非線形計画法
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ポートフォリオセレクション
資金額wを持つ投資家が株式1,2に資金を一か月間 x1,x2に分けて 分散して投資する.どのようにすれば「最適」な投資をできるかを考える.
株式1,2の現在価格をq1,q2としこれらの一か月後の価格は0∼∞の値を取り得る 不確定な値のため 確率変数Q1,Q2で表す。
資金の分散投資
0≤x1,0≤x2,x1+x2=w
による一か月後の利益は,同様に確率変数
S=Q1q1x1+Q2q2x2−w=Q1q1x1+Q2q2x2−(x1+x2)=L1x1+L2x2 L1=Q1−q1q1,L2=Q2−q2q2 で表さられる.
ここで,最適な投資の定義はどのようなものになるか. 一つの方法として一か月後の利益についての評価関数
を用いて定義することが考えられる.
この評価関数は 利益lが増加するに従って値が増加する単調増加関数になるであろう.
しかしながら,一般に高い利益を期待できるものは,逆に株価が値下がりして損出を出す可能性も低くない。
この評価関数が具体的にどのような単調増加関数 になるのか,これは,投資した株式が購入した価格よりも下がり損をするという危険も覚悟の上で,より高い利益を期待するのか, あるいは,利益は期待しつつも,損出は極力避けたい,むしろ利益は少なくとも損出の可能性を極力小さくしたいとの 投資家の心理的問題も大きく影響し単純には決められない.
ここでは議論を簡単にするため評価関数を微小な正数0<αを使って以下のように定める
J(t)=t−αt2,t∈[−∞,1α]
これは利益lがt<1α である間は単調増加であるが,tが1α
に近づくにつれ,曲線の傾斜が0に近づく.この曲線は高い利益を期待できるものは値下がりによる損出の危険もあり, 損出の危険をさけるため過大な利益の期待はしないとの投資家心理を反映している.
この評価関数Jを用いて,「投資の最適化問題」を 制約条件 0≤x1,0≤x2,x1+x2=w のもとに利益を表す確率変数Sの期待値(平均値)
E(S)=E{J(L1x1+L2x2)}
を最大化する問題として扱う.