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物理/運動の法則の応用2

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目次

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解説

この節では複数の質点が集まって作る質点系と、硬くて形を変えない質点系である剛体の運動を、運動法則を用いて解析しよう。

質点系の運動

2個以上の質点が集まって出来ている系を質点系という。
質点系というときは、各質点は密集していても、離れ離れでも良い。互いに固着しようが、自由に動けようが構わない。
すべての物質は、分子の集合と考えたり、細分化して極小部分に分け、それらの集合と考えれば、十分な精度で、質点系とみなすことができる。
そのため質点系の運動の法則を、ニュートンの運動法則から導出すれば、その応用範囲は非常に広い。

質点系の運動と重心

系の任意の2つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい。
この力を質点系の”内力”という。  
質点系の各質点に外部から力(外力という)が加わる時、この質点系はどんな運動をするだろうか。
質点系の各質点の位置をri、質量をmiとし、
質点mi に作用する外力をfi
mi に、他の質点mjから作用する内力をfijとする(i,j=1N)。
すると、各質点に対して、運動の第2法則により、
d(mivi)/dt=fi+jifij  ここでvi=dri/dt
各ベクトルを自由ベクトルとみなしてi=1Nについて加え合わせると、fij+fji=0なので、
d2dt2imiri=ddtimivi=ifi
が得られる。
質点系の全質量M=imiと質点系に働く全外力F=ifiを用いて書きなおすと、
Md2dt2(imiri/M)=F
質点系の重心R R=imiri/M で定義すると、
Md2dt2R=F
この式は、力Fをうける質量Mの質点の運動方程式と同じである。
以下の解説も参考にしてください。

複雑にみえる運動も重心の運動をみれば簡単である  

体操選手の運動は、跳躍や着地などで空中をまいながら、回転や体の屈伸、ひねりなどを行う。大変複雑である。
しかし、導出した質点系の重心の運動法則から、体の重心の運動は、投射体の運動であり、放物線をえがいて移動することが分かる。
空中に飛び出た瞬間の速度(速さと方向・向き)で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。

剛体の運動とつり合い

剛体

剛体(Rigid body)とは、
質点系であって、それらの、どの2質点の間の距離も変わらない,特殊な系のことを言う。
どの2質点の間の距離も変わらなければ変形は起こらない。
固くて変形しにくい物体を理想化した概念である。

剛体の運動 

剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。
重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように簡単に扱える。
重心の周りの回転運動について解析するには、少し難しい数学が必要になる。

このテキストでは、固定軸の周りの回転運動を中心に、 剛体運動の初歩と釣合の条件について学ぶ。

固定軸のまわりの回転運動 

剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動(車輪の回転など)を考える。
応用も考え、回転軸は重心を通らなくてもよいように一般化しておく。
(注)なお、軸が動かないようにするためには軸受が必要である。
工夫しても回転時に軸は軸受から多少の摩擦力を受け、回転にブレーキがかかる。
しかし、これは無視出来るほど小さいと仮定する。
すると軸が受ける力は、軸の変動を防ぎ、固定軸の周りの運動に限定させる作用を持ち、
回転を遅める作用は持たないことになる。

回転運動の表示法 

固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。
・剛体の位置を表す変数;回転角
剛体が幾ら回転したか分かるように、剛体の、回転軸上にない一点Psに印を付ける。
次に、角度を測る基準線をきめるため、座標系を決めよう。
Psから固定軸へ垂線をひき、その足を原点Oとし,固定軸をz座標とする(静止した)3次元直交座標Oxyzを考える。
剛体が固定軸の周りを回転すると、印Psはxy平面上を、原点Oを中心に円を描いて動くことになる。
その位置ベクトルOPsがx軸の正方向となす角度ϕを、回転角と呼ぶ。図参照。
但し、x軸から反時計回りの角を正にする。
また一回転した後ならば、一回転の角2πを加え、逆周りに一回転した後なら2πを引き、
角度だけでなく回転数も分かるようにする。
回転角が指定されると、点Psの位置が決まる。
それだけでなく剛体は変形しないので、剛体のすべての点の位置がきまる。
そこで回転角ϕの時間変化ϕ=ϕ(t)を明らかにすれば、剛体の回転運動は定まる。
固定軸のまわりの回転運動において回転角の果たし役割は、質点の運動において質点の位置が果たし役割に対応していることが分かる。
・回転の角速度と角加速度
ϕ=ϕ(t)を時間で微分したdϕ(t)/dtを回転の角速度と呼ぶ。
直観的には、時刻tの瞬間の、回転の速さ(回転角の時間に対する変化率)を表す。
さらにもう一回時間微分したd2ϕ(t)/dt2を回転の角加速度と呼ぶ。

回転力(トルク) 

質点の運動に倣って、剛体に作用する力によって、その位置(=回転角)がどう変化するかの法則を導出したい。
しかし、剛体の回転の場合、ある方向の力は、剛体の回転に全く関係しない。 例えば、回転軸から放射状にでる半直線方向の力は全く回転の変化に寄与しない。
そこで剛体の回転を変化させる力とはなにかという問題から考察する必要が起こる。
質点運動における力の定義(力と運動量の変化の関係)や力と仕事の関係など力の係っている式のなかから、
剛体の回転運動に容易に拡張出来るものを選び、その式から、回転に関する力を求めることを試みる。
力の定義からは、回転運動への拡張を、推測することは難しい。
力と仕事の関係の考察をしてみよう。

力と仕事の関係からの考察 

適当な直交座標系をさだめ、ベクトルは、座標成分で表示する。
質点に、一定の力F=(Fx,Fy,Fz)を作用させて、x軸方向に変位させる。
質点はこの軸の上でしか動けないように拘束され、摩擦はないと仮定する。
質点の変位ベクトルは一次元の変数xを使ってs=(x,0,0)と表せる。
すると力のなす仕事は、W=F(x,0,0)=Fxxである。 
逆に物体に一定の力を加え、x軸上でxだけ変位させた時の仕事Wが分かれば、質点を動かした力は
Fx=W/x
で求められる。
Fy,Fzは、質点をx軸上で動かすことには全く寄与せず、
x軸に拘束された質点を動かす力は、Fxなのである。
固定軸まわりの回転もその変位は一次元の変数である回転角度で表わせるので、
これに倣って、
W/回転した角度 
を、回転にかんする力であると考える。これを回転力と呼ぶ。トルクともいう。

この方針を実行して回転力を具体的に求めよう。

剛体に力を加え微小角動かす時の、力のなす仕事の算出 

図4.1のように剛体の任意の一点P(x,y,z)を考える。
z座標の上方からxy平面を見下ろしているので、z座標は点になりOと書いてある。

図4.1 ☆☆キャプションはココに書いて下さい☆☆

まず一点P(x,y,z)に力F=(Fx,Fy,Fz)が作用して、微小角Δθだけ回転したときの
仕事ΔWを計算し回転力を求めよう。
P点から回転軸(z軸)に垂線を下ろし、その足をO=(0,0,z)とする。
OPの長さをr、x軸となす角をθ(ラジアン)と置く。
この角度は、
剛体につけた印の位置ベクトルOPsがx軸となす回転角ϕ
このベクトルとOP(をxy平面に平行移動したベクトル)の間の角の和である。
後者は、剛体なので、運動しても変わらない定数である。そこで、θ=ϕ+定数,と書ける。
剛体がz軸の周りを微小角Δθ回転して、点Pが図の点Qに移動したとする。
すると角OPQはほぼ直角(=π/2)でPQの長さPQは、PQ=r(Δθ)

