物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式

提供: Internet Web School

UNIQ1987f8f047bca7a2-MathJax-2-QINU2 による版
(差分) ←前の版 | 最新版 (差分) | 次の版→ (差分)

目次

9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析

多変数の実数値関数の微分

UNIQ209446ca135ce409-MathJax-55-QINU の開区間
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-56-QINU上で定義された実関数UNIQ209446ca135ce409-MathJax-57-QINUを考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-58-QINUとおき、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-59-QINUと書くこともある。
この上で定義された実数値関数UNIQ209446ca135ce409-MathJax-60-QINUの微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル UNIQ209446ca135ce409-MathJax-61-QINU を考え、極限
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-62-QINU
が存在するとき、関数fは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-63-QINUはn次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。

偏微分

そこで、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-64-QINU の変数 UNIQ209446ca135ce409-MathJax-65-QINU の第i成分 UNIQ209446ca135ce409-MathJax-66-QINU だけを変数とし、
他の変数は固定 UNIQ209446ca135ce409-MathJax-67-QINU して得られる一変数関数
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-68-QINU UNIQ209446ca135ce409-MathJax-69-QINU (ここでUNIQ209446ca135ce409-MathJax-70-QINU)
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分 
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-71-QINU
 
を考えることができる。

定義(偏微分)
変数 UNIQ209446ca135ce409-MathJax-72-QINU の第i成分以外は、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-73-QINU  に固定する。
もし、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-74-QINU が UNIQ209446ca135ce409-MathJax-75-QINU で微分可能ならば、
関数fは、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-76-QINU において、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-77-QINU に関して偏微分可能のであると言い,
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-78-QINU
を、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-79-QINU の UNIQ209446ca135ce409-MathJax-80-QINU における、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-81-QINU  に関する偏微分係数という。

定義(偏導関数)
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-82-QINU のある集合 UNIQ209446ca135ce409-MathJax-83-QINU の内部の全ての点UNIQ209446ca135ce409-MathJax-84-QINUで
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-85-QINU  が UNIQ209446ca135ce409-MathJax-86-QINU に関して偏微分可能であるならば、
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-87-QINU の内部の全ての点UNIQ209446ca135ce409-MathJax-88-QINUに、そこでの UNIQ209446ca135ce409-MathJax-89-QINU に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-90-QINU  の UNIQ209446ca135ce409-MathJax-91-QINU に関する偏導関数といい、記号
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-92-QINU
などで表示する。

定理(合成関数の微分)
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-93-QINU から UNIQ209446ca135ce409-MathJax-94-QINU への関数UNIQ209446ca135ce409-MathJax-95-QINU と
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-96-QINU から UNIQ209446ca135ce409-MathJax-97-QINU への関数UNIQ209446ca135ce409-MathJax-98-QINU の合成関数 
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-99-QINU 
を考える。
もし、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-100-QINU が UNIQ209446ca135ce409-MathJax-101-QINU で、xに関して偏微分可能で,
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-102-QINU が、UNIQ209446ca135ce409-MathJax-103-QINU において微分可能ならば、
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-104-QINU は UNIQ209446ca135ce409-MathJax-105-QINU で、xに関して偏微分可能であり,

方向微分

微分(全微分) 

定義1;微分可能(全微分可能ともいう)、導値(微分係数)、導関数
定理1;
微分可能ならば、偏微分可能

定理2
UNIQ209446ca135ce409-MathJax-106-QINU級の関数は微分可能

ベクトル解析 

常微分方程式

個人用ツール