物理/極限と微分
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$g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)$で、任意の自然数ｎに対して$n\leq g(m)$となる自然数mが存在するもの。<br/> | $g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)$で、任意の自然数ｎに対して$n\leq g(m)$となる自然数mが存在するもの。<br/> | ||
本テキストでは議論の簡略化のため、少し強い仮定を課した。<br/> | 本テキストでは議論の簡略化のため、少し強い仮定を課した。<br/> | ||
2015年2月22日 (日) 07:08時点における版
目次 |
極限と微分
集合
集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係
などについて学習してほしい。
実数の連続性と極限
実数の連続性は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、
実数の持つ最も重要な性質の一つである。
上界、下界と有界集合
${\bf R}$を、全ての実数を要素とする集合とし、
$A$をその部分集合とする。
実数$u$が$A$の上界(upper bound)とは、
任意の$a \in A$に対して、$a \leq u$がなりたつこと。
実数$l$が$A$の下界(lower bound)とは、
任意の$a \in A$に対して、$l \leq a$がなりたつこと。
$U_A$を$A$の上界をすべて集めた集合、
$L_A$を$A$の上界をすべて集めた集合とする。
$U_A$が空集合$\emptyset$でない（すなわち、$A$の上界が少なくとも一つ存在する）とき、
$A$は上に有界であるといい、
$L_A\neq \emptyset$の時、$A$は下に有界であるという。
上に有界で、下にも有界な集合($\subset {\bf R})$は、有界という。
実数の連続の公理と上限、下限
$A \subset {\bf R}$とする。
実数の連続性の公理
もし、$U_A \neq \emptyset$ならば、$U_A$は、最小元を持つ。
もし、$L_A \neq \emptyset$ならば、$L_A$は、最大元を持つ。
上限と下限の定義
$U_A$の最小元を$A$の上限(supremum)あるいは最小上界(least upper bound)という。
また、$L_A$の最大元を$A$の下限(infimum)あるいは最大下界(greatest lower bound)という。
命題１
$u$が$A(\subset {\bf R})$ の上限となるための必要十分条件は、
ⅰ）$u$は$A$の上界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$a \leq u$
ⅱ）$x<u$である任意の$x$は$A$の上界ではない。すなわち、$x<a$となる$a\in A$が存在。
ⅲ）$A$が最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。
同様に、$l$が$A$ の下限となるための必要十分条件は、
ⅰ）$l$は$A$の下界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$l\leq a$
ⅱ）$l<x$である任意の$x$は$A$の下界ではない。すなわち、$a<x$となる$a\in A$が存在。
ⅲ）$A$が最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。
$A$ の上限を$\sup A$、下限を$\inf A$と書く。
証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。
例；$A=(0,1)$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。
これらは、ともに$A$の要素でないので、
上限１は$A$の最大元(最大値)ではなく、下限０は$A$の最小元(最小値)ではない。
$A=[0,1]$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。
これらは、ともに$A$の要素なので、
上限は最大限であり、下限は最小限となる。
命題２
$A \subset B \subset {\bf R}$で、$B$は有界集合とする。
このとき、$\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$
証明は容易である。
命題３
$A \subset {\bf R}$で、$A$は有界集合とする。
$s:=\inf A,\quad S:=\sup A,\quad d(A):=\sup_{x,y\in A}(x-y)$とおくと、
$S-s=d(A)$
証明
１）$d(A)\leq S-s$を示す。
下限と上限の定義から、任意の$a,b\in A$に対して、$s \leq a,b \leq S$
これより、$|a-b| \leq S-s$。故に$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)\leq S-s$
２）$S-s\leq d(A)$を示す。
$d(A)<S-s $だと仮定する。
この仮定から矛盾が生じれば、誤謬法により、２）が成立することが分かる。
仮定により、ある十分に小さい正数$\epsilon$を取れば、
$d(A)<S-s-\epsilon=(S-\frac{1}{2}\epsilon)-(s+\frac{1}{2}\epsilon)\qquad (1) $
が成り立つ。
$S-\frac{1}{2}\epsilon$はＡの最小上界$S$より小さいのでＡの上界ではない。
そのため、ある$a_{0}\in A$が存在して