PQのx成分とy成分は、図4-1中に示したように、それぞれ、QR=PQy/rPR=PQx/r
PQ=r(Δθ)を代入すると、
PQx=y(Δθ)PQy=x(Δθ)PQz=0
P(x,y,z)に作用する力F=(Fx,Fy,Fz)が、物体をPQだけ動かしたので、
その仕事は、ΔW=FPQ(内積)。
この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、
Fx(y)Δθ+FyxΔθ+Fz0
=(xFyyFx)Δθ

z軸まわりの回転力の導出 

ゆえに、力Fのz軸まわりの回転力(トルク)TezΔW/Δθ=xFyyFx に等しい。
これより、ΔW=TezΔθが得られる。
この式と、直線上に拘束された質点の運動における、力と仕事の関係式(  節  項)と対比させると、
Tez は、拘束された直線の上を動かすときに、働いた力の成分が対応し、
Δθ は、変位量   に対応していることが分かる。

z軸まわりの回転力(トルク)の性質

(1)力Fのz軸まわりの回転力は,Fzには関係しない。
言いかえるとz軸を固定軸とする剛体にz軸の方向の力を加えても、z軸の周りの回転は起こらない。
(2)剛体の1点P(x,y,z)に作用する力Fを考える。
P(x,y,z)からz軸に下ろした垂線の足をO(0,0,z)と書く。 力Fを、, OP方向の成分Frと、
z軸まわりの回転によりPの描く、Oを中心とする回転円の(左回りの)接線方向の成分Ft
および、これら2成分に直交する成分(z軸と平行)
に分解する(図参照)。この時、
・力Frのz軸まわりの回転力は、零である。
すなわち、動径方向の力は回転に寄与しない。  
・力Fのz軸まわりの回転力は、Ftのz軸まわりの回転力に等しい。
数式で表すと、xFyyFx=x(Ft)yy(Ft)x
(3)剛体に作用する力の作用点を、力の作用線上で動かす限り、回転力は変化しない。
ここで、力の作用線とは、力の作用点を通り、力の方向と重なる直線のこと。

これらはいずれも直観と合致する。
証明は、試みてほしい。

他の軸の周りの回転力

Fのx軸、y軸まわりの回転力も同様に計算できる。結果は、
x軸まわりの回転力;yFzzFy=y(Ft)zz(Ft)y
y軸まわりの回転力;zFxxFz=z(Ft)xx(Ft)z


原点まわりの力のモーメント

位置ベクトルr=(x,y,z)の剛体の点Pに作用する力Fの原点まわりの力のモーメントを、
N=(x軸まわりのトルク、y軸まわりのトルク、z軸まわりのトルク)で定義する。
数式で書くと、
N=(yFzzFy,zFxxFz,xFyyFx),

ベクトル積と力のモーメントのベクトル積表示

以上の結果は、ベクトル積(クロス積ともいう)を用いると簡潔、正確に表現でき、
回転運動の性質を調べるのが容易になる。
3次元ベクトルa,b のベクトル積a×bとは、3次元ベクトルであり,
大きさはa,b を2辺とする平行四辺形の面積に等しく、
方向はこの四辺形に垂直で、向きは、(a,b,a×b)が右手系をなすように定めたものである。

次の項で説明するベクトル積の性質6を用いると、
位置ベクトルrの点に作用するF
原点まわりの力のモーメントは、N=r×F
x軸まわりの回転力(トルク)は、Nex と表せることが分かる。
y軸とz軸周りの回転力も、それぞれ 
Ney ,Nezで 表せる。


ベクトル積の性質

力のモーメントやトルクの性質を調べるには、ベクトル積の性質についての知識が必要になる。
a,b,cを3次元ベクトル
αを実数とする。
すると次の性質が成り立つ。
性質1. a を, cと垂直な成分a と,平行な成分a の和に分解するとき、
a×c=a×c
a×c=0
性質2.a×b=b×a
性質3.(a+b)×c=a×c+b×c 
性質3の系. a×(b+c)=a×b+a×c
(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d
性質4.(αa)×b=α(a×b)=a×(αb) 
性質5.(e1,e2,e3)
それぞれ大きさ(長さ)1で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。

この時、
e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2
性質6.ベクトルa,bを,性質5で用いた基底(e1,e2,e3) で決まる座標の座標成分で表示しておく。
するとa×b=(aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx) 
性質7.(a×b)c=(c×a)b=(b×c)a
性質8. a(t)b(t)を,tにかんして微分可能な、ベクトルに値をとる関数とする。すると、
a(t)×b(t) は、tにかんして微分可能で、
ddt(a(t)×b(t))=(ddta(t))×b(t)+a(t)×(ddtb(t))

証明

性質1の証明;ベクトル積の定義から、容易に示せる。
2つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。
性質2の証明;2つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。しかし、右手系をなす方向は、逆向きになる。ベクトル積の定義から、a×b=b×a が示せた。
性質3の証明;
この証明には少し工夫が必要である。
ベクトル積の性質の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。
① a,bc が直交する場合。図参照のこと
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点O を始点とする有向線分で代表させる。
c と直交しO を通る平面をHとする。
・仮定よりa,bは、ともに平面H上のベクトルである。
a×c,b×cも、
ベクトル積の定義により、共にc と直交するので、H上のベクトルである。
これら四つのベクトルはすべて平面H上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。
 ⅰ)a×c,b×c の張る平行四辺形は,
a,bの張る平行四辺形を、c倍し,原点周りに90度回転したものになることを、示そう。

\vec{a} \times \vec{c} は、ベクトル積の定義から、 \vec{a} と直交する。
そのため、\vec{a} を平面H上で、原点まわりに、90度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。
\vec{b} \times \vec{c} も、同様に考え、\vec{b} を平面H上で、原点まわりに、90度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。
\vec{a}\times \vec{c} の大きさは、
\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos\pi/2=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\| なので、\vec{a} の大きさの\|\vec{c}\|倍になる。
同様に、\vec{b}\times \vec{c} の大きさは、\vec{a} の大きさの\|\vec{c}\|倍になる。
・以上の結果より、所望の結果は示された。

 ⅱ) \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}を示そう。
・ ⅰ)と同じ議論により、
(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}\vec{a}, \vec{b}の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに90度、同じ向きに回転させ、\|\vec{c}\|倍させたものであることが分かる。
・すると、ⅰ)で示したことから、(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}
\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c} の張る平行四辺形の対角線\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c} に等しいことが分かる。
・以上で①が示せた。

② 一般の場合。
性質1より、\perp\vec{c}と垂直な成分を表すとすると、 (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad (1)
(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perpなので、(1)式は、
= (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}
①より、
= \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c} \qquad 性質3の証明終わり。
性質3の系の証明;
性質2より、
\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -(\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}
性質3より、 = -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})
再び性質2より、
=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \quad 前半の証明終わり
性質2より、
\quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}
再び性質2より、
=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d} \quad証明終わり。
  

性質4の証明;実数\alpha が正、零、負の場合に分けて考える。いずれの場合にも ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の性質から、容易に証明できる。
性質5の照明;ベクトル積と(e_1,e_2,e_3) の定義から明らかである。
性質6の証明;\vec a=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z},
\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}と表せるので、
\vec a \times \vec b=(a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z})\times \vec b 性質3の系から
=a_x\vec{e_x}\times \vec b +a_y\vec{e_y}\times \vec b +a_z\vec{e_z}\times \vec b \qquad (1)

式(1)の第1項 a_x\vec{e_x}\times \vec b\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z} を代入して、性質3の系を使って変形すると、
a_x\vec{e_x}\times \vec b =a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x} +a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y} +a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z} \qquad (2)
性質4と性質5を使うと、
a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x} =a_x b_x\vec{e_x}\times \vec{e_x} =\vec 0
同様の計算を行うと、
a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y} =a_x b_y\vec{e_x}\times \vec{e_y} =a_x b_y\vec{e_z}

a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z} =a_x b_z\vec{e_x}\times \vec{e_z} =-a_x b_z\vec{e_y}

式(2)にこれらを代入して、
a_x\vec{e_x}\times \vec b =a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y} \qquad (3)

式(1)の第2項、第3項も同様に計算すると、
a_y\vec{e_y}\times \vec b =a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z} \qquad (4)

a_z\vec{e_z}\times \vec b =a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x} \qquad (5)

