS(\vec r)$で、$\vec E(\vec r)$と直交するので、ここを貫いて出ていく電気力線の本数はE（$\vec r$)×$dS(\vec r)$の面積＝$\vec E(\vec r)$の外法線成分×$dS(\vec r)$の面積。<br />
+
$ \vec{a},\qquad \vec{b},\qquad \vec{c}$を2次元あるいは3次元ベクトルとする。<br/>
-
'''$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$が方向は一致するが向きは逆の時'''は、 <br />
+
性質０．$ \vec{a} $ を, $ \qquad \vec{b} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,
-
点$\vec r$の近くの小部分$dS(\vec r)$で、$\vec E(\vec r)$と直交するが、電気力線は、この小部分から、立体Ｖに、流れ込む。 <br />
+
平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 <br/>
-
その本数はマイナスで数え、-E（$\vec r$)×$dS(\vec r)$の面積＝$\vec E(\vec r)$の外法線成分×$dS(\vec r)$の面積。<br />
+
$\qquad \qquad \qquad  \vec{a} \times \vec{c}= (\vec{a_\perp}+\vec{a_\parallel})\times \vec{c}=\vec{a_\perp} \times \vec{c}$ <br/>
-
'''$\vec n(\vec r)$と$\vec E(\vec r)$ が角度 $\theta$のとき。''' <br />
+
性質１．$ \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$   <br/>
-
$\vec E(\vec r)$の、小部分$dS(\vec r)$に対する直交成分は、$\vec E(\vec r)$の外法線成分であるので、この部分を貫いて外部に出ていく電気力線の数は、この場合も、$\vec E(\vec r)$の外法線成分。<br />
+
性質２．$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　<br/>
-
局面Ｓの微小部分$dS(\vec r)$を寄せ集めてＳ全体にすると、<br />
+
性質３．$(e_1,e_2,e_3)$ をそれぞれ長さ１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトルとする。この時、<br/>
-
「任意の形状の立体Ｖの表面Ｓを貫いて出ていく電気力線の総数」は、電場$\vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積となる。<br />
+
$\qquad \qquad \qquad e_1 \times e_2 = e_3, \qquad e_2 \times e_3 = e_1, \qquad  e_3 \times e_1 = e_2$<br/>
-
従ってガウスの法則は、次のように言いかえることができる。<br />
+
性質０の証明；ベクトル積の定義から明らかである。<br/>
-
Ｓ上の電場$\vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝$\frac{Q}{\varepsilon_0} $。<br />
+
性質１の証明；ベクトル積の定義から明らかである。<br/>
-
あるいは、$\varepsilon_0 \vec E$の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝$Q$。
+
性質２の証明；①　$ \vec{a},\qquad \vec{b}$　と$ \qquad \vec{c}$ が直交する場合。<br/>
 +
$\vec{a} \times \vec{c} $は、$ \vec{a} $を、$\vec{c} $と垂直な平面H内で90度回転（右ねじを$\vec{a}$から$\vec{c}$へ回した時の進行方向）して、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。$\vec{b} \times \vec{c} $は、同じ平面H内で$ \vec{b} $を、同じ方向に、90度回転して、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}$も、同じ平面内を同じ向きに90度回転し、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。従って$ \vec{a}$と$\vec{b}$から作られる平行四辺形と$\vec{a}\times \vec{c} $ と$\vec{b}\times \vec{c} $からつくられる平行四辺形は相似となり、$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$が示せる。　<br/>
 +
②　一般の場合。<br/>
 +
性質０より、$\perp$ を$ \qquad \vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1)<br/>
 +
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、<br/>
 +
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$,①より、<br/>
 +
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$。証明終わり。<br/>
 +
性質３の証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から、明らかである。　
-
（注）これは真空中にある電荷について成立する。<br/>
+
===　ローレンツ力　===
-
不導体である流体、気体中では、<br/>
+
磁界中では電流は力を受ける事が分かった。電流とは運動する電荷なので、運動する電荷は磁界から力を受けることになる。  <br/>
-
電荷$Q$により生じる電場から流体や気体の原子中の原子核と電子が逆向きの力を受けて位置を変え、<br/>
+
それでは、速度$\vec{v}$　で運動する電荷$e$はどのような力を受けるのだろうか。　<br/>
-
片側に＋、反対側に－電荷が集まる（分極するという）。<br/>
+
電流に働く力から、この力を導こう。<br/>
-
この分極電荷により新たに生じる電場が加わって、<br/>
+
導線の断面積をＳ[$m^2$]とし、そこを電荷$e(\gt 0)$が、電流方向に速さ　ｖ[$m/s$]で運動（実際には電荷$-e$
-
電気力線の数がかわってしまうので、ガウスの法則は成り立たない。<br/>
+
の自由電子が、電流と逆方向に速さｖで運動）しているとする。自由電子の密度をｎ[個/$m^3$]とする。
-
しかし分極電荷も電荷にくわえれば、ガウス法則は常に成り立つ。<br/>
+
=====　電流 I と電荷の速さ v との関係　=====
-
これについては、[http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E3%81%A8%E7%A3%81%E6%B0%97(%EF%BC%91)_%E9%9D%99%E9%9B%BB%E6%B0%97%E3%81%A8%E9%9B%BB%E7%95%8C%E3%80%81%E9%9D%99%E7%A3%81%E6%B0%97#.E9.9B.BB.E7.95.8C.E4.B8.AD.E3.81.AE.E4.B8.8D.E5.B0.8E.E4.BD.93.E3.81.A8.E8.AA.98.E9.9B.BB.E5.88.86.E6.A5.B5.E3.80.80  「2.5 電場中の不導体と誘電分極」]で学ぶ。
