物理/運動の法則の応用2
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解説
この節では複数の質点が集まって作る質点系と、硬くて形を変えない質点系である剛体の運動を、運動法則を用いて解析しよう。
質点系の運動
2個以上の質点が集まって出来ている系を質点系という。
質点系というときは、各質点は密集していても、離れ離れでも良い。互いに固着しようが、自由に動けようが構わない。
すべての物質は、分子の集合と考えたり、細分化して極小部分に分け、それらの集合と考えれば、十分な精度で、質点系とみなすことができる。
そのため質点系の運動の法則を、ニュートンの運動法則から導出すれば、その応用範囲は非常に広い。
質点系の運動と重心
系の任意の2つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい。
この力を質点系の”内力”という。
質点系の各質点に外部から力(外力という)が加わる時、この質点系はどんな運動をするだろうか。
質点系の各質点の位置を→ri、質量をmiとし、
質点mi に作用する外力を→fi、
mi に、他の質点mjから作用する内力を→fijとする(i,j=1…N)。
すると、各質点に対して、運動の第2法則により、
d(mi→vi)/dt=→fi+∑j≠i→fij ここで→vi=d→ri/dt、
各ベクトルを自由ベクトルとみなしてi=1…Nについて加え合わせると、→fij+→fji=0なので、
d2dt2∑imi→ri=ddt∑imi→vi=∑i→fi
が得られる。
質点系の全質量M=∑imiと質点系に働く全外力→F=∑i→fiを用いて書きなおすと、
Md2dt2(∑imi→ri/M)=→F
質点系の重心→Rを →R=∑imi→ri/M で定義すると、
Md2dt2→R=→F
この式は、力→Fをうける質量Mの質点の運動方程式と同じである。
以下の解説も参考にしてください。
複雑にみえる運動も重心の運動をみれば簡単である
体操選手の運動は、跳躍などで空中をまいながら、回転や体の屈伸、ひねりなどを行う。大変複雑で美しい。
しかし、導出した質点系の重心の運動法則から、体の重心の運動は、投射体の運動であり、放物線をえがいて移動することが分かる。
空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き)で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。
剛体の運動とつり合い
剛体
剛体(Rigid body)とは、
質点系であって、それらの、どの2質点の間の距離も変わらない,特殊な質点系のことを言う。
どの2質点の間の距離も変わらなければ変形は起こらない。
固くて変形しにくい物体を理想化した概念である。
剛体の運動
剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。
重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように簡単に扱える。
重心の周りの回転運動について解析するには、少し難しい数学が必要になる。
- ウィキペディア(剛体の力学)を参照のこと。
このテキストでは、固定軸の周りの回転運動を中心に、 剛体運動の初歩と釣合の条件について学ぶ。
固定軸のまわりの回転運動
剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動(車輪の回転など)を考える。
応用も考え、回転軸は重心を通らなくてもよいように一般化しておく。
(注)なお、軸が動かないようにするためには軸受が必要である。
工夫しても回転時に軸は軸受から多少の摩擦力を受け、回転にブレーキがかかる。
しかし、これは無視出来るほど小さいと仮定する。
すると軸が受ける力は、軸の変動を防ぎ、固定軸の周りの運動に限定させる作用を持ち、
回転を遅める作用は持たないことになる。
回転運動の表示法
固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。
・剛体の位置を表す変数;回転角
剛体が幾ら回転したか分かるように、剛体の、回転軸上にない一点Psに印を付ける。
次に、角度を測る基準線をきめるため、座標系を決めよう。
Psから固定軸へ垂線をひき、その足を原点Oとし,固定軸をz座標とする(静止した)3次元直交座標O−xyzを考える。
剛体が固定軸の周りを回転すると、印Psはxy平面上を、原点Oを中心に円を描いて動くことになる。
その位置ベクトル→OPsがx軸の正方向となす角度ϕを、回転角と呼ぶ。図参照。
但し、x軸から反時計回りの角を正にする。
また一回転した後ならば、一回転の角2πを加え、逆周りに一回転した後なら2πを引き、
角度だけでなく回転数も分かるようにする。
回転角が指定されると、点Psの位置が決まる。
それだけでなく剛体は変形しないので、剛体のすべての点の位置がきまる。
そこで回転角ϕの時間変化ϕ=ϕ(t)を明らかにすれば、剛体の回転運動は定まる。
固定軸のまわりの回転運動において回転角の果たし役割は、質点の運動において質点の位置が果たし役割に対応していることが分かる。
・回転の角速度と角加速度
ϕ=ϕ(t)を時間で微分したdϕ(t)/dtを回転の角速度と呼ぶ。
直観的には、時刻tの瞬間の、回転の速さ(回転角の時間に対する変化率)を表す。
さらにもう一回時間微分したd2ϕ(t)/dt2を回転の角加速度と呼ぶ。
回転力(トルク)
質点の運動に倣って、剛体に作用する力によって、その位置(=回転角)がどう変化するかの法則を導出したい。
しかし、剛体の回転の場合、ある方向の力は、剛体の回転に全く関係しない。
例えば、回転軸から放射状にでる半直線方向の力は全く回転の変化に寄与しない。
そこで剛体の回転を変化させる力とはなにかという問題から考察する必要が起こる。
