物理/８章の付録
提供: Internet Web School
(版間での差分)
(→問の解答) |
(→８章の付録) |
||
| 2 行: | 2 行: | ||
=８章の付録= | =８章の付録= | ||
==問の解答== | ==問の解答== | ||
| - | ２項定理を用いて(1+1n)n を展開すると<br/> | + | ２項定理を用いて$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は２以上の自然数)$ を展開すると<br/> |
| - | $a_n | + | $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/> |
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ||
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | ||
| + | 但し、0!≜1mが1以上の自然数の時,m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m<br/> | ||
式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | 式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | ||
an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m<br/> | an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m<br/> | ||
=∑nm=01(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3) <br/> | =∑nm=01(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3) <br/> | ||
| + | ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ||
| + | 0<1−in<1 なので、<br/> | ||
| + | 0<an<∑nm=01m!(4) | ||
2017年8月28日 (月) 17:19時点における版
８章の付録
８章の付録
問の解答
２項定理を用いてan≜(1+1n)n(nは２以上の自然数) を展開すると
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
但し、0!≜1mが1以上の自然数の時,m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m
式（２）を式（１）に代入して計算すると
an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=∑nm=01(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0<1−in<1 なので、
0<an<∑nm=01m!(4)