+
電流が$I[A]$なので、定義から導線のある断面を通過する電荷量は毎秒$I[C/s]$,
 +
他方、その断面を通過する電荷の個数は毎秒$Svn$個である。
 +
∴　$I=Svne$　　<br/>
-
===== ガウスの法則の応用=====
+
====　一個の電荷が磁界から受ける力　====
-
例１：面密度（単位面積あたりの電荷量）$\sigma(\gt 0) $　で、一様に電荷が分布する無限に広い平面の作る電場。 <br/>
+
従って、電流ベクトル$\vec{I}$ と電荷の速度ベクトル$\vec{v}$ の間には、$\vec{I}=Sne\vec{v}$　<br/>
-
ヒント　 <br/>
+
(10-1)式の右辺に、上式を代入すると、
-
対称性から、平面から距離ｄの点の電場は、<br/>
+
$ \vec{F}=Sne\vec{v}\times\vec{B} $<br/>
-
方向・向きはこの平面に直交し電荷平面から放射される向きで、大きさはどの点でも等しい。<br/>
+
これが導線1mの受ける力であるが、導線1m中には電荷は$Sn$個あるので、一個の電荷（速度$\vec{v}$)の受ける力は、<br/>
-
この大きさを求めるには、次のようにガウスの法則を利用する。<br/>
+
$ \vec{f}=e\vec{v}\times\vec{B} $
-
電荷平面から距離ｄの点からなる一つの直方体の表面を考え、ガウスの法則を適用する。<br/>
+
-
　[[File:GENPHY00010501-01.pdf|right|frame|図　一様な電場]]
+
-
解：$E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} $         <br/><br/>
+
-
例2：平行板コンダンサー（2枚の金属の薄い平板を距離ｄをへだてて平行に置き電極をつけたもの。ｄに比べ平板面積は十分大きいとする）<br/>
+
-
1枚の極板(平板のこと)に面密度 $+\sigma $、他方の極板に面密度$-\sigma $の電荷を帯電させた時、<br/>
+
-
周りに生じる電場を求めよ。<br/>
+
-
解：例１と重ね合わせの原理より、<br/>
+
-
極板間では大きさは$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} $,<br/>
+
-
方向・向きは極板に直交し、正の極版から負の極版の向きである。<br/>
+
-
他の場所では電場は零である。
+
-
=== 電位と電圧===
+
====　ローレンツの法則　====
-
==== クーロン力は保存力で、電場は保存力場 ====
+
電界$ \vec{E} \ $,磁束密度  $ \vec{B} \ $の中を、速度$ \vec{v} \ $で運動する電荷　q　は、
-
クーロン力は、<br/>
+
$ \vec{f}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}) $　の力を受ける。これを'''ローレンツの法則'''という。<br/>
-
2章 力学 4節 エネルギーと保存則(その1) の
+
電荷に働く電磁気的な力は、必ずローレンツの法則を満たすことが実験で確かめられている。　<br/>
-
[[物理/エネルギーと保存則(その1)#保存力の十分条件|保存力の十分条件]]
+
次の解説を参照のこと。
-
によれば、<br/>
+
*[[wikipedia_ja:ローレンツ力|ウィキペディア（ローレンツ力）]]
-
保存力であることが分かる。
+
-
====　電位====
+
-
保存力は位置エネルギをもつ。クーロン力の位置エネルギーを電位という。<br/>
+
-
具体的には、<br/>
+
-
ある点Ｏを定め、この点の電位を零と定める。Ｏ点を電位の基準点と呼ぶ(注1参照)。<br/>
+
-
電場中の任意の点Ａの'''電位'''（electric potential）とは、<br/>
+
-
単位電荷をＯ点からＡ点に、<br/>
+
-
電場から受ける力を打ち消しながら（電荷の運動エネルギーが無視できるほどに)ゆっくり動かすのに必要な仕事の量で定義する(注2参照)。<br/>
+
-
基準点Oからみた電位ともいう。<br/>
+
-
単位電荷をＡ点からＯ点まで移動させるときに、電場からの力がする仕事をＡ点の電位と定義しても、同等である。<br/>
+
-
複雑に配置された電荷のつくる電場の場合にも、重ね合わせの原理から、電場からうける力は保存力となり、電位は経路に関係なく一意に定まる。　<br/>
+
-
　<br/><br/>
+
=====　一様な静磁界のなかの荷電粒子の運動　=====
-
  (注1)通常、基準点Ｏは無限遠の点が選ばれる。<br/>
+
一様な磁界（磁束密度$\vec{B}$が一定）の中で、電荷 ｑ はどのように運動するか、調べよう。但し重力の影響は無視する。<br/>
-
（注2）電場は保存力場なので、<br/>
+
電荷の時刻ｔでの位置を$\vec{r(t)}$,その時の速度を$\vec{v(t)}$
-
Ｏ点からＡ点に動かす経路に関係なく,仕事は一定である。<br/>
+
、加速度を$\vec{\alpha(t)}$とおくと、粒子の運動方程式は<br/>
-
==== 2点間の電圧====
+
$m\vec{\alpha}=m*d\vec{v}/{dt}= q\vec{v(t)}\times\vec{B}\qquad \qquad \qquad $ (1)　<br/>
-
２点間の電位の差を、'''電位差'''(difference of electric potential)あるいは'''電圧'''(voltage)という。<br/>
+
磁界に垂直に電荷を速さvで入射する。<br/>
-
電荷の単位をクーロン、仕事の単位をジュールとしたときの電位や電圧の単位を'''ボルト'''(記号Ｖ)という。<br/><br/>
+
「上式の右辺で表される電荷の受ける力」の方向は電荷の速度ベクトル$\vec{v(t)}$ と磁界$\vec{B}$ の双方に垂直で、右ねじを速度ベクトルから磁界のほうに回した時のねじの進行方向である。電荷は受ける力の方向に向きを変えるので、絶えず磁界に垂直な方向に向きを変える。従って、電荷は磁界と垂直な1つの平面上を向きをかえながら進行する。<br/>
 +
この間電荷は、進行方向に直角の力を受け続けるので、電荷は磁界からエネルギーを受け取らない。従って、運動エネルギー保存則より、電荷の速さは入射時の速さvを保持する。<br/>
 +
したがって、電荷は進行方向と直角の方向に、大きさが一定qvBの力を受け続けて等速 v で運動するので、曲がり方も絶えず一様となり、等速vで円軌道を描くことが分かる。この半径を r と書くと、[[物理/力学(1) 速度、加速度とヴェクトル|「２章　力学(1) 速度、加速度とヴェクトル」]]の「2.2.2.3 等速円運動の加速度」の式から、加速度の大きさは$\alpha={v^2}/{r}$であり、また、(1)式の両辺のベクトルの大きさが等しいことから$m\alpha= qvB$なので、半径は$r=mv/(qB)$ である。
-
なお電位については
+
===　磁界中を動く導体に発生する起電力　===
-
*[[wikipedia_ja:電位|ウィキペディア（電位）]]
+
導体は膨大な個数の正電荷（原子核）と負電荷（電子）を持っている。導体を磁界中で動かすとこれらの電荷は、磁界中を動くことになり、磁界からローレンツ力を受ける。
-
また保存力については、
+
-
*[[物理/力学(4) 運動量と力学的エネルギー保存則|力学(4) 運動量と力学的エネルギー保存則]]の位置エネルギーの項と
+
-
*[[wikipedia_ja:電位|ウィキペディア（電位）]]
+
-
を参照のこと。<br/><br/>
+
-
===== 電位・電圧の単位(RT)=====
+
-
電荷の単位を[C],仕事の単位を[J]にした時の電位を、ボルトという。<br/>
+
-
 