$S-\frac{1}{2}\epsilon < a_{0} \qquad \qquad (2)$
$s+\frac{1}{2}\epsilon$は、同様に、Ａの下界ではないので、ある$b_{0}\in A$が存在して
$b_{0}<s+\frac{1}{2}\epsilon \qquad \qquad (3)$
式(1),(2),(3)から、
$d(A)<a_{0}-b_{0}$
これは、$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)$と矛盾する。
証明終わり。
実数列の収束と極限、極限の性質
順番に並んだ実数の列
$a_1,a_2,,,a_n,,,,,$
を実数列といい、
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{a_n\}_{n\in {\bf N}}, \{a_n\}$
などとも書く。ここで${\bf N}$は、すべての自然数を要素とする集合である。
数列の収束と極限
定義
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$が実数$c$に収束するとは、
ｎを大きくしていくとき$a_n$が$c$に限りなく近づいていくこと(一致してもよい）。
厳密に述べると、
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
それに対応する自然数$n_{\epsilon}$が存在して、
$n\geq n_{\epsilon}$というどのような自然数ｎに対しても、
$|c-a_n|<\epsilon$
が成立すること。
この時、$c$を数列$\{a_n\}_{n}$の極限といい、$c=\lim_{n\to \infty}a_n$と記す。
極限の性質
命題
$\alpha ,\beta$を任意の実数とし、
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$と実数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束すると仮定する。
このとき、以下の諸性質がある。
（１）実数列$\{\alpha a_n+\beta b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し、
$\lim_{n\to \infty}(\alpha a_n+\beta b_n)
=\alpha\lim_{n\to \infty}a_n +\beta \lim_{n\to \infty}b_n$
（２）実数列$\{ a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し、
$\lim_{n\to \infty}a_n b_n=\lim_{n\to \infty}a_n\lim_{n\to \infty} b_n=$
これらの性質は、極限への収束の定義から明らかである。
有界な単調数列は収束する
定義；単調数列
実数列$\{a_n\}$が単調増加とは$a_i\leq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。
実数列$\{a_n\}$が単調減少とは$a_i\geq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。
実数列$\{a_n\}$が単調とは、単調増加か単調減少のこと。
実数列の単調収束定理
１）上に有界な単調増加の実数列$\{a_n\}$は収束し、
その極限は$\sup_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。
２）下に有界な単調減少の数列$\{a_n\}$は収束し、
その極限は$\inf_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。
証明；
1)。上に有界な数列は、実数の連続の公理から、
上限$s=\sup_{n\in {\bf N}}a_n$を持つ。
上限の定義から、どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq s$をみたす数列の要素$a_{n_{0}}$が存在する。
数列は単調増加なので、$n\geq n_{0}$ならば$a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$.
ゆえに、任意の正数$\epsilon$にたいして、ある番号$n_0$が存在して、
任意の$ n\geq n_{0}$にたいして、
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$
が言えた。ゆえに、この数列はｓに収束する。
2)の証明も同様に行えるので省略。
収束する部分列
定義；
数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$が
数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$の部分列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$であるとは、
全ての自然数を要素とする集合${\bf N}$から、${\bf N}$への
関数$g$が存在して、
$b_n=a_{g(n)},(n=1,2,3,,,)$となること。
ここで、$g$は $i \leq g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)$をみたすものとする。
(注）本来の部分列の定義に用いるｇはもう少し緩く、
$g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)$で、任意の自然数ｎに対して$n\leq g(m)$となる自然数mが存在するもの。