質点運動における力の定義(力と運動量の変化の関係)や力と仕事の関係など力の係っている式のなかから、
剛体の回転運動に容易に拡張出来るものを選び、その式から、回転に関する力を求めることを試みる。
力の定義からは、回転運動への拡張を、推測することは難しい。
力と仕事の関係の考察をしてみよう。
力と仕事の関係からの考察
適当な直交座標系をさだめ、ベクトルは、座標成分で表示する。
質点に、一定の力→F=(Fx,Fy,Fz)を作用させて、x軸方向に変位させる。
質点はこの軸の上でしか動けないように拘束され、摩擦はないと仮定する。
質点の変位ベクトルは一次元の変数xを使って→s=(x,0,0)と表せる。
すると力のなす仕事は、W=→F⋅(x,0,0)=Fxxである。
逆に物体に一定の力を加え、x軸上でxだけ変位させた時の仕事Wが分かれば、質点を動かした力は
Fx=W/x
で求められる。
Fy,Fzは、質点をx軸上で動かすことには全く寄与せず、
x軸に拘束された質点を動かす力は、Fxなのである。
固定軸まわりの回転もその変位は一次元の変数である回転角度で表わせるので、
これに倣って、
W/回転した角度
を、回転にかんする力であると考える。これを回転力と呼ぶ。トルクともいう。
この方針を実行して回転力を具体的に求めよう。
剛体に力を加え微小角動かす時の、力のなす仕事の算出
図4.1のように剛体の任意の一点P(x,y,z)を考える。
z座標の上方からxy平面を見下ろしているので、z座標は点になりOと書いてある。
まず一点P(x,y,z)に力→F=(Fx,Fy,Fz)が作用して、微小角Δθだけ回転したときの
仕事ΔWを計算し回転力を求めよう。
P点から回転軸(z軸)に垂線を下ろし、その足をO′=(0,0,z)とする。
→O′Pの長さをr、x軸となす角をθ(ラジアン)と置く。
この角度は、
剛体につけた印の位置ベクトル→OPsがx軸となす回転角ϕと
このベクトルと→O′P(をxy平面に平行移動したベクトル)の間の角の和である。
後者は、剛体なので、運動しても変わらない定数である。そこで、θ=ϕ+定数,と書ける。
剛体がz軸の周りを微小角Δθ回転して、点Pが図の点Qに移動したとする。
すると角∠OPQはほぼ直角(=π/2)で→PQの長さPQは、PQ=r(Δθ)。
→PQのx成分とy成分は、図4-1中に示したように、それぞれ、−QR=−PQ∗y/r、PR=PQ∗x/r。
PQ=r(Δθ)を代入すると、
→PQx=−y(Δθ)、→PQy=x(Δθ)、→PQz=0
点P(x,y,z)に作用する力→F=(Fx,Fy,Fz)が、物体を→PQだけ動かしたので、
その仕事は、ΔW=→F⋅→PQ(内積)。
この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、
Fx∗(−y)Δθ+FyxΔθ+Fz∗0
=(xFy−yFx)∗Δθ
z軸まわりの回転力の導出
ゆえに、力→Fのz軸まわりの回転力(トルク)T→ezはΔW/Δθ=xFy−yFx
に等しい。
これより、ΔW=T→ezΔθが得られる。
この式と、直線上に拘束された質点の運動における、力と仕事の関係式( 節 項)と対比させると、
T→ez は、拘束された直線の上を動かすときに、働いた力の成分が対応し、
Δθ は、変位量 に対応していることが分かる。
z軸まわりの回転力(トルク)の性質
(1)力→Fのz軸まわりの回転力は,→Fzには関係しない。
言いかえるとz軸を固定軸とする剛体にz軸の方向の力を加えても、z軸の周りの回転は起こらない。
(2)剛体の1点P(x,y,z)に作用する力→Fを考える。
点P(x,y,z)からz軸に下ろした垂線の足をO′(0,0,z)と書く。
力→Fを、,
→O′P方向の成分→Frと、
z軸まわりの回転によりPの描く、O′を中心とする回転円の(左回りの)接線方向の成分→Ft
および、これら2成分に直交する成分(z軸と平行)
に分解する(図参照)。この時、
・力→Frのz軸まわりの回転力は、零である。
すなわち、動径方向の力は回転に寄与しない。
・力→Fのz軸まわりの回転力は、→Ftのz軸まわりの回転力に等しい。
数式で表すと、xFy−yFx=x(Ft)y−y(Ft)x
(3)剛体に作用する力の作用点を、力の作用線上で動かす限り、回転力は変化しない。
ここで、力の作用線とは、力の作用点を通り、力の方向と重なる直線のこと。
これらはいずれも直観と合致する。
証明は、試みてほしい。
他の軸の周りの回転力
力→Fのx軸、y軸まわりの回転力も同様に計算できる。結果は、
x軸まわりの回転力;yFz−zFy=y(Ft)z−z(Ft)y
y軸まわりの回転力;zFx−xFz=z(Ft)x−x(Ft)z
原点まわりの力のモーメント
位置ベクトル→r=(x,y,z)の剛体の点Pに作用する力→Fの原点まわりの力のモーメントを、
→N=(x軸まわりのトルク、y軸まわりのトルク、z軸まわりのトルク)で定義する。
数式で書くと、
→N=(yFz−zFy,zFx−xFz,xFy−yFx),
ベクトル積と力のモーメントのベクトル積表示
以上の結果は、ベクトル積(クロス積ともいう)を用いると簡潔、正確に表現でき、
回転運動の性質を調べるのが容易になる。
3次元ベクトル→a,→b のベクトル積→a×→bとは、3次元ベクトルであり,
大きさは→a,→b を2辺とする平行四辺形の面積に等しく、
方向はこの四辺形に垂直で、向きは、(→a,→b,→a×→b)が右手系をなすように定めたものである。
すると、ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。
ベクトル積にかんする命題
以下に述べる全ての命題で、
→a,→b,→cは3次元ベクトル
αは実数とする。
命題1.
→a を, →cと垂直な成分→a⊥ と,平行な成分→a∥ の和に分解するとき、
→a×→c=→a⊥×→c
→a∥×→c=0
命題2.
→a×→b=−→b×→a
命題3
(α→a)×→b=α(→a×→b)=→a×(α→b)
命題4.