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、
\vec a \times \vec b =a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y} +a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z} +a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x}
=(a_y b_z - a_z b_y)\vec{e_x} +(a_z b_x - a_x b_z)\vec{e_y} +(a_x b_y - a_y b_x)\vec{e_z}
性質6の証明終わり。

性質7の証明;
\quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}を証明しよう。
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。
右手系をなす一つの直交座標を決める。
3つのベクトルを、この座標の成分で表示して、性質6と内積の性質を使えば、左右が等しいことが証明できる。
概略をスケッチしよう。
\quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c} =(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) \cdot (c_x,c_y,c_z) =(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z 
\quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}も、これと同じように計算する。
これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。
性質7の証明終わり。 性質8の証明;
性質8. \quad \vec{a(t)} \vec{b(t)} を,tにかんして微分可能な、ベクトルに値をとる関数とする。すると、
\quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)} は、tにかんして微分可能で、
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
\quad =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)}) すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義を用いて証明する。
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =\lim_{\delta t \to 0} (\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t \qquad (1)  
この極限が存在し、
\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}
になることを示せば性質8は証明できたことになる。
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。
\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)} - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}  
= \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)} -\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)} +\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)} - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}  
ベクトル積の性質3を利用すると、 
= \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right) \times \vec b\left(t+\delta t\right) +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right)

この式を式(1)の右辺の分子の項に代入し整頓すると
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)} {\delta t}  
=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right) \times \vec b\left(t+\delta t\right) +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) } {\delta t}
ベクトル積の性質4を使い、
=\lim_{\delta t \to 0}\left( \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} \times \vec b\left(t+\delta t\right) + \vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)} {\delta t} \right)
極限の性質を使って、
=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} \times \lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t) + \vec a(t)\times \lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t}
式中の極限は、\vec a,\vec bが、微分可能なので存在し、
\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t} =\frac{d\vec a(t)}{dt}
\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t} =\frac{d\vec b(t)}{dt}
また、\lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)=\vec b(t) なので、
所望の結果が得られた。性質8の証明終わり。

力のモーメントの性質

ベクトル積の性質が分かったところで、再び、力のモーメントの考察に戻る。
剛体の一点 P に加えられた力 \vec F の、原点周りの力のモーメントは、
\vec N= \vec r \times \vec F= \vec{OP} \times \vec F で定義した。
すると、
x軸まわりの回転力(トルク)は、T_{\vec e_x}=\vec N \cdot \vec e_x
y軸とz軸周りの回転力も、それぞれ 
T_{\vec e_y}=\vec N \cdot \vec e_y ,\quad T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z  
で表せることは、すでに説明した。
ところが、もっと一般に、どんな軸の周りの回転力も、\vec N から得られる。
定理;
\vec eを、原点を始点とする大きさ1の任意のベクトルとする。
すると、
\quad \vec N \cdot \vec eは、力\vec{F}\vec e軸の周りの回転力になる。式で書くと、T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e  
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
\vec{F}のもとで、剛体を\vec e軸の右まわりに角度\phiだけ回転させたとき、 \vec{F}のなす仕事Wは、W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi
証明;
9つに分けて示す。
ⅰ)準備 
図のように、剛体の点 P から、\vec e 軸に垂線を下ろし、その足を Q とする。
力 \vec F のもとで、剛体が \vec e を固定軸にして、
微小時間に、微小角\delta \phi だけ回転したとする。
このとき、P が移った先を、P' とする。
ⅱ)回転角 \delta \phi が微小なので、
この回転中の P の軌跡(円弧の微小部分)は、有向線分\vec{PP'} で精度高く、近似できる。
ⅲ)この間に力 \vec F がなした仕事 \delta W は、\delta W=\vec{PP'} \cdot \vec F
この仕事を、回転角\delta \phiで割ると、力の \vec e 軸周りの回転力が得られる。そこで、\vec{PP'} を、この定理で与えられている諸量を使って表現し、これを用いて、仕事を計算しよう。
ⅳ)有向線分\vec{PP'}の方向を求める。
\vec{PP'} は、\vec e 軸と垂直でQ を通る平面H上にあり、
Qを中心とする円の弧の微小部分をなすので、線分QP と直交する。\vec{PP'}\perp QP
また、\vec e 軸と垂直でQ を通る平面H上にあるので、 \vec{PP'}\vec e 軸とも直交し、従って線分OQと直交する。\vec{PP'}\perp OQ
ゆえに、\vec{PP'} は、3点O,Q,Pを通る平面 OQP と直交する。
すると、\vec{PP'} は、平面 OQP 上のすべての線分と直交する。
ゆえに、\vec{PP'}\perp \vec e,\quad \vec{PP'}\perp \vec{OP} 
これで、\vec{PP'} の方向は、求まった。
ⅴ)有向線分\vec{PP'} の向き 
点 P は、\vec e 軸の周りを右周りに回転するので、その向きは、 \vec e \times \vec{OP} と同じ向きである。
ⅵ)\vec{PP'} の大きさ。
\vec{PP'}は、 Q を中心とする、半径 \| \vec{QP} \| の円弧の一部なので、 その中心角\delta \phi を用いて、\| \vec{PP'}\|=\|\vec{QP}\|\delta \phi
ⅶ)ⅳ)、ⅴ)、ⅵ)から  \vec{PP'}=\frac {\vec e \times \vec r}{\|\vec e \times \vec r \|}\|\vec{QP}\|\delta \phi
ⅷ)\vec{PP'}=\vec e \times \vec r \delta \phiが成り立つ。
なぜなら、
\|\vec e \times \vec r \|= \|\vec e \|\|\vec r \|\sin \theta =\|\vec r \|\sin \theta =\| \vec{QP} \| ,ここで \theta は\vec e\vec r の間の角。
この式をⅶ)で得られた式に代入すれば、所望の結果が得られる。
ⅸ)\delta W=\vec{PP'} \cdot \vec F =(\vec e \times \vec r \delta \phi) \cdot \vec F =(\vec e \times \vec r) \cdot \vec F \delta \phi =(\vec r \times \vec F)\cdot \vec e \delta \phi
ⅹ) T_\vec e = \frac{\delta W}{\delta \phi} =(\vec r \times \vec F)\cdot \vec e =\vec N \cdot \vec e
定理の証明終わり。

(注)剛体が固定軸の周りでなく、自由に回転するときでも、
ある瞬間には、ある軸の周りの回転になっている。
力のモーメントは、どんな軸周りの回転力の情報も含んでいることが証明されたので、
  回転運動一般に有効な概念であることが分かる。



剛体の複数個所に作用する力の回転力 

次に剛体の多くの点に力を加えたときの回転力を求めよう。
力の作用点をP_i(x_i,y_i,z_i)、力を\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)とする。
これらの力のもとで剛体がz軸まわりを\Delta\thetaだけ微小回転するときの、各力のなす仕事の合計は、
(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}(\vec F^i)_{y}-y_{i}(\vec F^i)_{x})*\Delta\theta
従って、作用点P_i(x_i,y_i,z_i)の力\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)の全体がもつz軸まわりの回転力は、
T_\vec{e_z}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_z} =\sum_{i=1}^{n}(x_{i}(F_{i})_{y}-y_{i}(F_{i})_{x}) \quad ここでT^i_\vec{e_z}は力\vec F^i のz軸まわりの回転力。

