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2017年10月10日 (火) 14:32時点における版

「9.1　多変数解析学」　

序

本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。

• 多変数関数の微積分

それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、 このテクストで今後叙述する予定です。

多変数の実数値関数の微分

${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、$\vec{x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f(\vec{x})$と書くこともある。
$I^n \,$上で定義された実数値関数$\ y=f(\vec{x})=f(x_1,x_2,,,x_n)\,$の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル　$h=(h_1,h_2,,,h_n)$　を考え、極限
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。

偏微分

そこで、$f$　の変数　$\vec{x}$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、
他の変数は定数とみなしてして得られる一変数関数
$\phi^{i}(x_i)$ $\triangleq f(\vec{x}) \quad ここで\ \Bigl(\ x_j (j\neq i);定数\ \Bigr)$
を考える。
この関数は、一変数なので、点$x_i=a$　での微分係数　
$\frac{d\phi^i}{dx_i}(a)\triangleq \lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(a+h)-\phi^i(a)}{\bf h}$
$=\lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{ f(x_1,,,x_{i-1},a+h,x_{i+1},,,x_n)-f(x_1,,,x_{i-1},a,x_{i+1},,,x_n)}{\bf h}$
を考えることができる。

定義（偏微分）
変数　$\vec{x}$　の第i成分　$x_i$　以外の$x_j\ (j\neq i)$ 　は固定する。
もし、一変数関数　$\phi^i(x_i)=f(\vec{x})$　が、点$x_i=a$で微分可能ならば、
関数ｆは、$x_i$　に関して、点$x_i=a$で　偏微分可能であると言い,
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \triangleq \frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}(a)$
を、$f(\vec{x})$　の 変数　$x_i$ 　に関する点$a$　での偏微分係数という。

定義（偏導関数）
$f(\vec{x})$ 　が　$x_i$　に関してどの点でも偏微分可能であるならば、
任意の点$x_i$　にその点の偏微分係数$\frac{d\phi^i}{dx_i}(x_i)$を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、$f(\vec{x})$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号
$f_{x_{i}}(\vec{x}),\quad D_{x_i}f(\vec{x}),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec{x}),\quad \partial f/\partial x_i$
などで表示する。

• ウィキペディア(偏微分)

定理（合成関数の微分）
$R^2$　から　$R$　への関数$f(x,y)$　と
$R$　から　$R$　への関数$g(x,y)$　の合成関数　
$h(x,y)=g(f(x,y)$　
を考える。
もし、$f(x,y)$　が　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能で,
$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、
$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,

方向微分

多変数関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$での偏微分係数　$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$　は、
点$\vec x$　を、第i座標（座標ベクトル$\vec{e}_i$)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数ｆの変化率とみなせる。
式で書くと
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec{e}_i)-f(\vec x )}{h}$

このように考えると、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$を、座標ベクトル$\vec{e}_i$に平行ではなく、
任意に指定するベクトル$\vec a$に平行に微小量動かすときの関数ｆの変化率を考えることもできることが分かるだろう。

定義　方向微分
関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$での,$\vec a$　方向の微分係数とは、
$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec a)-f(\vec x )}{h}$
のことで、
$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}}(x),\quad f_{\vec a}(x),\quad D_{\vec a}(x)$
などと書く。

微分(全微分）　

定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能

定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能