物理/８章の付録
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２項定理を用いて(1+1n)n を展開すると<br/> | ２項定理を用いて(1+1n)n を展開すると<br/> | ||
| - | (1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m<br/> | + | $a_n\\defeq (1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/> |
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ||
| - | nCm=n!m!(n−m)!n(n−1)(n−2)⋯(n−m)m!<br/> | + | ${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)$<br/> |
| + | 式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | ||
| + | an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m<br/> | ||
| + | $=\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$ <br/> | ||
2017年8月28日 (月) 16:25時点における版
８章の付録
８章の付録
問の解答
２項定理を用いて(1+1n)n を展開すると
andefeq(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
式（２）を式（１）に代入して計算すると
an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=∑nm=01(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