同様に、x軸まわりとy軸まわりの回転力も、それぞれ
T_{\vec e_x}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_x} =\sum_{i=1}^{n}(y_{i}(F^i)_{z}-z_{i}(F^i)_{y})
T_{\vec e_y}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_y} =\sum_{i=1}^{n}(z_{i}(F^i)_{x}-x_{i}(F^i)_{z})
\vec F^i の原点周りに力のモーメント\vec N^i\vec N^i=(T^i_{\vec e_x},T^i_{\vec e_y},T^i_{\vec e_z})で定義した。
全ての力の原点周りの力のモーメントも、同様に
\vec N=(T_{\vec e_x},T_{\vec e_y},T_{\vec e_z})で定義する。すると、
\vec N=(\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_x},\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_y},\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_z})=\sum_{i=1}^{n}N^i
全ての力の原点周りの力のモーメント\vec Nも、上述の定理と同様の定理(定理の系と呼ぶ)が成り立つ。
定理の系
\vec Nを剛体に作用する全ての力のモーメントとし、
\vec eを、原点を始点とする大きさ1の任意のベクトルとする。
すると、
\quad \vec N \cdot \vec eは、力\vec{F}\vec e軸の周りの回転力になる。
式で書くと、T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e  
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
\vec{F^i}\quad (i=1,2,,, n) のもとで、剛体を\vec e軸の右まわりに角度\phiだけ回転させたとき、
これらの力のなす仕事Wは、W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi

この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。

質点系に作用する重力のモーメント

n個の質点系を考える。
第i質点の質量をm_i、位置ベクトルを\vec{r_{i}}とする。
鉛直上方をz軸の正方向とする直交座標系0-xyzをいれる。
この質点系に作用する重力の原点周りのモーメント\vec Nを求めよう。
第i質点に働く重力は、
\vec{f^{i}}=(0,0,-m_{i}g)
なので、
\vec N=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times \vec{f^{i}} =\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times (0,0,-m_{i}g)
=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\vec{r_{i}} \times (0,0,-g)) =(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}}) \times (0,0,-g))
すでに学んだことから、この質点系の重心は、
\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}})}{M}
であった。ここで、 M=\sum_{i=1}^{n}m_{i} 。
これを用いて、モーメントを書きなおすと、
\vec N=M \vec{R} \times (0,0,-g)=\vec{R} \times (0,0,-Mg)
となる。
これは、質点系の重心の位置に質点系の全質量が集中している時の、 原点周りの重力のモーメントに等しい。

回転運動の方程式 

\vec N が、あらゆる回転軸にかんする回転力を表現していることがわかった。
Fと運動量の変化の関係をあたえるニュートンの運動方程式(第2法則)を変形して、
回転力\vec Nにかんする方程式を導こう。
直交右手座標系O-xyz を定める。原点 O は、考察対象に都合のよい点を選ぶ。

剛体をN個の(質点と考えてよい)微小部分P^i(i=1 \cdots N)に分け、
その質量をm_i、位置ベクトルを\vec{r}^i(x_i,y_i,z_i)とする。
P_iが外部から受ける力を\vec {F}^i
P_i が剛体の他の部分P_j(j\neq i) から受ける力(内力)を\vec {F}^{ij}とおく。
後者は、剛体が変形しないよう、剛体の原子間に働かせる力に起因する。
この原子間の力は、原子の電荷による電気力と、
原子同士が接近しすぎたときに作用する量子力学的力により生じる。
作用・反作用の法則(運動の第3法則)から、\vec F^{ij}=-\vec F^{ji} 。
さらに、剛体の2点間に働く内力の方向は、
その2点を結ぶ直線の方向と同じだと、仮定する。

各質点のニュートンの運動方程式  

各質点ごとに、ニュートンの運動方程式を立てると、
m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}=\vec F^i+\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j} \quad (i=1 \cdots N)
これを変形して
\vec F^i=m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j} \quad (i=1 \cdots N) \qquad (1) 
この式から、
\vec F^iの回転力\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^iにかんする式を導こう。

\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^iにかんする式の誘導  

式(1)の両辺に左側から、\vec r^i のベクトル積を施すと、
\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^i =\vec r^i \times (m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j}) (i=1 \cdots N)
ベクトル積の性質3と性質4により、
=m_i\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec r^i \times\vec F^{i,j} \qquad (2)
ここで、ベクトル積の性質8より
\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \frac{d \vec r^i}{dt}) = \frac{d \vec r^i}{dt} \times \frac{d \vec r^i}{dt} +\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2} =\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2}
なので、 \vec N^i=m_i\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \frac{d \vec r^i}{dt}) -\sum_i\vec r^i\times \vec F^{i,j} = \frac{d}{dt}(\vec r^i \times m_i\frac{d \vec r^i}{dt}) -\sum_{j\neq i}\vec r^i\times \vec F^{i,j} \qquad (3)
質点P_iの運動量を\vec P^iと書くと、
P^i=m_i\vec v^i=m_i\frac{d\vec r^i}{dt}なので、
\vec N^i=\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \vec P^i) -\sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j}  
定義;角運動量(運動量のモーメントともいう)
質点の位置ベクトルを\vec r、運動量を\vec pと書くとき、
\vec l=\vec r \times \vec pを,この質点の角運動量と呼ぶ。
これを用いると、
\vec N^i=\frac{d\vec l^i}{dt}-\sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j}

 回転の運動方程式の導出  

故に、
\vec N=\sum_i\vec N^i=\frac{d\sum_i \vec l^i}{dt}-\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j} \qquad (4)
ここで、
\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j}=\sum \sum_{i<j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}+\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j} \qquad (5)
式(4)の右辺の第2項の上付き添え字i,jを、それぞれ、j'と i'でおきかえられるので、
\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j} =\sum \sum_{j'>i'}\vec r^{j'} \times \vec F^{j',i'}
内力は作用反作用の法則が適用できると仮定しているので、
\vec F^{j',i'}=-\vec F^{i',j'} 。この式を上の式の右辺に代入すると、
\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j} =-\sum \sum_{j'>i'}\vec r^{j'} \times \vec F^{i',j'}
この式の右辺の和をとる変数i',j' を i,j におきかえると、
\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}=-\sum \sum_{i<j}\vec r^{j} \times \vec F^{i,j}
この式を、式(5)の右辺の第2項に代入して整頓すると、
\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j} =\sum \sum_{i<j}(\vec r^i - \vec r^{j}) \times \vec F^{i,j}
さらに、内力に関する第2の仮定により、\vec r^i - \vec r^{j} と\vec F^{i,j}は同じ方向なので、ベクトル積の定義より、この項は、零となることが分かる。
故に、式(4)の右辺の第2項は零となり、
\vec N=\frac{d\sum_i \vec l^i}{dt} \qquad (6)
が得られる。全角運動量を\vec L =\sum_i \vec l^i とおけば、
式(6)は、次のように書ける。

命題;回転運動の関するオイラーの運動方程式
剛体の内力に上述の2つの仮定を付ける。このとき、
剛体に作用する全ての外部力の原点周りの力のモーメント\vec N=\sum_i\vec N^i=\sum_i\vec r^i \times \vec F^iと、
全角運動量\vec L =\sum_i \vec l^i =\sum_i \vec r^i \times \vec p^iの間には、
\vec N=\frac{d\vec L}{dt} \qquad (7)

この命題の導出までは詳しく述べたが、本テキストではこれ以上は深入りしない。
この先にも興味がある方は、次の記事をご覧ください。

2014.1.23 構成大幅変更の原稿

固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式

回転運動の運動方程式から、任意の軸の周りの回転運動の方程式が簡単に導出できる。
z軸周りの場合を例にとり、説明する。
z軸周りの回転力はT_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_zなので、
回転運動の方程式から
T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z =\frac{d\vec L}{dt} \cdot \vec e_z
この式の右辺に,L=\sum_i \vec r^i \times \vec p^i を代入すると
右辺
=\frac{d\sum_i \vec r^i \times \vec p^i}{dt}\cdot \vec e_z \qquad 微分の加法性から
=(\sum_i \frac{d \vec r^i \times \vec p^i}{dt})\cdot \vec e_z \qquad 内積の加法性から
=\sum_i(\frac{d \vec r^i \times \vec p^i}{dt}\cdot \vec e_z) \qquad ベクトル積の性質8から
=\sum_i(\frac{dr^i}{dt}\times \vec p^i+\vec r^i \times \frac{d\vec p^i}{dt})\cdot \vec e_z \qquad \vec p^i=m_i\frac{d\vec r^i}{dt} を代入し、ベクトル積の性質を用いると、
=\sum_i(\vec r^i \times \frac{d^2 \vec r^i}{dt^2})\cdot \vec e_z
故に、
T_{\vec e_z}=\sum_i(m_i\vec r^i \times \frac{d^2 \vec r^i}{dt^2})\cdot \vec e_z\qquad (1) 
剛体はz軸の周りを回転するので、
その各点P_i(位置ベクトル\vec r^i=\vec{OP_i})は、
z軸と直交する平面上を、z軸を中心とする円を描いて運動する。
この拘束条件を考慮して、
時刻tの位置ベクトル\vec r^i(t)の座標成分を書きなおすと、
\vec r^i(t)=(x^i,y^i,z^i)=(\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t),z^i) \qquad (2)
ここで\hat{r}_iは、点P_iとz軸との距離、
\theta(t)は、\vec r^i(t)をxy平面に正射影した像がx軸となす角度である。図参照。
剛体につけておいた印P_sの位置ベクトル\vec{OP_s}
xy平面に正射影した像がx軸となす角(回転角)\phiを用いると、
\theta_i(t)=\phi(t)+\phi_i \qquad (3)
\phi_iは、P_iごとに決まる、定数)と書ける。

