物理/８章の付録
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2<an<3(5)<br/> | 2<an<3(5)<br/> | ||
であることを示そう。<br/> | であることを示そう。<br/> | ||
| + | 式(3)から、2<an は明らか。<br/> | ||
式（４）から<br/> | 式（４）から<br/> | ||
an<2+∑nm=21m!(6)<br/> | an<2+∑nm=21m!(6)<br/> | ||
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1m!≤1(m−1)m=1m−1−1m<br/> | 1m!≤1(m−1)m=1m−1−1m<br/> | ||
である。故に、<br/> | である。故に、<br/> | ||
| - | an<2+∑nm=2(1m−1−1m)=2+(1−1n)<br/> | + | $a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=2+(1-\frac{1}{n})=3-\frac{1}{n}\lt 3$<br/><br/> |
| + | （３）数列 {an}∞n=1 は単調増加<br/> | ||
| + | n≥2 の時、常に an<an+1 を示せばよい。<br/> | ||
| + | 式(3)を利用すると(注参照）、<br/> | ||
| + | an+1=2+∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!<br/> | ||
| + | すると、<br/> | ||
| + | an+1−an=∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!<br/> | ||
| + | =1(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)m!<br/> | ||
| + | +∑nm=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!<br/><br/> | ||
| + | $ = \frac{ | ||
| + | 1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1}) | ||
| + | }{m!}$ <br/> | ||
| + | $\quad + \sum_{m=2}^{n}\frac{ | ||
| + | 1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1}) | ||
| + | -1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$<br/> | ||
| + | 上の式で、(1−in+1)(i=1,2,,,n) と (1−in)(i=1,2,,,n) は正なので、<br/> | ||
| + | an+1−an>0<br/><br/> | ||
| + | （注）式（３）のｎに ｎ＋１ を代入すればよい。 | ||
2017年8月30日 (水) 03:27時点における版
８章の付録
問の解答
（１）準備２項定理;を用いた展開
an≜(1+1n)n(nは自然数) とおく。
すると、
2≤a1=1+11=2<a2=(1+12)2=214である。
以下に、数列 {an}∞n=1 が単調増大で、有界（２より、３より小）である事を示す。するとテキストの定理により
nが３以上の自然数の時は、anを２項定理を用いて展開すると
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
mが１以上でn 以下の自然数の時は
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
ここで、m が1以上の自然数の時は m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m
mが零の時は nC0≜1 、0!≜1と定義する。
式（２）を式（１）に代入して計算すると
an=1+∑nm=1n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=1+∑nm=11(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
=2+∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0<1−in<1 なので、
2<an<2+∑nm=21m!(4)
（２）すべての2以上の自然数 n に関して、
2<an<3(5)
であることを示そう。
式(3)から、2<an は明らか。
式（４）から
an<2+∑nm=21m!(6)
右辺の m は2以上の自然数なので、
1m!≤1(m−1)m=1m−1−1m
である。故に、
an<2+∑nm=2(1m−1−1m)=2+(1−1n)=3−1n<3
（３）数列 {an}∞n=1 は単調増加
n≥2 の時、常に an<an+1 を示せばよい。
式(3)を利用すると(注参照）、
an+1=2+∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!
すると、
an+1−an=∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
=1(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)m!
+∑nm=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
=1(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)m!
+∑nm=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)−1(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
上の式で、(1−in+1)(i=1,2,,,n) と (1−in)(i=1,2,,,n) は正なので、
an+1−an>0
（注）式（３）のｎに ｎ＋１ を代入すればよい。
