物理/８章の付録
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| - | ２項定理を用いて(1+1n)n を展開すると<br/> | + | ２項定理を用いて$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は２以上の自然数)$ を展開すると<br/> |
| - | $a_n | + | $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/> |
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ||
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | ||
| + | 但し、0!≜<br/> | ||
式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | 式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | ||
a_n = \sum_{m=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m <br/> | a_n = \sum_{m=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m <br/> | ||
=\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3) <br/> | =\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3) <br/> | ||
| + | ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ||
| + | 0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 なので、<br/> | ||
| + | 0 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4) | ||
2017年8月28日 (月) 17:19時点における版
８章の付録
８章の付録
問の解答
２項定理を用いてa_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は２以上の自然数) を展開すると
a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)
ここで {}_n\mathrm{C}_{m} は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
{}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)
但し、0!\triangleq 1 \quad m が1以上の自然数の時, m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m
式（２）を式（１）に代入して計算すると
a_n = \sum_{m=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m
=\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 なので、
0 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)