式(1)の右辺を、式(2)を利用して、変形すると、
=\sum_i m_i\left((\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t),z^i) \times \hat{r}_i(-\cos\theta_i\dot{\theta_i}^2-\sin\theta_i\ddot{\theta_i}, -\sin \theta_i \dot{\theta_i}^2 +\cos \theta_i\ddot{\theta_i}, 0) \right)\cdot \vec e_z  
=\sum_i m_i\hat{r}_i\left((\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t), z^i) \times (-\cos\theta_i\dot{\theta_i}^2-\sin\theta_i\ddot{\theta_i}, -\sin \theta_i \dot{\theta_i}^2 +\cos \theta_i\ddot{\theta_i}, 0) \right)_3
ベクトル積の性質6より、
=\sum_i m_i\hat{r}_i
\left(\hat{r}_i\cos\theta_i(t) (-\sin\theta_i(t)\dot{\theta_i}(t)^2 +\cos\theta_i(t)\ddot{\theta_i}(t)) -\hat{r}_i\sin\theta_i(t) (-\cos\theta_i(t)\dot{\theta_i}(t)^2 -\sin \theta_i(t)\ddot{\theta_i}(t) \right)
=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2\ddot{\theta_i}(t)
ここで、\theta_i(t)=\phi(t)+\phi_iを代入すると
=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)
以上により、
T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z 
=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)
が得られた。 I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2とおくと、この式は
T_{\vec e_z}=I \ddot{\phi}(t) \qquad (4)
と書ける。ここでIを、剛体の軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
これがz軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。
原点を始点とする任意の回転軸\vec{e},\|\vec{e}\|=1まわりの回転の方程式も同様に得られる。

この方程式の変数\phi は、一次元のスカラーなので、
質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式
F=m\ddot{x}
と、対比させる。すると、
質点に作用する力 F  <===> 剛体に作用する回転力T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e
質点の質量 m     <===> 剛体の\vec{e}軸まわりの慣性モーメント
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2\hat{r}_iは質量m_i\vec{e}軸を延長した直線との距離
質点の位置変数 x(t)  <===> 剛体の\vec{e}軸周りの回転角変数\phi(t)
質点の速度 \dot{x}=\frac{dx(t)}{dt} <===>剛体の\vec{e}軸周りの角速度\dot{\phi}(t);
質点の運動量 m\dot{x} <===> 剛体の角運動量I\dot{\phi};

という、対応関係があることが分かる。
この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、
もし\vec N=0 ならば、あらゆる軸まわりの回転力が零なので、
剛体の軸まわりの角速度が一定となることが分かる。

剛体の回転の運動エネルギー  

剛体の各微小部分(質量m_i)の速度を v_iと書くと、
その運動エネルギーは \frac{1}{2}m_i {v_i}^2,(i=1 \cdots n)なので、
剛体全体の運動エネルギーは、K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2
回転運動している各微小部分の速度は、v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}と書けるので、
K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)

物理振り子

剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。
これを物理振り子、あるいは実体振り子という。

水平回転軸をx軸とし、鉛直上方をz軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、
回転軸とこの平面の交点を原点O、重心をGと記す。図参照。
回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。
すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。
そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。
重力の原点周りの力のモーメント\vec Nは、
剛体の重心\vec Rに、剛体の全質量Mがあるとしたときの
重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。 故に、
\vec N=\vec R \times (0,0,-Mg)=(-R_{2}Mg,R_{1}Mg,0)
x軸まわりの力のモーメントは、
\vec N \cdot \vec e_{x}=-R_{2}Mg=-Mg\|\vec{OG}\|\sin\phi
従って、回転の運動方程式は
I\frac{d^{2}\phi}{dt^2}=-Mg\|\vec{OG}\|\sin\phi
ここでIは、軸まわりの、振り子の慣性質量。

慣性モーメントの計算1(一次元の剛体) 

細長い棒Vの、軸まわりの慣性モーメントを具体的に計算しよう。
Vは、ごく細い一様な質量密度のまっすぐな棒とする。
長さをl、質量をMとすると、単位長さ当たりの質量は\rho=M/l

軸は棒と直角で、左端からl_1の場所Oを通るとする。
Oを原点とし、棒と同じ方向の数直線を考え、これを座標系として採用。
V=[a=-{l_1},b=l-l_1]と表現する。
剛体Vの慣性モーメントは、
剛体を質点とみなせるほど細かい部分V_i=[x_{i-1},x_i],(i=1,2,,,n)に分割して、
V_iの質量m_iと、V_iOとの距離\hat{r}_iを用いて、
I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2で定義した。但しx_0=a,x_n=b

慣性モーメントの近似式とリーマン和 

V_iの質量m_iは、V_iの長さx_i-x_{i-1}に質量密度\rhoを掛ければ得られるので
m_i=\rho (x_i-x_{i-1})となり、問題なく定まる。
しかし、剛体V=[a,b]をいくら細かく分割しても、
各小区間V_i=[x_{i-1},x_i]は大きさ(長さ)をもつので、
原点との距離\hat{r}_iは、一つに定まらない。
そこで、各小区間V_iから、代表点\xi_iを選びだし、その点の原点からの距離|\xi_i|、(\xi_i絶対値)を、\hat{r}_iとみなす。
すると、慣性モーメントIの式は
\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2=\sum_i \rho(\xi_i)^2(x_i-x_{i-1})
で近似される。
これは分割の仕方と分割小区間の代表点\xi_iの選び方によって変化する。
そこで、この分割を
\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} と表し、 I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
で,慣性モーメントの近似式を表すことにする。
すると、
分割\Deltaとその小区間V_iから代表点\xi_iを選んだときの

慣性モーメントの近似式は、
I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}\rho(\xi_i)^2(x_i-x_{i-1})
と書ける。
関数y=f(x)=\rho x^2を使って表現すれば、
I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
数学の分野では、この和の式は、
分割\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} V_iの代表点\xi_i,(i=1,2,,,n)に関する関数y=f(x)リーマン和と呼ばれ、
I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
と表示する。
関数y=f(x)は任意にきめられるので、どの関数のリーマン和か分かるように、明示してある。


慣性モーメントの近似式の意味 

今後、関数y=f(x)は、V=[a,b]で定義された有界関数として、 議論を進める。
有界関数とは、十分大きな正数Mを選べば、
V=[a,b]の全ての点xに対して、|f(x)| \leq Mとなること。
y=f(x)=\rho x^2を代入すれば、考察対象の剛体の慣性モーメントの話になる。
リーマン和
I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
は、y=f(x)のグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=ax=bで囲まれる部分の面積を近似している。
分割を限りなく細かくしていくとき、この値が分割や代表点の選び方に関係ない数に収束するならば、 その極限値は、y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=ax=bで囲まれる部分の面積と考えられる。

可積分条件

この節は、区間上で定義された関数の 積分可能な条件を紹介する。
大学の教養コース程度の数学を使うが、テキスト中で理解できるように説明する。
興味のない方は、とばしてください。