+
-
すなわち
+
-
電場からの力[N]に抗して、1クーロンの電荷を運ぶのに必要な仕事([J])を表わす。
+
-
*[[wikipedia_ja:ボルト|ウィキペディア（ボルト）]]
+
-
[V]=[J/C]で、<br/>
+
-
==== 電場と直交する曲線上では等電位====
+
-
曲線のどの場所でも電界と直交する曲線Ｃを考える。<br/>
+
-
この上では電位は等しいことが次のようにして示せる。<br/>
+
-
曲線上の任意の点Ａから、曲線上の他の点Ｂまで、単位電荷を曲線にそってゆっくり移動させよう。<br/>
+
-
この時電荷に加える力は、電場と逆むきで大きさの等しい力である（注参照)。<br/>
+
-
しかしＣ上を動くときは、常に電界と直交する方向に動くので、電荷に加える力とも直交し、仕事は零となる。<br/>
+
-
したがって電位は等しい。<br/><br/>
+
-
（注）これ以外に、曲線Ｃ上をゆっくり動かすためにＣの接線方向に無限に小さな力を加える必要がある。<br/>
+
-
しかしこの力のなす仕事は無限に小さく無視できる。
+
-
 
+
-
 
+
-
==== 点電荷のつくる電場の電位====
+
-
電位の基準点として無限の彼方をとる。<br/>
+
-
Ａ点に置かれた＋ｑ[C]の電荷のつくる電場の電位は、Ａ点から距離ｒ[m]の点Ｐで、<br/>
+
-
$\mathit{V}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$である。　　<br/>
+
-
これは単位の正電荷を無限遠点からＰ点まで、<br/>
+
-
クーロン力に抗した力を加えゆっくり動かす時の力のなすエネルギーを積分計算して求められる(
+
-
注参照）。<br/>
+
-
（注)RT
+
-
 
