物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式
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| + | の開区間 | ||
| + | $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$ | ||
| + | を考える。 | ||
| + | 一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後<br/> | ||
| + | ${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/> | ||
| + | この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/> | ||
| + | 最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり<br/> | ||
| + | $\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$<br/> | ||
| + | が存在するときｓで微分可能と定義すること。<br/> | ||
| + | しかし、<br/> | ||
| + | ${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。 | ||
| + | ===方向微分と偏微分=== | ||
| + | そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、 | ||
| + | *[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]] | ||
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| + | ==微分(全微分） == | ||
| + | 定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/> | ||
| + | 定理１；<br/> | ||
| + | 微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/> | ||
| + | 定理２<br/> | ||
| + | $C^{1}$級の関数は微分可能<br/> | ||
2016年11月21日 (月) 14:05時点における版
目次 |
9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析
多変数の実数値関数の微分 =
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$
の開区間
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$
を考える。
一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後
${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$
が存在するときｓで微分可能と定義すること。
しかし、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。
方向微分と偏微分
そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能