(1)準備;集合論の初歩

集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係などについて学習してほしい。

(2)区間上の関数のリーマン和
定義;リーマン和
区間V=[a,b]で定義され、実数に値をとる関数y=f(x)を考える。
この区間の分割
\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\},x_0=a,x_n=b
と、その代表点\xi_i\in V_i(i=1,2,,,n)に関する、y=f(x)のリーマン和とは、 I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=
\sum_i f(\xi_i)v(V_i)=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
で定義する。
リーマン和は、y=f(x)のグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=ax=bで囲まれる部分の面積を近似している。


(3)リーマン和の不足リーマン和と過剰リーマン和による評価
Vを分割して得られた小区間V_i=[x_{i-1},x_i]を考える。
関数y=f(x)をこの小区間上に限定した時、
関数は、この区間上の点で最大値と最小値をとると仮定する(注参照)。
関数の最大値max\{f(x)\mid x\in V_i\}と最小値min\{f(x)\mid x\in V_i\}を、それぞれ、m(f;V_i),M(f;V_i)と書く。
(注) 区間上で最大値、最小値を取らない関数では、
有界な関数でありさえすれば、常に存在し、しかも最大値、最小値と殆ど同じ性質をもつ、
上限、下限に置き換えれば以後の、議論は成り立つ。上限、下限については「(5)不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限」で説明する。

すると、V_iの任意の点\xi に対して、
m(f;V_i)\leq f(\xi) \leq M(f;V_i)  
故に、
補題1
ⅰ)どのような代表点\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)に対しても
I_{m}(f,\Delta):=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^m,,,\xi_{n}^m) =\sum_i m(f;V_i)v(V_i)
\leq I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_i f(\xi_i)v(V_i)
\leq \sum_i M(f;V_i)v(V_i) =I_{M}(f,\Delta)=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M)  \qquad (1)
そこで、I_{m}(f,\Delta)\Delta)に関するf不足リーマン和I_{M}(\Delta)過剰リーマン和と呼ぶ。
ⅱ)I_{m}(f,\Delta)=\min_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M) 
I_{M}(f,\Delta)=\max_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M) 
証明は明らかなので省略。

(4)分割の細分とリーマン和の評価式
定義;分割の細分
Vの分割{\Delta}'が分割\Deltaの細分というのは、
\Deltaの分点の集合\{x_0,x_1,,,,x_n\}が、
{\Delta}'の分点の集合\{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}に真に含まれることと定義する。
記号でかけば、\{x_0,x_1,,,,x_n\}\subset \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}, \{x_0,x_1,,,,x_n\}\neq \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}。 記号では、\Delta \leq {\Delta}'と記す。


補題2
\Delta \leq {\Delta}'という分割に対し、
I_{m}(f,\Delta) \leq I_{m}(f,\Delta') \leq I_{M}(f,\Delta') \leq I_{M}(f,\Delta) \qquad (2)
が成り立つ。
(証明)
\Deltaの小区間V_i=[x_{i-1},x_i]が分割{\Delta}'では、
\{V'_j=[x_{i-1},x'_j],V'_{j+1}=[x'_j,x_i]\}の2つに分割されたとする。

すると、区間上の関数の最大値と最小値の定義から、
m(f;V_i) \leq m(f;V'_j) \quad m(f;V_i) \leq m(f;V'_{j+1})
M(f;V_i) \geq M(f;V'_j) \quad M(f;V_i) \geq M(f;V'_{j+1})
これらから、命題は成立することが分かる。

(5)不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限 補題2から、分割の細分を繰り返していくと、その分割に対応する、
不足リーマン和は、広義増加(増加するか、同じ値にとどまる)し、
過剰リーマン和は、広義減少する。
分割を細かくしていったとき、これらの極限が一致すれば、補題1から、
リーマン和の極限値は、代表点に無関係に、定まることになる。

そこで色々な分割に対応する不足リーマン和のなかの最大値と過剰リーマン和の最小値を求めることが、重要になる。しかし一般にはこれらは存在しないことが示せる。
そこで最大値に近い性質を持つ上限と最小値に近い下限という概念を利用する。
定義;上界と下界
{\bf R}を、全ての実数を要素とする集合とし、
Aをその部分集合とする。
実数uAの上界(upper bound)とは、
任意のa \in Aに対して、a \leq uがなりたつこと。
実数lAの下界(lower bound)とは、
任意のa \in Aに対して、l \leq aがなりたつこと。
U_AAの上界をすべて集めた集合、
L_AAの上界をすべて集めた集合とする。
U_Aが空集合\emptysetでない(すなわち、Aの上界が少なくとも一つ存在する)とき、
A上に有界であるといい、
L_A\neq \emptysetの時、A下に有界であるという。
上に有界で、下にも有界な集合(\subset {\bf R})は、有界という。

実数の連続の公理
以下の性質は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、実数の持つ最も重要な性質の一つである。
A \subset {\bf R}とする。
もし、U_A \neq \emptysetならば、U_Aは、最小元を持つ。
これをA上限(supremum)あるいは最小上界(least upper bound)という。
もし、L_A \neq \emptysetならば、L_Aは、最大元を持つ。
これをA下限(infimum)あるいは最大下界(greatest lower bound)というという。

補題3
uA(\subset {\bf R}) の上限となるための必要十分条件は、
ⅰ)uAの上界。すなわち任意のa\in Aにたいしてa \leq u   
ⅱ)x<uである任意のxAの上界ではない。すなわち、x<aとなるa\in Aが存在。
ⅲ)Aが最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。
同様に、lA の下限となるための必要十分条件は、
ⅰ)lAの下界。すなわち任意のa\in Aにたいしてl\leq a   
ⅱ)l<xである任意のxAの下界ではない。すなわち、a<xとなるa\in Aが存在。
ⅲ)Aが最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。

A の上限を\sup A、下限を\inf Aと書く。

証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。
例;A=(0,1)のとき、\sup A=1,\inf A=0
これらは、ともにAの要素でないので、
上限1はAの最大元(最大値)ではなく、下限0はAの最小元(最小値)ではない。
A=[0,1]のとき、\sup A=1,\inf A=0
これらは、ともにAの要素なので、
上限は最大限であり、下限は最小限となる。

補題4. A \subset B \subset {\bf R}で、Bは有界集合とする。
このとき、\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B
証明は容易である。

関数y=f(x)が連続でない時は、区間上で最大値や最小値を取らないことがある。 この場合も考慮して、最大値を上限に、最小値を下限に置き換えて、m(f;V_i)=\inf\{f(x)\mid x\in V_i\},M(f;V_i)=\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}で定義すれば、 有界関数に対して、これらは常に定義され、今までの議論はすべて成り立つ。


2つの分割の共通の細分
分割\Deltaの分点の集合\{x_j \mid j=1,2,,,m\}と、
分割{\Delta}' の分点の集合\{x'_j \mid j=1,2,,,n\}
和集合\{x_j \mid j=1,2,,,m\} \cup \{x'_j \mid j=1,2,,,n\}を分点とする分割を\Delta \vee {\Delta}'と書く。
すると新しい分割は
\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}' \qquad  と {\Delta}' \leq \Delta\vee {\Delta}' \quad
を満たす。
これを用いると、不足リーマン和の上限\mathscr{s}(f)と過剰リーマン和の下限\mathscr{S}(f)が存在することが証明できる。