+
-
==== ２つ以上の点電荷の作る電場の電位====
+
-
電場の重ね合わせの原理から、それぞれの点電荷のつくる電位を加えればよいことが分かる。
+
-
 
+
-
====　電気双極子　====
+
-
電気双極子（electric dipole）とは、微小な距離だけ離れた、大きさの等しい正負一対の電荷のこと。　　<br/>
+
-
後述するように電気双極子は自然界によく現れるので、双極子のつくる電位$\phi$を調べることは大切である。　<br/>
+
-
電荷をq,-qとし、-qの位置からqの位置へのベクトルを　$\vec d$　とする。<br/>
+
-
空間の原点を両電荷の中点に選ぶ。 <br/>
+
-
位置ベクトル　$\vec r$　の点の電位は、重ね合わせの原理より、 <br/>
+
<br/>
<br/>
 +
大部分の電荷はお互いにしっかり結合して金属を構成しているため動かないが、自由電子は自由にうごけるので、磁界からうける力の方向に移動する。<br/>
 +
こうして、磁界中を動く導体には、起電力（電気を流す力）が発生する。
-
$\phi(\vec r)\,=\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_q}\,-\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_{-q}}\,=\,\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}(\frac{1}{r_q}-\frac{1}{r_{-q}})\hspace{150pt}          (9-1)$    <br/>
+
===　磁界中を動く導体の棒に発生する電界　===
-
ここで、　$r_q$　 は点電荷qと位置ベクトル$\vec r$ の点との距離、　$r_{-q}$　 は点電荷-qと位置ベクトル$\vec r$ の点との距離。 <br/>
+
-
次の説明も参考に。
+
-
*[[wikipedia_ja:電気双極子|ウィキペディア（電気双極子）]]
+
-
=====　遠方に作る電位と双極モーメント　=====
+
導体の棒を磁界中で動かすと起電力が発生し、自由電子は移動する。自由電子が貯まって行く側は負に帯電し、反対側は自由電子が少なくなるので、正に帯電していく。<br/>
-
双極子の電荷間の距離　d　に比べて、ずっと離れた点 $\vec r$  の電位を簡略な式で近似しよう。 <br/>
+
すると導体内に電界が発生し急速に強くなっていく。それに伴い導体内の自由電子は、この電界から、ローレンツ力と逆向きで、急速に増加する力を受けるので、瞬時に2つの力がつりあい、自由電子の移動が止まり、平衡状態になる。 <br/>
-
式(9.1)で $r_q$ は、点電荷 q と位置ベクトル$\vec r$ の点との距離なので、$r_q=||\vec r -\frac{\vec d}{2}||=\sqrt{\sum_{i=1}^3 |r_i-d_i/2|^2}$、同様に、$r_{-q}=||\vec r +\frac{\vec d}{2}||=\sqrt{\sum_{i=1}^3 |r_i+d_i/2|^2}$  <br/>
+
-
$||\vec d|| \ll ||\vec r|| $ の時、まず、$\frac{1}{r_q}$ を簡略化する。<br/>
+
-
$\frac{1}{r_q}=
+
-
1/||\vec r -\frac{\vec d}{2}||=
+
-
1/||\vec r|| \times ||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-\frac{\vec d}{2||\vec r||}||=
+
-
1/||\vec r||\times ||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}\frac{\vec d}{||\vec d||}||$    <br/>
+
-
$f(x)=1/{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}$ という関数を導入すると    <br/>
+
-
$\frac{1}{r_q}=\frac{1}{||\vec r||}f(\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})$
+
<br/>
<br/>
-
ここで $\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$ は微小なので、$f(\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})$ は、 $x=0$ での、$y=f(x)$ の接線の$x=\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$ での値$y=f(0)+f'(0)\frac{||\vec d||}{2||\vec r||}$ で精度良く近似できる。そのため、<br/>
+
一様で一定の磁界(磁束密度$\vec{B}$）中を、これと垂直に長さｌの導体の棒を速度$\vec{v}$で平行移動させる場合に、平衡状態の電界$\vec{E}$を求めよう。<br/>
-
$\frac{1}{r_q} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(f(0)+f'(0)\frac{||\vec d||}{2||\vec r||})\hspace{50pt} (9-2) $    <br/>   
+
平衡状態では電荷にかかる2つの力の合力は零なので、$\vec{E}(-e)-e\vec{v}\times \vec{B}=0$が成立する。 <br/>
-
 
+
両辺を　-e　で割れば、$\vec{E} +\vec{v}\times \vec{B}=0$ <br/>
-
ここで、 <br/>
+
ゆえに、$ E = |\vec{E}|$
-
$ f(0)=1 \hspace{150pt}  (9-3)$        <br/>
+
とおくと、$ E = |\vec{v}\times \vec{B}|=vB\sin(\pi/2)=vB$
-
 
+
ゆえに、$ E = vB$。これが導体の棒に発生する電界である。棒の長さを
-
$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{1}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}-1)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||})  $   <br/>
+
$l$とすると、棒の両端間の電圧は、$ V=El=vBl $である。
-
 
+
-
$=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)}{||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||}=
+
-
\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)=
+
-
\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||^2)/(1+||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||)$    <br/>
+
-
$
+
-
=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2x}(1-||\frac{\vec r}{||\vec r ||}-x\frac{\vec d}{||\vec d||}||^2)
+
-
$ 、    <br/>
+
-
上の式を
+
-
$
+
-
||\vec{a}- \vec{b}||^2=||\vec{a}||^2+||\vec{b}||^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}
+
-
$ （ここで、
+
-
$
+
-
\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{n=1}^{3}a_{n}b_{n}
+
-
$） 、実数αに対して$||\alpha \vec{a}||=\|\alpha \| ||\vec{a}||=$
+
-
を利用して変形すると<br/>
+
-
$ f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2x}(-x^{2}+2x \frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{||r||\times||d||})
+
-
=\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{||r||\times||d||} \hspace{100pt}  (9-4)$ <br/>
+
-
(9-2)式に、 (9-3),(9-4)式を代入して、<br/>
+
-
$\frac{1}{r_q} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(1+\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{2||r||^2}) \hspace{150pt} (9-5)$ <br/>
+
-
同様に計算すると<br/>
+
-
$\frac{1}{r_{-q}} \simeq \frac{1}{||\vec r||}(1-\frac{\vec{r}\cdot\vec{d}}{2||r||^2})\hspace{150pt} (9-6)$ <br/>
+
-
(9-1)式に、 (9-5),(9-6)式を代入すると、
+
-
<br/>
+
-
$\phi(\vec r)=\frac{q \vec{r}\cdot\vec{d}}{4 \pi \varepsilon_0 ||r||^3} \hspace{150pt}(9-7)$   <br/>
+
-
上の式で、$\vec{p}=q \vec{d}$ （-qからqへのベクトルを$\vec{d}$ とする）
+
-
と置き一対の電荷-q、q　の作る'''双極子モーメント'''と呼ぶ。<br/>
+
-
これを用いると、双極子が離れた点$\vec{r}$に作る電位は、<br/>　
+
-
$\phi(\vec r)=\frac{ \vec{r}\cdot\vec{p}}{4 \pi \varepsilon_0 ||r||^3}\hspace{150pt}  (9-8)$
+
-
 