(→a+→b)×→c=→a×→c+→b×→c
命題4の系
→a×(→b+→c)=→a×→b+→a×→c
(→a+→b+→c)×→d=→a×→d+→b×→d+→c×→d
命題5.
(→e1,→e2,→e3) を
それぞれ大きさ(長さ)1で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。
この時、
→e1×→e2=→e3,→e2×→e3=→e1,→e3×→e1=→e2
命題6.
ベクトル→a,→bを,命題5で用いた基底(→e1,→e2,→e3) で決まる座標の座標成分で表示しておく。
すると→a×→b=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)
命題7.
(→a×→b)⋅→c=(→c×→a)⋅→b=(→b×→c)⋅→a
命題8.
→a(t) と →b(t)を,tにかんして微分可能な、ベクトルに値をとる関数とする。すると、
→a(t)×→b(t) は、tにかんして微分可能で、
ddt(→a(t)×→b(t))=(ddt→a(t))×→b(t)+→a(t)×(ddt→b(t))
これらの証明は、後節で扱う。 ベクトル積に関しては以下を参照のこと。
力のモーメントのベクトル積表示
ベクトル積の命題6を用いると、
位置ベクトル→rの点に作用する→F の
原点まわりの力のモーメントは、→N=→r×→F
x軸まわりの回転力(トルク)は、→N⋅→ex と表せることが分かる。
y軸とz軸周りの回転力も、それぞれ
→N⋅→ey ,→N⋅→ezで
表せる。
力のモーメントの性質
もっと一般に、どんな軸の周りの回転力も、→N から得られる。
定理;
→eを、原点を始点とする大きさ1の任意のベクトルとする。
すると、
→N⋅→eは、力→Fの→e軸の周りの回転力になる。式で書くと、T→e=→N⋅→e
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
力→Fのもとで、剛体を→e軸の右まわりに角度ϕだけ回転させたとき、
→Fのなす仕事Wは、W=T→eϕ=(→N⋅→e)ϕ
証明;
9つに分けて示す。
ⅰ)準備
図のように、剛体の点 P から、→e 軸に垂線を下ろし、その足を Q とする。
力 →F のもとで、剛体が →e を固定軸にして、
微小時間に、微小角δϕ だけ回転したとする。
このとき、P が移った先を、P′ とする。
ⅱ)回転角 δϕ が微小なので、
この回転中の P の軌跡(円弧の微小部分)は、有向線分→PP′ で精度高く、近似できる。
ⅲ)この間に力 →F がなした仕事 δW は、δW=→PP′⋅→F
この仕事を、回転角δϕで割ると、力の →e 軸周りの回転力が得られる。そこで、→PP′ を、この定理で与えられている諸量を使って表現し、これを用いて、仕事を計算しよう。
ⅳ)有向線分→PP′の方向を求める。
→PP′ は、→e 軸と垂直でQ を通る平面H上にあり、
Qを中心とする円の弧の微小部分をなすので、線分QP と直交する。→PP′⊥QP
また、→e 軸と垂直でQ を通る平面H上にあるので、
→PP′は→e 軸とも直交し、従って線分OQと直交する。→PP′⊥OQ
ゆえに、→PP′ は、3点O,Q,Pを通る平面 OQP と直交する。
すると、→PP′ は、平面 OQP 上のすべての線分と直交する。
ゆえに、→PP′⊥→e,→PP′⊥→OP
これで、→PP′ の方向は、求まった。
ⅴ)有向線分→PP′ の向き
点 P は、→e 軸の周りを右周りに回転するので、その向きは、
→e×→OP と同じ向きである。
ⅵ)→PP′ の大きさ。
→PP′は、 Q を中心とする、半径 ‖→QP‖ の円弧の一部なので、
その中心角δϕ を用いて、‖→PP′‖=‖→QP‖δϕ
ⅶ)ⅳ)、ⅴ)、ⅵ)から
→PP′=→e×→r‖→e×→r‖‖→QP‖δϕ
ⅷ)→PP′=→e×→rδϕが成り立つ。
なぜなら、
‖→e×→r‖=‖→e‖‖→r‖sinθ=‖→r‖sinθ=‖→QP‖ ,ここで θ は→e と→r の間の角。
この式をⅶ)で得られた式に代入すれば、所望の結果が得られる。
ⅸ)δW=→PP′⋅→F=(→e×→rδϕ)⋅→F=(→e×→r)⋅→Fδϕ=(→r×→F)⋅→eδϕ
ⅹ)T→e=δWδϕ=(→r×→F)⋅→e=→N⋅→e
定理の証明終わり。
(注)剛体が固定軸の周りでなく、自由に回転するときでも、
ある瞬間には、ある軸の周りの回転になっている。
力のモーメントは、どんな軸周りの回転力の情報も含んでいることが証明されたので、
回転運動一般に有効な概念であることが分かる。
剛体の複数個所に作用する力の回転力
次に剛体の多くの点に力を加えたときの回転力を求めよう。
力の作用点をPi(xi,yi,zi)、力を→Fi(i=1,2,,,n)とする。
これらの力のもとで剛体がz軸まわりをΔθだけ微小回転するときの、各力のなす仕事の合計は、
(∑ni=1(xi(→Fi)y−yi(→Fi)x)∗Δθ
従って、作用点Pi(xi,yi,zi)の力→Fi(i=1,2,,,n)の全体がもつz軸まわりの回転力は、
T→ez=∑ni=1Ti→ez=∑ni=1(xi(Fi)y−yi(Fi)x) ここでTi→ezは力→Fiのz軸まわりの回転力。
同様に、x軸まわりとy軸まわりの回転力も、それぞれ
T→ex=∑ni=1Ti→ex=∑ni=1(yi(Fi)z−zi(Fi)y)
T→ey=∑ni=1Ti→ey=∑ni=1(zi(Fi)x−xi(Fi)z)
力→Fiの原点周りに力のモーメント→Niは→Ni=(Ti→ex,Ti→ey,Ti→ez)で定義した。
全ての力の原点周りの力のモーメントも、同様に
→N=(T→ex,T→ey,T→ez)で定義する。すると、
→N=(∑ni=1Ti→ex,∑ni=1Ti→ey,∑ni=1Ti→ez)=∑ni=1Ni
全ての力の原点周りの力のモーメント→Nも、上述の定理と同様の定理(定理の系と呼ぶ)が成り立つ。
定理の系
→Nを剛体に作用する全ての力のモーメントとし、
→eを、原点を始点とする大きさ1の任意のベクトルとする。
すると、
→N⋅→eは、力→Fの→e軸の周りの回転力になる。
式で書くと、T→e=→N⋅→e
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
力→Fi(i=1,2,,,n)のもとで、剛体を→e軸の右まわりに角度ϕだけ回転させたとき、
これらの力のなす仕事Wは、W=T→eϕ=(→N⋅→e)ϕ