本テキストでは議論の簡略化のため、少し強い仮定を課した。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有界な実数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束する部分列を持つ。
証明；
数列の各項$x_n$を要素とする集合$\{x_1,x_2,x_3,,, \}$は有界集合なので、
実数の連続性の公理から、
上限$b:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}$と
下限$a:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}$をもつ。
$I:=[a,b]$という閉区間を考えると、数列の全ての要素はこの区間に含まれる。
１）閉区間Ｉを2等分し部分列の最初の項をきめる。
閉区間Ｉを２等分して
２つの閉区間$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$に分ける。
どちらかの区間には数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の項が無限に沢山含まれる。
それを$I_1=[a_1,b_1]$と表現する。
数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の中で
$I_1$に含まれる、最も番号の小さいもの$x_g(1)$を取り出す。$g(1)\geq 1$である。
２）この手順を繰り返し部分列を作る。
次に$I_1$を2等分する。このどちらかの区間に数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の項が無限に沢山含まれる。
そこで、数列要素を無限に多く含む方の区間を選び、$I_2=[a_2,b_2]$と表現する。
$\{n\in {\bf N}\mid a_n\in I_2$のなかで、$g(1)$より大きいもののなかで最小のもの$g(2)$を取り出す。
これを無限に続けていくと、
数列の部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が得られる。
ここで、作り方から、
$\quad g$は${\bf N}$から${\bf N}$への増加関数
$\quad a_1\leq a_2 \leq \cdots\leq a_n\leq \cdots\leq b_n \leq \cdots\leq b_2\leq b_1$
$\quad a_i\leq x_{g(i)}\leq b_i,(i=1,2,3,,,,,)$、すなわち$x_{g(i)}\in I_i,(i=1,2,3,,,)$
$\quad d(I_i)=b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}$
である。
$y_i:=x_{g(i)},(i=1,2,3,,,)$で数列$\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$をきめる。
この数列は、数列$\{x_i\}_{i=1}^{\infty}$の部分列である。
３）部分列$\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$は収束する
$a_i\leq x_{g(i)}=y_i \leq b_i,(i=1,2,3,,,,,) \qquad (1)$
数列$\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$は有界な単調増加数列、
数列$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}$は有界な単調減少数列
なので、単調収束定理により、
其々極限$s:=\lim_{i\to \infty}a_n$と$S:=\lim_{i\to \infty}b_n$に収束する。
$S-s\leq b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}$がすべての自然数ｉに対してなるたつので
$S=s \qquad \qquad (2)$
式（１）と(２)から、
$\lim_{i\to \infty}y_i=s=S$
コーシー数列は収束する
コーシー数列の定義
実数列$\{a_n\}$がコーシー列とは、
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
ある番号$n_0$が存在して、
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<\epsilon$
となること。
定理（コーシー）
実数列$\{a_n\}$に対して
数列が収束する $\Leftrightarrow$ コーシー列である。
証明；
（＝＞）実数列$\{a_n\}$が極限$s$に収束すると仮定する。
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、
ある番号$n_0$が存在して、
$n \geq n_{0}$ならば$|a_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$
そこで、$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|\leq |a_m-s|+|s-a_n|<\epsilon$
ゆえに、コーシー列である。
（＜＝）実数列$\{a_n\}$がコーシー列とする。
１）数列は有界
何故なら、正数１に対して、ある番号$n_0$が存在して、
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<1$
これより、$m \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_{n_{0}}|<1$