+
-
==== 等電位面 ====
+
-
電位の等しい点をつないで出来る面を等電位面という。<br/>
+
-
等電位面と電気力線は直交していることが示せる。<br/>
+
-
導体表面の電界は、導体表面に垂直である。<br/>
+
-
これらの理由を考えてみてください。
+

2016年11月26日 (土) 03:47時点における版

目次

「　5.4　電流と磁場　」

この節では静止した電荷でなく動く電荷の性質をしらべる。

　電流　

電荷の流れを電流（electric current)という。
多くの場合は、導体中の多数の自由電子が動いて電流となる。
電解液（イオン溶液ともいう）では、正負のイオンが動いて電流となる。
電流によって電荷は移動し、後に学ぶように、磁界を発生する。
(注）電流中の電子の動きについて；

　電流の方向・向き

電流の方向・向きは、正の電荷の流れる方向・向きで定める。
電子が移動する電流のばあい、電流の方向・向きとは逆に電子は動いている。

　電流の強さ

導体（電流の流れる物質のこと)からできた線を、導線という。
導線を流れる電流の、ある導線断面での強さとは、その断面を一秒間に通過する電荷量のことをいう。

　直流電流・電圧と交流電流・電圧　

時間がたっても向きも強さも変化しない電流のことを狭義の直流電流( あるいは、定常電流という)、
時間がたっても向きも強さも変化しない電圧のことを（狭義の）直流電圧という
。単に方向だけを変えない電流を（広義の）直流電流、同じく電圧を、（広義の）直流電圧という。
これに反して、時間とともに方向を変える、電流、電圧を、それぞれ、（広義の）交流電流、交流電圧という。さらにその強さが、時間とともに三角関数にしたがって変化する時、（狭義の）交流電流、交流電圧という。以下を参照のこと。

　定常電流の保存則

実験によると、導線を通過する定常電流の強さは、導線上のどの断面をとっても同じ値をとる。
これを定常電流の保存則という。

☆☆ 電流密度を用いた電流保存則

導線の断面全体を通過する電荷量は分かっても、
導線の表面近くを沢山通るのか、中心部を沢山通るのかは分からない。
断面の各点(位置ベクトルｘ）の微小部分を通過する、単位面積当たりの電荷量が分かれば、
電流が導線のどの部分に沢山流れるかが分かる。

定義　
導線の位置ベクトル　$\vec x$　の電流密度　$\vec{i}(\vec x)$　とは、
その方向・向きは、その地点を通過する電流の方向・向きで、
大きさが　$i:=|\vec{i}(\vec x)|=\lim_{|S| \to 0}\frac{I_S}{|S|}$　
で与えられるベクトルである。
ここで、S は点$\vec x$　をとおり電流の方向と直交する平面上の、点$\vec x$を含む微小領域、
|S| はその面積、$I_S$　は、領域Sを一秒間に通過する電荷量である。
$\frac{I_S}{|S|}$ は領域S上での単位面積当たりの電流の強さを表す。

電流密度を用いると、導線の断面を通過する電流の強さは、次のようにして求められる。
　
　 命題
　 導線上の任意の断面を　$S$　とする。
その断面を通過する電流の強さ　$I$　は、電流密度を用いて
$I=\int_{S}\vec{i}(x)\idots \vec{n}(x)dS(x)$
と表せる。
ここで、$\vec{n}(x)$　は、点　$x (\in S)$　におけるＳの法線





オームの法則

　電流が作る磁界　

電流は磁界をつくる。エルステッドは1820年に電流は方位磁針を動かす磁界を作り出すことを発見。 本節では電流は直流電流に限定する。ゆっくりと変動する電流にたいしても、近似的に同様の性質が成り立つ。

　無限に長い直線導線に電流Ｉを流す時にできる磁界$ \vec{H} $ 　

実験によると、任意の点Ｐの磁界$ \vec{H(P)} $ は、大きさは、電流の大きさ　Ｉ　に比例、電流からＰ点までの距離　ｒ　に反比例し、向きは、導線とＰ点を含む平面に直角で、右ねじの進行方向を電流の方向と一致させたときの、ねじの回転する方向である。

　アンペールの研究　

アンペールは、詳しい実験と考察により、任意の形状の電流の作る磁界に関するアンペールの法則を明らかにした。
この過程で、実験により、次の重要な原理を発見した。

　磁界の重ね合わせの原理　

電流$ I_1$ がＰ点に作る作る磁界を$ \vec{H_1(P)}$,電流$ I_2$ がＰ点に作る作る磁界を$ \vec{H_2(P)}$ とすると、
２つの電流$ I_1$と　$ I_2$　が同時に流れた時にＰ点に作る作る磁界は$ \vec{H_1(P)}+\vec{H_2(P)}$