この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。
質点系に作用する重力のモーメント
n個の質点系を考える。
第i質点の質量をmi、位置ベクトルを→riとする。
鉛直上方をz軸の正方向とする直交座標系0−xyzをいれる。
この質点系に作用する重力の原点周りのモーメント→Nを求めよう。
第i質点に働く重力は、
→fi=(0,0,−mig)
なので、
→N=∑ni=1→ri×→fi=∑ni=1→ri×(0,0,−mig)
=∑ni=1(mi→ri×(0,0,−g))=(∑ni=1mi→ri)×(0,0,−g))
すでに学んだことから、この質点系の重心は、
→R=∑ni=1mi→ri)M
であった。ここで、 M=∑ni=1mi 。
これを用いて、モーメントを書きなおすと、
→N=M→R×(0,0,−g)=→R×(0,0,−Mg)
となる。
これは、質点系の重心の位置に質点系の全質量が集中している時の、
原点周りの重力のモーメントに等しい。
回転運動の方程式
→N が、あらゆる回転軸にかんする回転力を表現していることがわかった。
力Fと運動量の変化の関係をあたえるニュートンの運動方程式(第2法則)を変形して、
回転力→Nにかんする方程式を導こう。
直交右手座標系O−xyz を定める。原点 O は、考察対象に都合のよい点を選ぶ。
剛体をN個の(質点と考えてよい)微小部分Pi(i=1⋯N)に分け、
その質量をmi、位置ベクトルを→ri(xi,yi,zi)とする。
Piが外部から受ける力を→Fi、
Pi が剛体の他の部分Pj(j≠i) から受ける力(内力)を→Fijとおく。
後者は、剛体が変形しないよう、剛体の原子間に働かせる力に起因する。
この原子間の力は、原子の電荷による電気力と、
原子同士が接近しすぎたときに作用する量子力学的力により生じる。
作用・反作用の法則(運動の第3法則)から、→Fij=−→Fji 。
さらに、剛体の2点間に働く内力の方向は、
その2点を結ぶ直線の方向と同じだと、仮定する。
各質点のニュートンの運動方程式
各質点ごとに、ニュートンの運動方程式を立てると、
mid2→ridt2=→Fi+∑j≠i→Fi,j(i=1⋯N)
これを変形して
→Fi=mid2→ridt2−∑j≠i→Fi,j(i=1⋯N) (1)
この式から、
力→Fiの回転力→Ni=→ri×→Fiにかんする式を導こう。
→Ni=→ri×→Fiにかんする式の誘導
式(1)の両辺に左側から、→ri のベクトル積を施すと、
→Ni=→ri×→Fi=→ri×(mid2→ridt2−∑j≠i→Fi,j) (i=1⋯N)
ベクトル積の性質3と性質4により、
=mi→ri×d2→ridt2−∑j≠i→ri×→Fi,j (2)
ここで、ベクトル積の性質8より
ddt(→ri×d→ridt)=d→ridt×d→ridt+→ri×d2→ridt2=→ri×d2→ridt2
なので、
→Ni=middt(→ri×d→ridt)−∑i→ri×→Fi,j=ddt(→ri×mid→ridt)−∑j≠i→ri×→Fi,j(3)
質点Piの運動量を→Piと書くと、
Pi=mi→vi=mid→ridtなので、
→Ni=ddt(→ri×→Pi)−∑j≠i→ri×→Fi,j
定義;角運動量(運動量のモーメントともいう)
質点の位置ベクトルを→r、運動量を→pと書くとき、
→l=→r×→pを,この質点の角運動量と呼ぶ。
これを用いると、
→Ni=d→lidt−∑j≠i→ri×→Fi,j
回転の運動方程式の導出
故に、
→N=∑i→Ni=d∑i→lidt−∑i∑j≠i→ri×→Fi,j(4)
ここで、
∑i∑j≠i→ri×→Fi,j=∑∑i<j→ri×→Fi,j+∑∑i>j→ri×→Fi,j(5)
式(4)の右辺の第2項の上付き添え字i,jを、それぞれ、j'と i'でおきかえられるので、
∑∑i>j→ri×→Fi,j=∑∑j′>i′→rj′×→Fj′,i′
内力は作用反作用の法則が適用できると仮定しているので、
→Fj′,i′=−→Fi′,j′ 。この式を上の式の右辺に代入すると、
∑∑i>j→ri×→Fi,j=−∑∑j′>i′→rj′×→Fi′,j′
この式の右辺の和をとる変数i',j' を i,j におきかえると、
∑∑i>j→ri×→Fi,j=−∑∑i<j→rj×→Fi,j
この式を、式(5)の右辺の第2項に代入して整頓すると、
∑i∑j≠i→ri×→Fi,j=∑∑i<j(→ri−→rj)×→Fi,j
さらに、内力に関する第2の仮定により、→ri−→rj と→Fi,jは同じ方向なので、ベクトル積の定義より、この項は、零となることが分かる。
故に、式(4)の右辺の第2項は零となり、
→N=d∑i→lidt(6)
が得られる。全角運動量を→L=∑i→liとおけば、
式(6)は、次のように書ける。
命題;回転運動の関するオイラーの運動方程式
剛体の内力に上述の2つの仮定を付ける。このとき、
剛体に作用する全ての外部力の原点周りの力のモーメント→N=∑i→Ni=∑i→ri×→Fiと、
全角運動量→L=∑i→li=∑i→ri×→piの間には、
→N=d→Ldt (7)
この命題の導出までは詳しく述べたが、本テキストではこれ以上は深入りしない。
この先にも興味がある方は、次の記事をご覧ください。
固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式
回転運動の運動方程式から、任意の軸の周りの回転運動の方程式が簡単に導出できる。
z軸周りの場合を例にとり、説明する。
z軸周りの回転力はT→ez=→N⋅→ezなので、
回転運動の方程式から
T→ez=→N⋅→ez=d→Ldt⋅→ez
この式の右辺に,L=∑i→ri×→pi を代入すると
右辺
=d∑i→ri×→pidt⋅→ez 微分の加法性から
=(∑id→ri×→pidt)⋅→ez 内積の加法性から
=∑i(d→ri×→pidt⋅→ez) ベクトル積の性質8から
=∑i(dridt×→pi+→ri×d→pidt)⋅→ez →pi=mid→ridtを代入し、ベクトル積の性質を用いると、
=∑i(→ri×d2→ridt2)⋅→ez
故に、
T→ez=∑i(mi→ri×d2→ridt2)⋅→ez(1)
剛体はz軸の周りを回転するので、
その各点Pi(位置ベクトル→ri=→OPi)は、
z軸と直交する平面上を、z軸を中心とする円を描いて運動する。
この拘束条件を考慮して、
時刻tの位置ベクトル→ri(t)の座標成分を書きなおすと、
