勾配法
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一次アルゴリズム
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-56-QINU を例にとる.UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-57-QINUを列ベクトルと行列
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-58-QINU
を使って表現すると
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-59-QINU
から UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-60-QINU と書ける．
ここで,UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-61-QINUのUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-62-QINUについての偏微分係数はそれぞれ,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-63-QINU
である。これらを要素にもつ列ベクトルは, UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-64-QINUのUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-65-QINUについて の微分であり,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-66-QINU
である。
また,UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-67-QINUの２階微分は
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-68-QINU である。
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-69-QINU とすると
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-70-QINU
である.
これを一般化する.関数UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-71-QINUが解析的な関数なら,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-72-QINU
となる．UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-73-QINUは３次以上の高位の項である。
勾配を使う計算法
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-74-QINUを最小化するため先ず,
初期点 UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-75-QINU を与えて,UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-76-QINUを求め,次に,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-77-QINUでのUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-78-QINUの微分,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-79-QINU
を求め,これと微小な正数UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-80-QINUを使って,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-81-QINU
として,UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-82-QINUを計算すると,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-83-QINU
ここで,任意のベクトル UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-84-QINU について
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-85-QINU であるからUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-86-QINUである。
同様に,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-87-QINU
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-88-QINU
である。
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-89-QINUが十分小さければ, UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-90-QINU として, UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-91-QINU となる．
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-92-QINU を新たな初期点としてこれを繰り返すことができる．このような方法を勾配法と呼ばれる．
特に,毎回の繰り返しで,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-93-QINU
となるように,UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-94-QINUを選ぶ繰り返し計算法を最急降下法と呼ぶ．
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-95-QINU
を繰り返しながら
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-96-QINU
を生成し, UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-97-QINU
とする計算法は,一次アルゴリズムと呼ばれている．
2次アルゴリズム
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-98-QINU
を使って,高速なアルゴリズムを造る．
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-99-QINU
とおき,上の式の右辺を書き換える．
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-100-QINU
これはUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-101-QINUについての２次式である。この式がUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-102-QINUについて,極小になるための 条件は,極値条件(UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-103-QINUについての微分がUNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-104-QINUベクトル)
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-105-QINU
である。これから,行列 UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-106-QINU が正則(逆行列をもつ)とすれば,
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-107-QINU
が得られる．
UNIQ20dcb97a7605b2df-MathJax-108-QINU を繰り返すアルゴリズムはニュートン法と呼ばれる．