　環状の電流は磁石のようにふるまう　

電流が流れている環状の線が作る磁場は、環の大きさに比べて十分離れたところでは、この環を縁とする板磁石のつくる磁界と同じになる。

　アンペールの法則　

アンペールは,実験で明らかにした以上の事実から、次のような重要な法則を導いた。

この記述中の「閉じた経路にそって磁場の大きさを足し合わせ」た値は、この経路にそって１Ｗｂの磁荷を一周するとき磁荷が磁界から受ける仕事と同じ値である。
この値がこの閉路を貫く電流 Ｉ　に等しくなる、というのがアンペールの法則である。　
この電流 Ｉ の向きは、電流の向きに進む右ねじの回転方向が、磁荷が閉路を一周するときの回転方向と一致するように定める。
なお、アンペールの法則の導出は少し難しいので、高校では扱わない。

　アンペールの法則の応用　

アンペールの法則を用いると、対称性をもついろいろな電流の作る磁界が、実験をしなくても、数式の計算だけで求められる。

　無限に長い直線導線に電流Ｉを流す時にできる磁界$ \vec{H} $　

直線電流から無限に離れた点の磁界は零と仮定してよい。 直線電流を軸とした回転で対称な現象なので、$ \vec{H} $は、導線からの距離 ｒ が等しい場所の電界は、この軸の周りの回転で一致するため、大きさはすべて等しい。この値を$ H(r)$と書く。
任意の点Ｐに電流　Ｉ　がつくる磁界を$ \vec{H_I}$とすると重ね合わせの原理から、同じ大きさの電流を逆に流すとき、Ｐ点の磁界は$ \vec{H_{-I}} = -\vec{H_I}$。 これを上下逆にしてながめると、対称性から$ \vec{H_I}$　とおなじにみえなければならないので、$ \vec{H_I}$は、Ｐ点を始点として、$ \vec{O(P)P} $と直交したベクトルである（ここでO(P)はＰ点から直線電流におろした垂線の足）。
さらに直線状の導線から距離$r_1$と$r_2$にある長さ$l$の線分を対辺とする長方形にアンペールの法則を用いると「$\vec{ H_I}$のＩと平行な成分」は電流からの距離に無関係な値になることが分かる。無限遠点では零なので、どこでも零であることが分かる。ゆえに磁界は電流と直交。
その向きは、「電流と垂直に交わり、かつ、電流を中心とする半径 ｒ の円」の接線の、（電流の方向に進む）右ねじの回転方向である。従って、この円に沿って１Ｗｂの磁荷を一周させるとき、磁荷の受ける仕事は、$ 2\pi r H(r) $となる。アンペールの法則から、 $ I=2\pi r H(r)$　∴$ H(r)=I/2 \pi r$

　ソレノイドの作る磁界

円筒形の長い中空の筒に導線を一様に密にまいたコイルをソレノイドという。１ｍあたりｎ巻きしているとする。これに電流Ｉを流した時にできる磁界を求めよう。　
厳密な解は難しいので、近似解をアンペールの法則から求めよう。
コイルを流れる電流はコイルの各場所で右ねじの方向の磁界を発生させる。これらがある場所では強めあい、他の場所では弱めあって、現実の磁界が出来る。
ソレノイドの外側の側面の近くの磁界は、反対側の側面の電流のつくる磁界と弱めあい、ほぼ零。
= ソレノイドの内側の磁界はつよめあうので大きい。ソレノイドが、その軸のまわりの回転に関して対称なので、磁界の方向はソレノイド軸と平行で、磁界の大きさは、軸からの距離の等しいところでは同じ。
さらに軸からの距離に関係なく同じ大きさ（Hと書く）であることが、アンペールの法則から、次のように証明できる。
軸に平行で、軸からの距離$ r_1$と軸からの距離$ r_2$の長さｌの線分を対辺とする、ソレノイド内部の長方形を考えろ。これにそって１Ｗｂの磁荷を動かす時に磁荷の受けるエネルギーは、この長方形を貫く電流の大きさ零に等しい。これより導ける。
内側の磁界の大きさは、H=nI。　
何故なら、ソレノイドの軸と平行で長さがｌの2本の線分
（一方はソレノイドの外側で側面に近いもの、他方はソレノイド内部）
を対辺とする長方形を考え、これにアンペールの法則を適用すれば、
これを一周する１Ｗｂの磁荷のうける仕事＝Ｈｌ，
これがこの長方形を貫く電流総和＝nlI　に等しい。

　もっと一般の電流の作る磁界　

アンペールの法則から直接計算するのは難しい。
アンペールの法則と磁界の重ね合わせの原理から、
磁界計算に大変都合のよい、ビオ・サバールの法則がえられる。
これについては大学で学ぶ。興味のある方は

をご覧ください。

　磁界が電流に及ぼす力　

アンペールは、電流は磁石に力を与えるので、（作用・反作用の原理から）磁石は電流に力を与えるはずであると考えた。
さらに電流は磁石と同じ作用を持つので、電流は電流に力を及ぼすと考え、実験で次の事実を明らかにした。

　2本の平行な直線状の電流が及ぼしあう力　

2本の平行な導線に、それぞれ電流$I_1,I_2$を流すと、それらの電流の単位長さあたりには、次のような力$ \vec{F}$が働く。
大きさは$F = k\frac{I_1 ,I_2}{R}$, , ,(1)
ここでR は平行線間の距離、ｋは正の比例定数。Ｆの単位は[N/m]
力$\vec{F}$の向きは、
$I_1$と$I_2$が同じ向きならば相手の電流から引力をうけ、相手の導線へおろした向きつき垂線とおなじ向き、
電流の向きが異なるならば斥力で、相手の導線へおろした向きつき垂線と逆の向きとなる。
この事実にもとずいて、次のように、電流の単位が定められる。

電流と電荷の単位

電流の単位 アンペア（A)

