物理/８章の付録
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| - | + | $a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/> | |
| + | すると、 | ||
| + | 2≤a1=1+11=2<a2=(1+12)2=214である。<br/> | ||
| + | nが３以上の自然数の時は、anを２項定理を用いて展開すると<br/> | ||
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)<br/> | an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)<br/> | ||
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/> | ||
| + | mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/> | ||
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)<br/> | ||
| - | + | ここで、m が1以上の自然数の時は m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m<br/> | |
| + | mが零の時は nC0≜1 、0!≜1と定義する。<br/><br/> | ||
式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | 式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/> | ||
| - | $a_n = \sum_{m= | + | $a_n = 2+\sum_{m=3}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/> |
| - | $=\sum_{m= | + | $=2+\sum_{m=3}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$ <br/> |
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して<br/> | ||
0<1−in<1 なので、<br/> | 0<1−in<1 なので、<br/> | ||
| - | $ | + | $ 2 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)$ |
2017年8月29日 (火) 03:35時点における版
８章の付録
問の解答
an≜(1+1n)n(nは自然数) とおく。
すると、
2≤a1=1+11=2<a2=(1+12)2=214である。
nが３以上の自然数の時は、anを２項定理を用いて展開すると
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
mが１以上でn 以下の自然数の時は
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
ここで、m が1以上の自然数の時は m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m
mが零の時は nC0≜1 、0!≜1と定義する。
式（２）を式（１）に代入して計算すると
an=2+∑nm=3n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=2+∑nm=31(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0<1−in<1 なので、
2<an<∑nm=01m!(4)
