物理/8章の付録
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8章の付録
8章の付録
問の解答
2項定理を用いてan≜(1+1n)n(nは2以上の自然数) を展開すると
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、n個のものからm個取り出す取り出し方の総数で、
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
但し、0!≜1mが1以上の自然数の時,m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m
式(2)を式(1)に代入して計算すると
an=∑nm=0n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=∑nm=01(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0<1−in<1 なので、
0<an<∑nm=01m!(4)