１ｍの間隔の2本の直線状の電線に、等しい大きさの電流を流したとき、
それぞれの電線の１ｍあたりに、$2 \times 10^{-7} N/m $ の力が作用する時、
この電流（の大きさ)を１アンペア(Ａ)と決める。

すると(1)式より、$2 \times 10^{-7}[N/m] = k\frac{1[A^2]}{1[m]}$,
故に比例定数は、$k=2\times 10^{-7}[N/A^2]=\frac{\mu _0}{2 \pi}$。
ここで、$\mu _0= 4 \pi\times 10^{-7}[N/A^2]$は真空の透磁率とよばれる。

電荷の単位 クーロン（C)

1アンペアの電流によって1秒間に運ばれる電荷量を1クーロン（１C)という。

電気素量

電気素量は、$ e = 1.6\times 10^{-19}[C] $
その計測法については以下を参照のこと。

平行電流に働く力の近接作用による表現

電流$I_1$は、電流$I_2$が作った磁界から力を受けると考え、１ｍあたりに働く力の大きさＦを、$F = \frac{\mu _0}{2 \pi}\frac{I_1 ,I_2}{R}= I_1 \mu_0 \frac{I_2}{2 \pi R} $と変形。直線電流$I_2$が作る磁界は、電流$I_1$のところでは、大きさが$ H_{I_2}{(R)}=I/2 \pi R$ であり、$I_1$と直交している。そのため$F = I_1 \mu_0 {H_{I_2}{(R)}}=I_1 \mu_0 {H_{I_2}{(R)}}\sin(\pi/2)$ と書ける。

　磁束密度と磁束

$ \vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ で、磁束密度という変量を導入する。すると、磁束密度$\vec{B}$と直交する電流　I　には１ｍあたり、 $F = I|\vec{B}|= I|\vec{B}| \sin(\pi/2)$ の力が働く。
９章で学んだ磁力線の本数を、$\vec{B}$と直交する単位面積（１㎡）あたりB(=$|\vec{B}|$)本書くとする。すると、磁力線と直交する面積 S には、$ \Phi=BS $　本の磁力線が貫くことになる。つらぬく磁力線の総本数$ \Phi $　を磁束と呼ぶ。　
点Pでの磁束密度$\vec{B(P)}$は、その点での磁力線の方向と磁束の密度を表す。
磁束密度については

を参照のこと。

　磁界中の電流がうける力

①　磁界が同じならば、それが何によって作られたものであるかに関係なく同じ力をうけるはずである。
したがって磁界$H$に直行する電流$I$の受ける力は、
１ｍあたり$F=\mu_0IH=IB$の大きさで、
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向。
②　それでは、磁界と電流が直交しないときに受ける力はどうなるのだろうか。
実験によると磁界と電流が平行ならば、電流は磁界から力を受けないことが確かめられる。
これら2つの事実から、電流と磁界のなす角度を$\theta$　とすると、
磁界中の電流に働く、単位長さ当たりの、力$ \vec{F}$は、
大きさが$F=\mu_0IH\sin\theta=IB\sin\theta$
向きは、電流の向きから磁界の向きへと右ねじを回す時のねじの進行方向,のベクトル
であることが示せる。

　ベクトル積またはクロス積

電流が磁界から受ける力$ \vec{F}$は、以下の、ベクトル積（クロス積とも呼ばれる）を使うと正確に、簡単に記述できる。

これを用いると、磁界から電流の受ける力は,１ｍあたり、
$ \vec{F}=\mu_0\vec{I}\times\vec{H}=\vec{I}\times\vec{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ (10-1)
ここで、　$ \vec{I}$　は、大きさが$I$で、方向が電流の方向と一致するベクトルで、電流ベクトルと呼ばれる。

ベクトル積の性質　

$ \vec{a},\qquad \vec{b},\qquad \vec{c}$を2次元あるいは3次元ベクトルとする。
性質０．$ \vec{a} $ を, $ \qquad \vec{b} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と, 平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、
$\qquad \qquad \qquad \vec{a} \times \vec{c}= (\vec{a_\perp}+\vec{a_\parallel})\times \vec{c}=\vec{a_\perp} \times \vec{c}$
性質１．$ \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$
性質２．$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　
性質３．$(e_1,e_2,e_3)$ をそれぞれ長さ１で互いに直交し、右手系をなす、ベクトルとする。この時、
$\qquad \qquad \qquad e_1 \times e_2 = e_3, \qquad e_2 \times e_3 = e_1, \qquad e_3 \times e_1 = e_2$
性質０の証明；ベクトル積の定義から明らかである。
性質１の証明；ベクトル積の定義から明らかである。
性質２の証明；①　$ \vec{a},\qquad \vec{b}$　と$ \qquad \vec{c}$ が直交する場合。
$\vec{a} \times \vec{c} $は、$ \vec{a} $を、$\vec{c} $と垂直な平面H内で90度回転（右ねじを$\vec{a}$から$\vec{c}$へ回した時の進行方向）して、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。$\vec{b} \times \vec{c} $は、同じ平面H内で$ \vec{b} $を、同じ方向に、90度回転して、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}$も、同じ平面内を同じ向きに90度回転し、長さを$c=|\vec{c}|$倍したベクトル。従って$ \vec{a}$と$\vec{b}$から作られる平行四辺形と$\vec{a}\times \vec{c} $ と$\vec{b}\times \vec{c} $からつくられる平行四辺形は相似となり、$ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$が示せる。　
②　一般の場合。
性質０より、$\perp$ を$ \qquad \vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1)
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$,①より、
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$。証明終わり。
性質３の証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から、明らかである。　

