線形計画法(生産計画)

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生産計画

ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする． 　また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる.

これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.

この問題は以下のように数学的に定式化される．

線形計画法

製品A,B,Cをそれぞれ\(x_1,x_2,x_3\) 単位生産するとき\(x_1,x_2,x_3\)は以下の不等式を満たす.

\( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) \)

さらに各製品生産量は負ではないから

\( 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 \)

この制約条件のもとに

\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 \)

を最大にする\(x_1,x_2, x_3\)を求めよ.

\((1)\)式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ, \((3)\)式のように評価関数も1次式で与えられる問題は線形計画と呼ばれる.

Microsoft Excelのソルバーを用いた解法

1)　ソルバーの導入

Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である．そのまま2)ソルバーによる解法の例を実行する．

　 Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合

1-1)　ファイル　>　オプション　>　アドイン　の順に選択

1-2)　アドインの表示窓アクティブでないアプリケーションにExcelソルバーがあることを確認

1-3)　画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後，

1-4)　設定(G)をクリック 　有効なアドインが小窓で表示される.　その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.

2)　ソルバーによる解法の例

　Excelに下記の作成例のように表１のデータを作成する.

この作成例では セル　B2,C2,D2　が　製品A,B,Cのそれぞれの生産量 \(x1,x2,x3\)を表す.

線形の一次式

\( 4x_1+0x_2+7x_3 \\ 1x_1+3x_2+9x_3\\ 6x_1+0x_2+14x_3\\ 4x_1+10x_2+1x_3 \)

をE3, E4, E5, E6に入力している. ここで,sumproduct(B4:D4,B$2:D$2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積B4*B2+C4*C2+D4*D2 であり \(4x_1+0x_2+7x_3\)を表す．

F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.

E7には

\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 \)

を表す式を入力している．

表のデータを入力後,

メニュー　「データ」，「分析」，「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く．

目的の設定という欄にセルE7を指定する　

目標値には「最大値」を選択し，チェックを入れる．

変数セルの変更欄には\(x_1,x_2,x_3\)を表すセルB2からD2をドラックして指定する．

制約条件の対象の欄には この例題の制約条件式

\( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) \)

を表す式を入力する． 　 このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ, 例えば \( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \) を表す式を入力するのであれば セルの参照欄に \( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \) を表すセルE3を指定 ≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する．

入力後さらに「追加」をクリックし他の３つの制約条件式も同様に入力する．

さらに, 制約条件式　

\( 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 \)

を指定するため 「制約のない変数を非負数にする」　にチェックを入れる．

最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.

\(x_1=7.8,x_2=3.9,x_3=4.5\) のときに

\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 　　 \)

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.