→ri(t)=(xi,yi,zi)=(ˆricosθi(t),ˆrisinθi(t),zi)(2)
ここでˆriは、点Piとz軸との距離、
θ(t)は、→ri(t)をxy平面に正射影した像がx軸となす角度である。図参照。
剛体につけておいた印Psの位置ベクトル→OPsを
xy平面に正射影した像がx軸となす角(回転角)ϕを用いると、
θi(t)=ϕ(t)+ϕi (3)
(ϕiは、Piごとに決まる、定数)と書ける。
式(1)の右辺を、式(2)を利用して、変形すると、
=∑imi((ˆricosθi(t),ˆrisinθi(t),zi)׈ri(−cosθi˙θi2−sinθi¨θi,−sinθi˙θi2+cosθi¨θi,0))⋅→ez
=∑imiˆri((ˆricosθi(t),ˆrisinθi(t),zi)×(−cosθi˙θi2−sinθi¨θi,−sinθi˙θi2+cosθi¨θi,0))3
ベクトル積の性質6より、
=∑imiˆri
(ˆricosθi(t)(−sinθi(t)˙θi(t)2+cosθi(t)¨θi(t))−ˆrisinθi(t)(−cosθi(t)˙θi(t)2−sinθi(t)¨θi(t))
=∑imi(ˆri)2¨θi(t)
ここで、θi(t)=ϕ(t)+ϕiを代入すると
=(∑imi(ˆri)2)¨ϕ(t)
以上により、
T→ez=→N⋅→ez
=(∑imi(ˆri)2)¨ϕ(t)
が得られた。
I=∑imi(ˆri)2とおくと、この式は
T→ez=I¨ϕ(t)(4)
と書ける。ここでIを、剛体の軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
これがz軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。
原点を始点とする任意の回転軸→e,‖→e‖=1まわりの回転の方程式も同様に得られる。
この方程式の変数ϕ は、一次元のスカラーなので、
質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式
F=m¨x
と、対比させる。すると、
質点に作用する力 F <===> 剛体に作用する回転力T→e=→N⋅→e
質点の質量 m <===> 剛体の→e軸まわりの慣性モーメント
I=∑imi(ˆri)2、ˆriは質量miと→e軸を延長した直線との距離
質点の位置変数 x(t) <===> 剛体の→e軸周りの回転角変数ϕ(t)
質点の速度 ˙x=dx(t)dt <===>剛体の→e軸周りの角速度˙ϕ(t);
質点の運動量 m˙x <===> 剛体の角運動量I˙ϕ;
運動方程式F=m¨x <===> T→e=I¨ϕ
という、対応関係があることが分かる。
この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、
もし→N=0 ならば、任意の軸まわりの回転力が零なので、
剛体の任意の軸まわりの角加速度が零、角速度が一定となることが分かる。
剛体の回転の運動エネルギー
剛体の各微小部分(質量mi)の速度を viと書くと、
その運動エネルギーは 12mivi2,(i=1⋯n)なので、
剛体全体の運動エネルギーは、K=∑i12mivi2
回転運動している各微小部分の速度は、vi=ˆri˙ϕと書けるので、
K=∑i12miˆri2˙ϕ2=12I˙ϕ2,(5)
物理振り子
剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。
これを物理振り子、あるいは実体振り子という。
水平回転軸をx軸とし、鉛直上方をz軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、
回転軸とこの平面の交点を原点O、重心をGと記す。図参照。
回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。
すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。
そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。
重力の原点周りの力のモーメント→Nは、
剛体の重心→Rに、剛体の全質量Mがあるとしたときの
重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。
故に、
→N=→R×(0,0,−Mg)=(−R2Mg,R1Mg,0)
x軸まわりの力のモーメントは、
→N⋅→ex=−R2Mg=−Mg‖→OG‖sinϕ
従って、回転の運動方程式は
Id2ϕdt2=−Mg‖→OG‖sinϕ
ここでIは、軸まわりの、振り子の慣性質量。
剛体の慣性モーメントの計算(一次元の剛体)
剛体Vは、ごく細く、まっすぐな棒で,
長さl、質量密度(単位長さあたりの質量)は一定でρとする。
棒の左端からl1の場所Oを通り、棒に直交する軸まわりの慣性モーメントを具体的に計算しよう。
Oを原点とし、棒と同じ方向の数直線を考え、これを座標系として採用。
V=[a=−l1,b=l−l1]と表現する。
剛体Vの慣性モーメントは、
剛体を質点とみなせるほど細かい部分Vi=[xi−1,xi],(i=1,2,,,n)に分割して、
各Viの質量miと、ViとOとの距離ˆriを用いて、
I=∑imi(ˆri)2で定義した。但しx0=a,xn=b
剛体の分割と慣性モーメントの近似式・リーマン和
Viの質量miは、Viの長さxi−xi−1に質量密度ρを掛ければ得られるので
mi=ρ(xi−xi−1)であり、
I=∑iρ(ˆri)2(xi−xi−1)
と書ける。
しかし、剛体V=[a,b]をいくら細かく分割しても、
各小区間Vi=[xi−1,xi]は大きさ(長さ)をもつので、
原点との距離ˆriは、一つに定まらない。
そこで、各小区間Viから、代表点ξiを選びだし、その点の原点からの距離|ξi|、(ξi絶対値)を、ˆriとみなす。
すると、慣性モーメントIの式は
∑imi(ˆri)2=∑iρ(ξi)2(xi−xi−1)
で近似される。
そこで、この分割を
Δ={Vi=[xi−1,xi]∣i=1,2,,,,n}
と表し、
IΔ(ξ1,,,ξn)
で,慣性モーメントの近似式を表すことにする。
すると、
慣性モーメントの近似式は、
IΔ(ξ1,,,ξn)=∑ni=1ρ(ξi)2(xi−xi−1)(1)
と書ける。