補題5
fを区間V=[a,b]で定義され実数値をとる有界関数(すなわち、\{f(x)\mid x\in V\}{\bf R}の有界集合)とする。
V=[a,b]の分割を全て集めて作った集合を\mathscr{D}(V)と書く。
すると、
ⅰ)任意の\Delta,{\Delta}'\in \mathscr{D}(V)に対して、 I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')
ⅱ)集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は上に有界、
集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は下に有界
ⅲ)\mathscr{s}(f):=\sup\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}
\mathscr{S}(f):=\inf\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は存在し、
\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f) 
証明;
ⅰ)\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}' なので、補題2から、
I_m(f,\Delta) \leq I_m(f,\Delta\vee {\Delta}')  \leq I_M(f,\Delta\vee {\Delta}')  \leq I_M(f,{\Delta}')
ⅱ)1)で証明した不等式で、分割{\Delta}' は固定する。
すると全ての分割 \Deltaに対して、I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')なので
集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は、上界I_M(f,{\Delta)}')を持ち、上に有界である。
後者も同様にして下に有界であることが示せる。
ⅲ)従って、実数の連続性の公理から、
集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は上限\mathscr{s}(f)をもち、
集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は下限\mathscr{S}(f)をもつ。
上限は、上界の中の最小値なので、
\mathscr{s}(f)\leq I_M(f,{\Delta}')
この式は任意の{\Delta}'について成立するので、
\mathscr{s}(f)は、集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}の下界である。
下限\mathscr{S}(f)は、下界のなかの最大値なので\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f)を得る。


(6)分割を細かくしていくと不足リーマン和はその上限\mathscr{s}に、過剰リーマン和はその下限\mathscr{S}に収束する
この命題を正確に述べるには、 まず、分割\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\}の大きさを、きちんと定める必要がある。
定義;\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\}の大きさd(\Delta)とは、
この分割で得られた小区間の長さの、最大値で定義する。記号で書くと
d(\Delta)=max\{x_{i}-x_{i-1} \mid i=1,2,,,n\}

定理(ダルブー;Darboux)
V=[a,b]
fを、Vで定義され、実数に値を取る有界関数とする。
このとき、
ⅰ)\lim_{d(\Delta) \to 0}I_m(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)
ⅱ)\lim_{d(\Delta) \to 0}I_M(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)
証明;
ⅰ)を示す。ⅱ)は同じようにして証明できるので略す。
これを示すには、どんなに小さい正の実数\epsilonに対しても、それに応じた、小さい正の実数\delta_{\epsilon}を適切に選べば、分割の大きさが\delta_{\epsilon}より小さい、どんな分割\Deltaも、\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)<\epsilonであることを示せばよい。以下に、数段階に分けて、これを証明する。

\quad 1) 上限の性質(補題3)から、
ある分割
D=\{{V^D}_i=[{x^D}_{i-1},{x^D}_i] \mid i=1,2,,,n\}in \mathscr{D}(V)
が存在して、
\mathscr{s}(f)-I_m(f,D)<\frac{\epsilon}{2} \qquad (1)
今後このDを使って、証明を進める。

\quad 2)
分割Dの小区間{V^D}_iの長さ({x^D}_i-{x^D}_{i-1})(i=1,2,,,n)の 最小値をeとおくと
e=min_{i=1}^{n}({x^D}_i-{x^D}_{i-1})
eに比べて非常に小さい大きさを持つ分割、
\Delta=\{V^{\Delta}_i=[{x^{\Delta}}_{i-1},{x^{\Delta}}_i] \mid i=1,2,,,N\}
d(\Delta)=max_{i=1,2,,,N}({x^{\Delta}}_i-{x^{\Delta}}_{i-1}) \ll e

を考える。
もし、D \leq \Deltaならば補題2より、I_m(f,D) \leq I_m(f,\Delta)
すると\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)\leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D) \leq \frac{\epsilon}{2}\leq \epsilon 
通常、分割\Deltaは、Dの細分になっていない。
この場合は、いくつか(高々n-1個)の\Deltaの小区間が、Dの小区間には含まれず、
Dの分点{x^D}_i(i=1,2,,,n-1)をまたぐことになる。図参照のこと。
議論を簡単にするため、Dの分点{x^D}_i(i=1,2,,,n-1)が全て、\Deltaの小区間によって跨がれていると仮定し、議論を進める。
他のケースでも、証明はおなじようにできるので、このように仮定しても何の問題も起こらない。
Dの分点{x^D}_iを跨ぐ\Deltaの小区間をV^{\Delta}_{m_i}とする(i=1,2,,,n-1)。
\quad 3)
2つの分割D、\Deltaから{\Delta}':=D \vee \Deltaを作る。
すると
{\Delta}'=\{V^{\Delta}_1,V^{\Delta}_2,,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{1}-1},
\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{1}-1},x^{D}_1],[x^{D}_1,x^{\Delta}_{m_{1}}],
\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{1}+1},V^{\Delta}_{m_{1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{2}-1},
\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{2}-1},x^{D}_2],[x^{D}_2,x^{\Delta}_{m_{2}}],
\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{2}+1},V^{\Delta}_{m_{2}+2},,,V^{\Delta}_{m_{3}-1},

\qquad \quad ,,,,,,,,,

\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{n-1}+1},V^{\Delta}_{m_{n-1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_N\} \qquad (2)
と書ける。

\Delta \leq {\Delta}'で、 D \leq {\Delta}' なので、
I_m(f,\Delta) \leq I_m(f,{\Delta}'), \quad I_m(f,D) \leq I_m(f,{\Delta}')
後者の式から、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}') \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D)
この式と(1)式から、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')<\frac{\epsilon}{2}
そこで、
d(\Delta) \to 0 ならば、I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)<\frac{\epsilon}{2}
が示せれば、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)
=(\mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')+(I_m(f,{\Delta}'-I_m(f,\Delta)\leq \epsilon
が示され、証明が終わる。
\quad 4)
I_{m}(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{N} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i) であり、
(2)式から、
I_m(f,{\Delta}')
=\sum_{i\notin \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])
なので、
I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)
=\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])
-\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)
関数はV上で有界なので、適切に正の実数Mを選ぶと、xVの要素ならば
|f(x)|\leq Mが成立する。
すると|m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])|, |m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])| \leq M
が成り立つ。また
v(V^{\Delta}_{m_k}) =v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])+v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])で、
v(V^{\Delta}_i)\leq d(\Delta)
なので
|I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq 2M\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} v(V^{\Delta}_i)\leq 2M(n-1)d(\Delta)
そこで、
\delta_{\epsilon}=\frac{\epsilon}{4Mn} と選べば、
d(\Delta)\leq \delta_{\epsilon}をみたすどのような分割\Deltaも、
0\leq I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq \frac{\epsilon}{2}
を満たすことが証明できた。証明終わり。


  (7)可積分条件
定理;可積分条件 
V=[a,b]
fを、Vで定義され、実数に値を取る有界関数とする。
次の条件のうち1つが成立すれば、残り2つは成立する(互いに同値という)。 ⅰ)fV上で(リーマン)可積分
ⅱ)\lim_{d(\Delta) \to 0}(I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta))=0
ⅲ)\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)

証明
ⅰ)を仮定する。ⅱ)が成立することを示そう。
fの積分値を\alphaとおくと、可積分の定義から、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\deltaである任意の分割と、その分割の任意の代表点\xi_i,(i=1,2,,,)に対し,
|I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)-\alpha |<\frac{1}{2}\epsilon
が成立する。
変形すると
\alpha-\frac{1}{2}\epsilon <I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) <\alpha+\frac{1}{2}\epsilon \qquad (1)  
ここで、補題1のⅱ)から、
\inf_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{m}(f,\Delta)
\sup_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{M}(f,\Delta)
なので、
(1)式から、
\alpha-\frac{1}{2}\epsilon \leq I_{m}(f,\Delta) \leq I_{M}(f,\Delta) \leq \alpha+\frac{1}{2}\epsilon
これより、任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\delta \implies (0\leq I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)\leq \epsilon)
ⅱ)が示せた。
ⅱ)を仮定する。 ⅲ)が成り立つことを示す。