これより、$a_{n_{0}}-1<a_m<a_{n_{0}}+1$
すると数列の全ての要素は
$M:=\max{a_1,a_2,,,a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}+1}$
以下となり上に有界である。
下に有界であることも、同様にして分かる。
２）収束する部分列の存在
数列が有界なので、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、
収束する部分列$\{y_i:=x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$がある。
その極限を$s:=\lim_{i\to \infty}y_i$とおく。
３）$s:=\lim_{n\to \infty}a_n$を示す。
数列$\{a_n\}$がコーシー列なので、
どんなに小さい正数$\epsilon$をとっても、
ある番号$n_0$が存在して、$m,n\geq n_0$である自然数m、nに対して
$|a_m-a_n|\leq \epsilon$
$s=\lim_{i\to \infty}y_i$なので
ある番号$i_0$が存在して$j\geq i_0$である自然数$j$に対して、
$|y_j-s|\leq \epsilon$
すると、$i_1:=\min{i\in {\bf N}\mid g(i)\geq n_0,i\geq i_0}$とおくと、
$n\geq g(i_1)$である自然数nに対して
$|a_n-s|\leq |a_n-a_{g(i_1)}|+|a_{g(i_1)}-s|\leq 2\epsilon$
故に数列$\{a_n\}$は収束しその極限がｓであることが証明された。
閉区間の中の数列の極限
命題；
収束する実数列$\{a_n\}$の各項$a_n$が閉区間$I=[a,b]$に含まれれば、
その極限$x_0:=\lim_{n\to \infty}a_n$も$I$に含まれる。
証明
もし$x_0\notin [a,b]$とすると、$x_0>b$ か $x_0<a$である。
前者のとき、$\epsilon:=\frac{x_0-b}{2}$とえらぶと、
$x_0:=\lim_{n\to \infty}a_n$なので、
ある番号から先はすべて$|x_0-a_n|<\epsilon$,
これより$a_n >b$,$a_n\notin I$
となり$a_n\in I_n \subset I$に矛盾してしまう。
後者の場合も、同様に、矛盾が生じる。
関数の連続性
関数の連続性の定義；
実数の区間$I$で定義された実数値あるいはベクトル値の関数 $f(x)$ がある点 $x_0\in I$で連続であるとは、
$x\in I$が$x_0$ に限りなく近づくならば、$f(x)$ が $f(x_0)$ に限りなく近づく
ことを言う。
$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$と記す。
これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。
（小さな）正の数 ε が任意に与えられたとき、
（小さな）正の数 δ を適切にえらべば、
$x_0$ と δ 以内の距離にあるどんな $x\in I$ に対しても、
$f(x_0)$ と $f(x)$ の差が ε より小さいようにすることができる。
記号でかくと$(|x-x_0|<\delta,x\in I) \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
（注）関数がn次元空間${\bf R^n}$の区間$I^n$で定義され
関数値がベクトルのときも、関数の連続性の定義は変わらない。
この場合には、$|\bullet|$は$\bullet$のノルムを表す。
数列の極限を用いた連続性の表現
命題
関数$f$は
n次元の開区間$I^n=\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]:=\{(x_1,x_2,,,X_n)\mid x_i\in [a_i,b_i],(i=1,2,,,n)\}$で定義され、
m次元ベクトルに値を取る関数とする。
すると任意の$a\in I^n$に対して、次の（１）と（２）は同値である。
（１）$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$
（２）$x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)$を$a\in I^n$に収束する任意の点列とすると
$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)$
証明
（１）ならば（２）を示す。
（１）を仮定したとき、
任意の$\epsilon>0$に対して、ある番号$n_0$が存在し、
任意の自然数$n(\geq n_0)$に対して、$\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilon$を示せばよい。
仮定から、この$\epsilon$に対して、正数$\delta$が存在して、
$\|a-x\|<\delta$を満たす任意の$x\in I^n$に対して
$\|f(a)-f(x)\|<\epsilon \quad \qquad (1)$
$x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)$は$a\in I^n$に収束するので、
ある番号$n_0$が存在して,$n\geq n_0$である任意の自然数ｎに対して、
$\|a-x_n\|<\delta$
故に、式（１）から$\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilon$
（２）ならば(１)を示す。
背理法を用いる。
（１）が成り立たないと仮定する。
すると、
連続関数の性質
命題１.