この値は分割の仕方と分割小区間の代表点ξi(∈Vi)の選び方によって変化する。
Viの中で、原点に最も近い点ξmi(∈Vi)(i=1,2⋯,n)にとると
最小値
Im(Δ):=∑ni=1ρ(ξmi)2(xi−xi−1)
をとり、
Viの中で、原点に最も遠い点ξMi(∈Vi)(i=1,2⋯,n)にとると
最大値 IM(Δ):=∑ni=1ρ(ξMi)2(xi−xi−1)
を取る。
関数y=f(x)=ρx2を使って表現すれば、
IΔ(ξ1,,,ξn)=∑ni=1f(ξi)(xi−xi−1)
であり、Im(Δ)≤IΔ(ξ1,,,ξn)≤IM(Δ)を満たす。
質量密度が場所で変わるときは、、関数はy=f(x)=ρ(x)x2になり、
剛体の重心を求めるときは、後述するように、別の関数が現れる。
そこで、数学の分野では、一般の関数y=f(x)にたいして
If,Δ(ξ1,,,ξn)=∑ni=1f(ξi)(xi−xi−1)(2)
を求め、分割Δ={Vi=[xi−1,xi]∣i=1,2,,,,n}とViの代表点ξi,(i=1,2,,,n)に関する関数y=f(x)のリーマン和と呼ぶ。
その最小値Im(f,Δ)と最大値IM(Δ)も,同様に定義される。
Im(f,Δ)≤If,Δ(ξ1,,,ξn)≤IM(Δ)(3)
慣性モーメントの近似式(1)は、関数y=f(x)=ρ(x)x2にたいするリーマン和である。
慣性モーメントの近似式の意味
今後、関数y=f(x)は、V=[a,b]で定義された有界関数として、
議論を進める。
有界関数とは、十分大きな正数Mを選べば、
V=[a,b]の全ての点xに対して、|f(x)|≤Mとなること。
y=f(x)=ρx2を代入すれば、考察対象の剛体の慣性モーメントの話になる。
リーマン和
If,Δ(ξ1,,,ξn)=∑ni=1f(ξi)(xi−xi−1)
は、y=f(x)のグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
また、Im(f,Δ)は一点鎖線でしめす、小さいほうの長方形の和であり、
IMm(f,Δ)は点線でしめす、大きいほうの長方形の和である。
If,Δ(ξ1,,,ξn)は、y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=a、x=bで囲まれる部分の面積Sを近似している。
また、Im(f,Δ)≤S≤IMm(f,Δ) (4)
であり、
Im(f,Δ)は面積を下から評価し、
IM(f,Δ)は面積を上から評価していることがわかる。
分割を限りなく細かくしていくとき、
リーマン和が分割や代表点の選び方に関係ない数に収束するならば、
その極限値は、
y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=a、x=bで囲まれる部分の面積
と考えられる。
もし、分割Δを細かくしていくとき
Im(f,Δ)とIM(f,Δ)が同じ値に収束することが示せれば、
(3)式と(4)式から、リーマン和は、関数のグラフの作る面積Sに収束することが分かった。
可積分の定義と積分
「分割を細かくしていくとき、リーマン和が収束する」ということは、
面積を決める上で決定的に重要がことなので、
可積分という名を付けて、数学的に厳密に定義する。
このためにはまず、分割の大きさを定める必要がある。
定義:分割の大きさ
分割 Δ={Vi=[xi−1,xi]∣i=1,2,,,,n}の大きさとは、
d(Δ):=maxi=1,2,⋯n(xi−xi−1)
定義:可積分と積分
fを、有界閉区間V上で定義され、実数の値をとる関数とする。
もし、ある実数Iが存在して、
どんな分割Δ={Vi=[xi−1,xi]∣i=1,2,,,,n}と代表点ξi∈Vi(i=1,2,⋯,n)であっても、
lim
が成り立つ時、
fはV上で(リーマン)可積分であるという。
このとき、I をfのV上での(リーマン)積分といい、
I=\int_{V}f=\int_{V} f(x)dx
などと書く。
積分の性質
定理(積分の線形性)
f, g \quadを、区間I上で定義された、任意の実数値関数であり、
c, d \quadを任意の実数とする。
このとき、
(1)f,\quad g \quadがI上で可積分ならば、cf+dg \quadもI上で可積分
(2)このとき、 \int_{I}(cf+dg)=c\int_{I}f+d\int_{I}g
証明;リーマン和の定義から、区間Iの任意の分割\Delta=\{I_1,,,,I_n\} と
分割区間の任意の代表点\xi\in V_i(i=1,2,,,,n) (\xiはV_iに含まれる意)に対して、
S(cf+dg,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
=cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) \qquad (1)
f,\quad g \quadは可積分なので、その定義から、
\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}f
\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}g
(1)式の両辺の極限\lim_{d(\Delta) \to 0} をとろう。
右辺の極限
=\lim_{d(\Delta) \to 0}
\left(cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}\right)
極限の性質から、
=c\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+d\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}
=c\int_{I}f+d\int_{I}g
従って(1)式の左辺の極限 \int_{I}(cf+dg) も存在して、右辺の極限と一致する。
証明終わり。
慣性モーメントの計算(1)リーマン和の極限を求める方法
Vは、先述の、ごく細い一様な質量密度\rho=M/lのまっすぐな棒で、
座標系を入れて、V=[a=-{l_1},b=l-l_1]と表現しておく。
原点を通りこの棒と直交する軸のまわりの(この棒の)慣性モーメントを、
リーマン和の極限を取って求めよう。
区間V=[-{l_1},l-l_1]をn(\geq 2)等分して得られる点列,
