数学・解析/積分

UNIQ2e014c0d79562210-MathJax-2-QINU2 による版

解説

関数 $F(x)$ を微分した関数（導関数）が $f(x)$ のとき、 $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分または原始関数といい、

$F(x) = \int f(x) dx$

と表します。 $f(x)$ が x の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。

$f(x) = x^a$ のとき、

$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)$

となります。C は定数で、積分定数といいます。

$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ で表すとき、

$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$

となり、これを与えられた区間 $[a,b]$ の上での積分と言います。

リーマン和

$f(x)$ の区間 $[a,b]$ の上での積分

$\int_{a}^{b}f(t)dt$

は、右図の面積 S を表します。