命題２．有界閉区間$I=[a,b]$で定義された実数値の連続関数$f$は有界である。
但し、$f$が有界とは$\{f(x)\mid x\in I\}$が有界集合のこと。
証明；
上に有界でないと仮定して矛盾が生じることを示せば良い。
下に有界でない場合も全く同じように証明できる。
ｆが上に有界でないので、任意の自然数ｎにたいして、
$f(x_n)\geq n$となる点$x_n\in I$が存在する。
数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は有界なので
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理から、
収束する部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が存在する。
その極限を$\xi$とおく。
すると関数値から作られる数列$\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}$は、
関数の連続性から、収束し$f(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})$
ところが、$f(x_{g(i)})\geq g(i)\geq i$なので、
この極限は存在せず無限大に発散。矛盾が生じる。
証明終わり。
命題３
$f$は、有界閉区間$I=[a,b]$で定義された実数値の連続関数とする。
すると、$f$は、Ｉ上で最大値と最小値を持つ。
証明；
１）命題２から$f$は有界関数なので、${\bf R(f)}:=\{f(x) \mid x\in I\}$は実数からなる有界集合。
実数の連続性の公理から、${\bf R(f)}$の下限と上限$m:=\inf {\bf R(f)},M:=\sup{\bf R(f)}$が存在。
２）Ｍは$f$のＩ上の最大値、
Ｍが${\bf R(f)}$の上界なので任意のIの要素ｘに対して$f(x)\leq M$。
$f(\xi)=M$となる$\xi\in I$が存在することを証明すれば良い。以下に、これを示す。
１）任意の自然数ｎにたいして$M-\frac{1}{n}$は${\bf R(f)}$の上界でなくなるので、
$M-\frac{1}{n}<f(x_n)$を満たす$x_n\in I$が存在する。
これらの数の作る数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は、有界なので、
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理から、
収束する部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が存在する。
この極限を$\xi:=\lim_{i\to \infty}x_{g(i)}$とおく。
閉区間の数列の極限なので、すでに証明した命題から、
すると関数の連続性から、
$\xi\in I \qquad \qquad (1)$
数列$\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}$は収束し、その極限は
$f(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)}) \qquad \qquad (2)$
ところが、全ての自然数nに対して、$M-\frac{1}{n}<f(x_n)\leq M$,$g(n)\geq n$なので
$M-\frac{1}{i}<f(x_{g(i)})\leq M,(i=1,2,3,,,)$
この式のｉについての極限をとると
$\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})=M$
この式と式（２）から、
$f(\xi)=M \qquad \qquad (3)$
式（１）と式（３）から、Ｍが最大値であることが示せた。
証明終わり。
実数値関数とベクトル値関数の微分
このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。
以下の文献も必要に応じて参考にしてください。
一冊では不十分な内容なので色々あげてある。
実数値関数の微分
実数の開区間$I=(a,b)$上で定義された実数値関数$y=f(x)$を考える。
定義;微分可能性
関数$f$が$s\in I$で微分可能であるとは、極限
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}=c \qquad \qquad (1)$
が存在することである。
この時$c$を$f$の$s$における微分係数あるいは導値といい、
$f'(s)、\frac{df}{dt}(s)、(Df)(s)$
などと書く。
$I=(a,b)$の各点で$f$が微分可能であるとき、$f$は微分可能関数(あるいは
微分可能）という。
この時、任意の$s\in I$に対して、$f'(s)$が定まるので、
関数$f'$が定まる。これを$f$の${\bf 導関数}$(derivative)という。
微分係数の意味
(1)$\frac{f(s+h)-f(s)}{h}$は、区間$[s,s+h]$における関数値の平均変化率である。
その極限である微分係数$f'(s)$は、関数値の$s$における瞬間的な変化率と考えられる。
(2)2次元空間(平面のこと)に直交座標座標系$O-xy$をいれ、
関数$y=f(x)$のグラフ$G=\{(x,y)\mid x\in I,y=f(x)\}$を描く。
すると、
$f'(s)$が存在することは、$x=s$においてグラフ$G$が接線をもつことと同等であり、
接線の方程式は
$y=f'(s)(x-s)+f(s)$である。
これは、接線の定義からただちに分かる。
(3）$h$を零に近づけていったときの極限の意味をさらに深めるため
微分可能の定義を、それと同等の別の表現に変換しよう。
(1)式の右辺の定数を左辺に移行すると
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}=0$
次に、
$o_{s}(h):=\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}\qquad \qquad (2)$
という、変数ｈの関数を定義する。
すると関数$f$が$s\in I$で微分可能で、微分係数が$c$である必要十分条件は
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$
である。
(2)式を変形すると
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h$
ゆえに次の命題が証明できた。
命題；
次の３つの条件は同等である。
１）関数$f$は$s\in I$で微分可能で、微分係数は$c$である
２）関数$f$は、
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h \qquad \qquad (3)$
と表現できる。
ここで、$o_{s}(h)$は
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0 \qquad \qquad (4)$
を満たす関数
3) 関数$f$は、
$s$の近傍の点$x$で
$f(x)=f(s)+c(x-s)+\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s) \qquad \qquad (3)$
ここで、$o_{s}(x-s)$は
$\lim_{x \to s,x\neq s}o_{s}(x-s)=0 \qquad \qquad (4)$