{x^n }_0=-l_1, {x^n }_1={-l_1}+l/n, {x^n }_i={-l_1}+i(l/n),,,{x^n }_n=l-{l_1}
を分点とする分割を{\Delta}^nと記す。すると、
{x^n }_i-{x^n }_{i-1}=l/n,\quad(i=1,2,,,n), d({\Delta}^n)=l/nであり、
{\Delta}^n=\{{V^n}_j=[{x^n}_{j-1},{x^n}_j] \mid j=1,2,,,n\}
\{{\Delta}^n \mid n=2,3,,,\}という分割の列は、
\lim_{n\to\infty} d({\Delta}^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{l}{n}=0を満たす。
y=f(x)=\rho x^2がリーマン可積分であることを認めれば、
可積分の定義から、どんな代表点{{\xi}^n}_j\in {V^n}_jを選んでも、
\lim_{n\to \infty}I^{f,{\Delta}^n}({{\xi}^n}_1,{{\xi}^n}_2,,,{{\xi}^n}_n)=Iとなる。
そこで、代表点を{{\xi}^n}_j={x^n}_j=-l_1+j(l/n) \quad (n=2,,,),(j=1,2,,,,n)と選ぶ。
関数y=f(x)=\rho x^2を用いると、
分割\Delta^nを用いた慣性モーメントの近似値は次のようになる。
I^{f,{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n)
=\sum_j f({x^n}_j)1/n
=\sum_j f(-{l_1}+j(1/n))\frac{l}{n}
=\rho\sum_{j=1}^{n} (-{l_1}+j(1/n))^2\frac{l}{n}
ここで、
\sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1),\quad \sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(注参照)を利用して、この式を計算すると、
=\rho l ({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})
\rho=M/lなので、
=M({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})
故に、
I=\lim_{n\to \infty}I^{f,{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n)
=\frac{M}{3}(l^2-3{l_1}l+3{l_1}^2)
(注)S_{1}:=\sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1)の証明
(j+1)^{2}-j^{2}=2i+1 なので、両辺のj=1,2,,,n に関する和を取る。
左辺の和は\sum_{j=1}^{n}((j+1)^{2}-j^{2})=(n+1)^{2}-1
右辺の和は\sum_{j=1}^{n}(2j+1)=2\sum_{j=1}^{n}j+n=2S_{1}+n
故に、(n+1)^{2}-1=2S_{1}+n
(n+1)^{2}-1-n=2S_{1} S_{1}=\frac{1}{2}\left((n+1)^{2}-1-n\right)=\frac{1}{2}n(n+1)
S_{2}:=\sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)の略証
(j+1)^{3}-j^{3}=3j^2+3j+1なので、この両辺のj=1,2,,,nに関する和を取る。
左辺の和は(n+1)^{3}-1、右辺の和は3S_{2}+3S_{1}+n,故に3S_{2}+3S_{1}+n=(n+1)^{3}-1
慣性モーメントの計算(2)原始関数を利用する方法
積分可能な関数の積分をリーマン和の極限から求める計算は煩雑であり、複雑な形状の剛体の慣性モーメントを求めるにはふさわしくない。
次の定理が強力な計算法を提供する。
定理
V=[a,b]を数直線上の区間、
fをV上可積分な実数値関数
とする。
もしFが、
V上で微分可能で
全てのVの点xで、\frac{d}{dx}F(x)=f(x)
を満たす関数ならば(注参照)、
\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)
上記の条件を満たす関数Fを、fの原始関数という。
(注)関数Fは、V上でしか定義されていないので、
端点a,bでは、通常の微分は定義できない。そこで、
\frac{d}{dx}F(a):=\lim_{h \to 0,h\geq 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}
\frac{d}{dx}F(b):=\lim_{h \to 0,h\leq 0}\frac{F(b+h)-F(b)}{h}
と定義する。
証明;
区間[a,b]の任意の分割
\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i]\mid 1 \leq i \leq n,x_0=a,x_n=b\}
に対して、
代表点を\xi_i\in V_i(\xi_iはV_iの点の意)とすると、
fのリーマン和は
I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
小区間V_i=[x_{i-1},x_i]での関数Fの平均勾配
\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}
は、平均値の定理により、
V_i=[x_{i-1},x_i]の中のある一点\eta_iにおけるy=F(x)の接線の勾配
\frac{d}{dt}F(\eta_i)に等しので、
\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=\frac{d}{dt}F(\eta_i)=f(\eta_i)
故に、f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1})
