物理/８章の付録
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| - | + | $a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/> | |
| + | すると、 | ||
| + | $2 \leq a_1=1+\frac{1}{1}=2\quad \lt a_2=(1+\frac{1}{2})^{2} =2\frac{1}{4}$である。<br/> | ||
| + | nが３以上の自然数の時は、$a_n$を２項定理を用いて展開すると<br/> | ||
$a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/> | $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/> | ||
ここで ${}_n\mathrm{C}_{m}$ は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ここで ${}_n\mathrm{C}_{m}$ は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ||
| + | mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/> | ||
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)$<br/> | ${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)$<br/> | ||
| - | + | ここで、m が1以上の自然数の時は $ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$<br/> | |
| + | mが零の時は ${}_n\mathrm{C}_{0}\triangleq 1$ 、$\quad 0!\triangleq 1 $と定義する。<br/><br/> | ||
式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | 式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | ||
| - | $a_n = \sum_{m= | + | $a_n = 2+\sum_{m=3}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/> |
| - | $=\sum_{m= | + | $=2+\sum_{m=3}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$ <br/> |
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ||
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、<br/> | $0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、<br/> | ||
| - | $ | + | $ 2 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)$ |
2017年8月29日 (火) 03:35時点における版
８章の付録
問の解答
$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。
すると、
$2 \leq a_1=1+\frac{1}{1}=2\quad \lt a_2=(1+\frac{1}{2})^{2} =2\frac{1}{4}$である。
nが３以上の自然数の時は、$a_n$を２項定理を用いて展開すると
$a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$
ここで ${}_n\mathrm{C}_{m}$ は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
mが１以上でn 以下の自然数の時は
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)$
ここで、m が1以上の自然数の時は $ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$
mが零の時は ${}_n\mathrm{C}_{0}\triangleq 1$ 、$\quad 0!\triangleq 1 $と定義する。
式（２）を式（１）に代入して計算すると
$a_n = 2+\sum_{m=3}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $
$=2+\sum_{m=3}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、
$ 2 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)$