を満たす関数
この定理の3）により、
「関数が$s$で微分可能であり、微分係数がｃであること」は、
「この関数が$s$の近傍の点$x$で直線$y=f(s)+c(x-s)$で近似でき、
誤差$|f(x)-(f(s)+c(x-s))|=|\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s)| $が,
$x$を$s$に近づけていくとき、$h=x-s$より高次で０に収束する(注参照)
ことと同等であることが分かる。
(注)$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{o_{s}(h)h}{h}=0$
命題の系；関数が$s$で微分可能であれば、$s$で連続である。
証明；命題の２）を用いると、
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h $
この式から、$|f(s+h)-f(s)|=|(c+o_{s}(h))h|$
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$なので$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|(c+o_{s}(h))h|=0$。
ゆえに、$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|f(s+h)-f(s)|=0$
これは、関数が$s$で連続であることの定義そのものである。
導関数の性質
（１）$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された、微分可能な実数値関数ならば
$\alpha f+\beta g$、$fg(s):=f(s)g(s)$は微分可能で
それらの導関数の間には、
$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$（線形性）ここで$\alpha,\beta$は任意の実数。
(２) $(fg)'=f'g+fg'$
証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。
平均値の定理
ロールの定理
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。
$f$が$I=[a,b]$で連続、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能,しかも$f(a)=f(b)$ならば、
$f'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。
証明；
「関数の連続性」の命題２から、閉区間上の連続関数は最大値Ｍと最小値ｍをもつ。
すると、$m \leq f(a)=f(b)\leq M$
1)$m =f(a)=f(b)=M$の場合
Ｉ上で$f\equiv f(a)$
すると、$f'\equiv 0$なのでこの定理は成り立つ。
２）$f(a)=f(b)<M$の場合
$f(\xi)=M$となる数$\xi\in (a,b)$が存在する。
$a<\xi+h<b$をみたす、絶対値が十分小さい数$h$にたいして
$f(\xi+h)\leq f(\xi)=M $なので、$f(\xi+h)-f(\xi)\leq 0$
$h$が正のとき
$\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0 \qquad \qquad (1)$
$h$が負のとき
$\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geq 0 \qquad \qquad (2) $
関数は、$\xi\in (a,b)$で微分可能なので、
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=\lim_{h\to 0,h<0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f'(\xi)$
ところが式（１）から
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \leq 0$
式（２）から
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \geq 0$
なので
$f'(\xi)=0$
３）$f(a)=f(b)>m$の場合
２)と同様に証明できる。
証明終わり。
平均値の定理
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。
$f$が$I=[a,b]$で連続で、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能ならば、
ある数$\xi\in (a,b)$が存在して、
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
証明；
関数ｇを次式で定義する。
$g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
すると、
$g$は$I=[a,b]$で連続で、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能
$g(a)=g(b)=f(a)$
$g$はロールの定理の仮定を満たす。
そこでロールの定理から、
$g'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。
gの定義から
$g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
故に、
$0=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
が得られる。この式を整頓すると
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
証明終わり。
系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$
ベクトル値関数の微分
実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に
値をとる関数$\vec f$を考える。
定義;微分可能性
実数値関数の場合と同じである。
導関数の線形性の性質も成り立つ。
ベクトル値関数の微分とその成分関数の微分の関係
関数値$\vec f(s)$は${\bf R^n}$の要素なので
$\vec f(s)=(f_1(s),f_2(s),\cdots f_n(s))$
と表示できる。
すると$\vec f$のｎ個の成分関数
$f_i,(i=1,2,\cdots n)$
が得られる。
命題；
$\vec f$が$s\in I$で微分可能$\Leftrightarrow$$f_i(i=1,2,\cdots n)$が$s\in I$で微分可能。
この時、${\vec f}'(s)=({f_1}'(s),{f_2}'(s)\cdots {f_n}'(s))$
ベクトル積の微分
命題
$ \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $は、開区間Ｉ上で定義され、
微分可能なベクトル値関数とする。すると、
$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は微分可能で、
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$
証明
すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
(\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t$ $\qquad $ (1)
を用いて証明する。
この極限が存在し、
$\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}$
になることを示せば命題は証明できたことになる。
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。
$ \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$
$ = \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
-\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
+\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$
ベクトル積の命題３を利用すると、
$ = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) $
この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}
{\delta t}$
$=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) }
{\delta t}
$
ベクトル積の命題４を使い、
$=\lim_{\delta t \to 0}\left(
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+
\vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}
{\delta t}
\right)$
極限の命題を使って、
$=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)
+
\vec a(t)\times
\lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t}
$
式中の極限は、$\vec a,\vec b$が、微分可能なので存在し、
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec a(t)}{dt}$
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec b(t)}{dt}$
$C^{1}$級の関数
開$I=(a,b)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,
$I$上で導関数 $f'$ が存在して、しかも$f'$ が$I$上で連続であることをいう。
$I=(a,b)$上で連続的微分可能である関数を$C^{1}$級関数という。
多変数の実数値関数の微分
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$
の開区間
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$
を考える。
一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後
${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$
が存在するときｓで微分可能と定義すること。
しかし、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。
方向微分
そこで、${\bf p}\in {\bf R^n}、{\bf p}\neq 0$を用いて、
この方向にそって$h=t{\bf p}$が零に近づく($t \to 0$)ときの
関数値の瞬間的変化率を考える。
定義;${\bf p}$方向の微分可能性
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で${\bf p}$方向に微分可能であるとは、極限
$\lim_{t \to 0,\neq 0}\frac{f({\bf s}+t{\bf p})-f({\bf s})}{t}=c \qquad \qquad (1)$
が存在することである。
この時$c$を$f$の${\bf s}$における${\bf p}$方向の微分係数あるいは${\bf p}$方向の導値といい、
$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})、(D_{\bf p}f)({\bf s})$
などと書く。
$I^n=\prod_{i}(a_i,b_i)$の各点で$f$が${\bf p}$方向に微分可能であるとき、
$f$は${\bf p}$方向に微分可能関数という。
この時、任意の${\bf s}\in I^n$に対して、$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})$が定まるので、
関数$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }$が定まる。
これを$f$の${\bf p}$方向の${\bf 導関数}$という。
偏微分
${\bf R^n}$の自然基底${\bf e_1}=(1,0,\cdots 0),,,,,{\bf e_n}=(0,0,,,1)$を、
方向に選んだときの方向微分は、良くつかわれる。
定義；偏微分
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で${\bf e_i}$方向に微分可能であるとき、
$f$は、${\bf s}\in I^n$で第ｉ座標$x_i$にかんして偏微分可能という。
$(D_{\bf e_i}({\bf s})$を, $f$の ${\bf s}$における $x_i$ についての偏微分係数といい、
$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s}),f_{x_{i}}({\bf s}),(D_if)({\bf s})$
などと書く。
$C^{1}$級の関数
$I^n=\prod_{i=1}{n}(a_i,b_i)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,
$I$上ですべての偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x_i},(i=1,2,,,n)$ が存在して、しかも$I$上で連続であることをいう。
連続的微分可能な関数を$C^{1}$級関数という。
ｎ次元開区間$I^n$上の$C^{1}$級関数を全て集めた、(関数)集合を$C^{1}(I^n)$と記す。
定理；
$I^n$をｎ次元開区間
$f$を$I^n$で定義されたｎ変数の実関数
${\bf p}$をｎ次元の零でない任意のベクトル
とする。
もし$f\in C^{1}(I^n)$ならば、
（１）$f$は$I^n$上で${\bf p}$方向に微分可能
（２）$(D_{\bf p}f)({\bf s})=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s})$
ここで、$p_{i}$は ${\bf p}$の第ｉ成分。
証明
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能
