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物理/8章の付録

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8章の付録

8章の付録

問の解答

2項定理を用いてa_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は2以上の自然数) を展開すると
  a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)
  ここで {}_n\mathrm{C}_{m} は、n個のものからm個取り出す取り出し方の総数で、
{}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)
但し、0!\triangleq 1 \quad m が1以上の自然数の時, m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m
式(2)を式(1)に代入して計算すると
a_n = \sum_{m=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m
=\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 なので、
0 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)

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