　ローレンツ力　

磁界中では電流は力を受ける事が分かった。電流とは運動する電荷なので、運動する電荷は磁界から力を受けることになる。
それでは、速度$\vec{v}$　で運動する電荷$e$はどのような力を受けるのだろうか。　
電流に働く力から、この力を導こう。
導線の断面積をＳ[$m^2$]とし、そこを電荷$e(\gt 0)$が、電流方向に速さ　ｖ[$m/s$]で運動（実際には電荷$-e$ の自由電子が、電流と逆方向に速さｖで運動）しているとする。自由電子の密度をｎ[個/$m^3$]とする。

　電流 I と電荷の速さ v との関係　

電流が$I[A]$なので、定義から導線のある断面を通過する電荷量は毎秒$I[C/s]$, 他方、その断面を通過する電荷の個数は毎秒$Svn$個である。 ∴　$I=Svne$　　

　一個の電荷が磁界から受ける力　

従って、電流ベクトル$\vec{I}$ と電荷の速度ベクトル$\vec{v}$ の間には、$\vec{I}=Sne\vec{v}$　
(10-1)式の右辺に、上式を代入すると、 $ \vec{F}=Sne\vec{v}\times\vec{B} $
これが導線1mの受ける力であるが、導線1m中には電荷は$Sn$個あるので、一個の電荷（速度$\vec{v}$)の受ける力は、
$ \vec{f}=e\vec{v}\times\vec{B} $

　ローレンツの法則　

電界$ \vec{E} \ $,磁束密度 $ \vec{B} \ $の中を、速度$ \vec{v} \ $で運動する電荷　q　は、 $ \vec{f}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}) $　の力を受ける。これをローレンツの法則という。
電荷に働く電磁気的な力は、必ずローレンツの法則を満たすことが実験で確かめられている。　
次の解説を参照のこと。

　一様な静磁界のなかの荷電粒子の運動　

一様な磁界（磁束密度$\vec{B}$が一定）の中で、電荷 ｑ はどのように運動するか、調べよう。但し重力の影響は無視する。
電荷の時刻ｔでの位置を$\vec{r(t)}$,その時の速度を$\vec{v(t)}$ 、加速度を$\vec{\alpha(t)}$とおくと、粒子の運動方程式は
$m\vec{\alpha}=m*d\vec{v}/{dt}= q\vec{v(t)}\times\vec{B}\qquad \qquad \qquad $ (1)　
磁界に垂直に電荷を速さvで入射する。
「上式の右辺で表される電荷の受ける力」の方向は電荷の速度ベクトル$\vec{v(t)}$ と磁界$\vec{B}$ の双方に垂直で、右ねじを速度ベクトルから磁界のほうに回した時のねじの進行方向である。電荷は受ける力の方向に向きを変えるので、絶えず磁界に垂直な方向に向きを変える。従って、電荷は磁界と垂直な1つの平面上を向きをかえながら進行する。
この間電荷は、進行方向に直角の力を受け続けるので、電荷は磁界からエネルギーを受け取らない。従って、運動エネルギー保存則より、電荷の速さは入射時の速さvを保持する。
したがって、電荷は進行方向と直角の方向に、大きさが一定qvBの力を受け続けて等速 v で運動するので、曲がり方も絶えず一様となり、等速vで円軌道を描くことが分かる。この半径を r と書くと、「２章　力学(1) 速度、加速度とヴェクトル」の「2.2.2.3 等速円運動の加速度」の式から、加速度の大きさは$\alpha={v^2}/{r}$であり、また、(1)式の両辺のベクトルの大きさが等しいことから$m\alpha= qvB$なので、半径は$r=mv/(qB)$ である。

　磁界中を動く導体に発生する起電力　

導体は膨大な個数の正電荷（原子核）と負電荷（電子）を持っている。導体を磁界中で動かすとこれらの電荷は、磁界中を動くことになり、磁界からローレンツ力を受ける。
大部分の電荷はお互いにしっかり結合して金属を構成しているため動かないが、自由電子は自由にうごけるので、磁界からうける力の方向に移動する。
こうして、磁界中を動く導体には、起電力（電気を流す力）が発生する。

　磁界中を動く導体の棒に発生する電界　

導体の棒を磁界中で動かすと起電力が発生し、自由電子は移動する。自由電子が貯まって行く側は負に帯電し、反対側は自由電子が少なくなるので、正に帯電していく。
すると導体内に電界が発生し急速に強くなっていく。それに伴い導体内の自由電子は、この電界から、ローレンツ力と逆向きで、急速に増加する力を受けるので、瞬時に2つの力がつりあい、自由電子の移動が止まり、平衡状態になる。

一様で一定の磁界(磁束密度$\vec{B}$）中を、これと垂直に長さｌの導体の棒を速度$\vec{v}$で平行移動させる場合に、平衡状態の電界$\vec{E}$を求めよう。
平衡状態では電荷にかかる2つの力の合力は零なので、$\vec{E}(-e)-e\vec{v}\times \vec{B}=0$が成立する。
両辺を　-e　で割れば、$\vec{E} +\vec{v}\times \vec{B}=0$
ゆえに、$ E = |\vec{E}|$ とおくと、$ E = |\vec{v}\times \vec{B}|=vB\sin(\pi/2)=vB$ ゆえに、$ E = vB$。これが導体の棒に発生する電界である。棒の長さを $l$とすると、棒の両端間の電圧は、$ V=El=vBl $である。

「http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E9%9B%BB%E6%B5%81%E3%81%A8%E7%A3%81%E5%A0%B4」より作成
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