そこで、各小区間V_iの代表点を\eta_i,(i=1,2,,,n)と選べば、
I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)
=\sum_i f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})
=\sum_{i=1}^{n}\left(F(x_i)-F(x_{i-1})\right)
=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)
fは可積分なので、
\int_{[a,b]}f=\lim_{d(\Delta)\to 0}I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)
=\lim_{d(\Delta)\to 0}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a)
証明終わり。
さて、慣性モーメントを求めたい剛体では、
f(x)=\rho x^2なので、その原始関数は、
F(x)=\frac{1}{3}\rho x^3
従って、慣性モーメントは、定理を適用して、
I=\int_{[a,b]}\rho x^2=\frac{1}{3}\rho (b^3-a^3)
\rho=M/l,a=-l_1,b=l-l_1を代入して、整頓すると、
=\frac{M}{3}(l^2-3l_{1}l+3{l_1}^2)
てこの原理と力のモーメント
図のように剛体の棒の中間に支点Oがあり、
この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ)と呼ぶ。
てこの原理
梃子の端A_1に力\vec{f^1}が作用し、他端A_2に力\vec{f^2}が作用して、
つりあう(静止し続ける)とき、2つの力の間にはどのような関係があるだろうか。
棒は軽くて無視できるとして考察する。
軸周りに静止し続けるということは、
固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、
梃子に働く外力\vec{f^1}, \vec{f^2}の、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。
Oを原点、回転軸をz軸,梃子の棒をx軸とする、直交座標系O-xyzを導入すると、
\vec{OA_1}=(-l_1,0,0),\quad \vec{OA_2}=(l_2,0,0)
\vec{f^1}=({f^1}_x,{f^1}_y,{f^1}_z),\quad
\vec{f^2}=({f^2}_x,{f^2}_y,{f^2}_z)
と表現できる。
そこで、1.4.3.2.3節(z軸まわりの回転力の導出)から
z軸まわりのトルク(回転力)は
T_{\vec{e_z}}=-l_{1}{f^1}_y+l_{2}{f^2}_y
となる。
従って
つりあい条件は、
l_{1}{f^1}_y=l_{2}{f^2}_y
これをてこの原理という。
l_{2} をl_{1}に比べて、非常に大きくとれば、
少しの力{f^2}_yで非常に大きな力{f^1}_yと釣り合わせることが出来ることが分かる。
てこの原理については、
も参照のこと。
作用線の定理
剛体の場合、作用線に沿って力の作用点を移動しても、力の作用は変わらない。何故かは、考えてみましょう。
剛体のつり合い
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、
重心Gが等速直線運動(静止も含む)を続け、
重心の周りの回転が変化しない(回転しないままか、同じ回転を続ける)場合に、
剛体(に作用している力)は釣り合っているという。
重心が等速直線運動を行うのは、
剛体に作用する外力のベクトル和が0になることであり、その場合に限る。
これについては、「1.1.1 質点系の運動と重心」で説明した。
重心周りの回転が変化しないのは、重心まわりの外力のモーメントの総和が0になることであり、この場合に限る。これについては、「1.2.3.5 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式」で説明した。
定理;剛体のつり合い
剛体に、外力\vec{F^1},\vec{F_2},,,,\vec{F_n}がはたらいている。
このとき、次の条件は同等である。
ⅰ)剛体は釣り合っている。
ⅱ)外力のベクトル和が零で、重心Gまわりの外力のモーメントの和が零。
ⅲ)外力のベクトル和が零で、任意の固定点Pまわりの外力のモーメントの和が零。
証明;条件ⅰ)とⅱ)が同等であることは、すでに、説明した。
条件ⅱ)とⅲ)の同等性を示そう。
外力の和が零であるという条件の下で、
「任意の固定点Pまわりの外力のモーメントの和\vec N_{P}は常に等しい」
ことを示せば良い。
外力\vec{F^i}の作用点を\vec {P_i}(i=1,2,\cdots n)とする。
すると、
Pまわりの外力のモーメントの和\vec N_{P}は
\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (1)
任意の点Qまわりの外力のモーメントの和\vec N_{Q}は
\vec N_{Q}=\sum_{i=1}^{n}\vec{QP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (2)
\vec{PP_i}=\vec{PQ}+\vec{QP_i}を(1)式に代入すると
\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i}
=\sum_{i=1}^{n}(\vec{PQ}+\vec{QP_i})\times \vec{F^i}
ベクトル積の性質から、
=\sum_{i=1}^{n}(\vec{PQ}\times \vec{F^i}+\vec{QP_i}\times \vec{F^i})
=\vec{PQ}\times \sum_{i=1}^{n}\vec{F^i}+\sum_{i=1}^{n}\vec{QP_i}\times \vec{F^i}
仮定と(2)式から、
=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}
故に、\vec N_{P}=\vec N_{Q}
証明終わり。