I_{m}(f,\Delta) \leq \mathscr{s}(f):=\sup_{\Delta}I_{m}(f,\Delta) \leq \mathscr{S}(f):=\inf_{\Delta}I_{M}(f,\Delta) \leq I_{M}(f,\Delta)
なので、
0 \leq \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f) \leq I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)
故に、分割を細かくしていき、極限をとると、
0 \leq \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f) \leq \lim_{d(\Delta)\to 0}(I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta))
ⅱ)が成立するので、
=0
ⅲ)が示せた。
ⅲ)を仮定する。 \alpha=\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)とおく。
ⅰ)が成り立つことを示そう。
補題1のⅰ)から、どのような分割\Deltaと、その代表点\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)に対しても
I_{m}(f,\Delta) \leq I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) \leq I_{M}(f,\Delta)
ここで、ダルブーの定理から、
\lim_{d(\Delta) \to 0}I_{m}(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)=\alpha,
\lim_{d(\Delta) \to 0}I_{M}(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)=\alpha
が成り立つので、
\lim_{d(\Delta) \to 0}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\alpha 
が成り立つ。
ⅰ)が示せた。

  (8)有限個の点を除いて連続な閉区間上の関数は積分可能
色々な関数のグラフを書くとつながっているところを、跳んでいるところが出来る。
y=Xのグラフはずっとつながっている。
x<0のとき y=0, 0\leq xのとき y=1 で関数を定義すると、x=0のところで そのグラフは跳んでいる。
連続や不連続は関数の非常に重要な性質であり、それを調べることはとても豊かな知識をもたらす。
しかし正確に議論するには、連続とは何かをきちんと定義する必要がある。
関数の連続性の定義;

実数値関数 f(x) がある点 x_0で連続であるとは、
xx_0 に限りなく近づくならば、f(x)f(x_0) に限りなく近づくことを言う。\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)と記す。

これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。
(小さな)正の数 ε が任意に与えられたとき、
(小さな)正の数 δ をうまくとってやれば、
x_0 と δ 以内の距離にあるどんな x に対しても、
f(x)f(x) の差が ε より小さいようにすることができる。

関数 f(x) がある区間I で連続であるとは、
I に属するそれぞれの点において連続であることを言う。

定理 
有界閉区間上V=[a,b]で定義され、実数に値を取る連続関数fは、V上で可積分である。
略証;
有界閉区間上の連続関数は一様連続なので、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
|x-x'|\leq \deltaを満たすVの任意の2点に対して、
|f(x)-f(x')|< \frac{\epsilon}{b-a}
が成立する。
V=[a,b]の分割\Deltaを細かくして、
d(\Delta)<\delta
を満たすようにする。
すると、その分割によって得られた小区間V_i(i=1,2,,,n)の長さは、
全て\deltaより小さくなるので、
\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}-\inf\{f(x)\mid x\in V_i\}<\frac{\epsilon}{b-a}
M(f;V_i),m(f;V_i)の定義から
M(f;V_i)-m(f;V_i)<\frac{\epsilon}{b-a}, (i=1,2,,,n) これを用いると、
I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{n} M(f;V_i)v(V_i)-\sum_i m(f;V_i)v(V_i)
=\sum_i(M(f;V_i)- m(f;V_i))v(V_i) \leq \sum_i \frac{\epsilon}{b-a}v(V_i) =\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^{n}v(V_i) =\frac{\epsilon}{b-a}(b-a) =\epsilon
故に、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\deltaを満たす任意の分割\Deltaにたいして、
I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)\leq \epsilonが示せた。
\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)
なので
\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq \epsilon
が任意の\epsilon>0にたいして成立する。故に
\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)
可積分条件のⅲ)が示せた。証明終わり。

定理の系;有限個の不連続点をもつ、有界閉区間上の関数は積分可能である。

 積分の性質 

定理(積分の線形性)
f, g \quadを、区間I上で定義された、任意の実数値関数であり、
c, d \quadを任意の実数とする。
このとき、
(1)f,\quad g \quadI上で可積分ならば、cf+dg \quadI上で可積分
(2)このとき、 \int_{I}(cf+dg)=c\int_{I}f+d\int_{I}g

証明;リーマン和の定義から、区間Iの任意の分割\Delta=\{I_1,,,,I_n\} と 分割区間の任意の代表点\xi\in V_i(i=1,2,,,,n) (\xiV_iに含まれる意)に対して、
S(cf+dg,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) =cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) +dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) \qquad (1)
f,\quad g \quadは可積分なので、その定義から、
\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}f
\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}g
(1)式の両辺の極限\lim_{d(\Delta) \to 0} をとろう。
右辺の極限
=\lim_{d(\Delta) \to 0} \left(cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) +dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}\right)
極限の性質から、
=c\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) +d\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}
=c\int_{I}f+d\int_{I}g
従って(1)式の左辺の極限 \int_{I}(cf+dg) も存在して、右辺の極限と一致する。 証明終わり。

慣性モーメントの計算(1)リーマン和の極限を求める方法

Vは、先述の、ごく細い一様な質量密度\rho=M/lのまっすぐな棒で、
座標系を入れて、V=[a=-{l_1},b=l-l_1]と表現しておく。
原点を通りこの棒と直交する軸のまわりの(この棒の)慣性モーメントを、
リーマン和の極限を取って求めよう。
区間V=[-{l_1},l-l_1]をn等分して得られる点列,
{x^n }_0=-l_1, {x^n }_1={-l_1}+l/n, {x^n }_i={-l_1}+i(l/n),,,{x^n }_n=l-{l_1}
を分点とする分割を{\Delta}^nと記す。すると、
{x^n }_i-{x^n }_{i-1}=l/n,\quad(i=1,2,,,n), d({\Delta}^n)=l/nであり、
{\Delta}^n=\{{V^n}_j=[{x^n}_{j-1},{x^n}_j] \mid j=1,2,,,n\}  
\{{\Delta}^n \mid n=2,,,,n\}という分割の列は、\lim_{n\to\infty} d({\Delta}^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{l}{n}=0を満たす。
y=f(x)=\rho x^2がリーマン可積分であることを認めれば、
可積分の定義から、どんな代表点{{\xi}^n}_j\in {V^n}_jを選んでも、
\lim_{n\to \infty}I^{{\Delta}^n}({{\xi}^n}_1,{{\xi}^n}_2,,,{{\xi}^n}_n)=Iとなる。

そこで、代表点を{{\xi}^n}_j={x^n}_j=-l_1+j(l/n) \quad (n=2,,,),(j=1,2,,,,n)と選ぶ。
関数y=f(x)=\rho x^2を用いると、 分割\Delta^nを用いた慣性モーメントの近似値は次のようになる。
I^{{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n) =\sum_j f({x^n}_j)1/n =\sum_j f(-{l_1}+j(1/n))\frac{l}{n} =\rho\sum_{j=1}^{n} (-{l_1}+j(1/n))^2\frac{l}{n}
ここで、 \sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1),\quad \sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(注参照)を利用して、この式を計算すると、
=\rho l ({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})
\rho=M/lなので、
=M({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})
故に、
I=\lim_{n\to \infty}I^{{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n) =\frac{M}{3}(l^2-3{l_1}l+3{l_1}^2)

(注)S_{1}:=\sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1)の証明
(j+1)^{2}-j^{2}=2i+1 なので、両辺のj=1,2,,,n に関する和を取る。
左辺の和は\sum_{j=1}^{n}((j+1)^{2}-j^{2})=(n+1)^{2}-1
右辺の和は\sum_{j=1}^{n}(2j+1)=2\sum_{j=1}^{n}j+n=2S_{1}+n
故に、(n+1)^{2}-1=2S_{1}+n (n+1)^{2}-1-n=2S_{1} S_{1}=\frac{1}{2}\left((n+1)^{2}-1-n\right)=\frac{1}{2}n(n+1)
S_{2}:=\sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)の略証
(j+1)^{3}-j^{3}=3j^2+3j+1なので、この両辺のj=1,2,,,nに関する和を取る。
左辺の和は(n+1)^{3}-1、右辺の和は3S_{2}+3S_{1}+n,故に3S_{2}+3S_{1}+n=(n+1)^{3}-1


慣性モーメントの計算(2)原始関数を利用する方法

積分可能な関数の積分をリーマン和の極限から求める計算は煩雑であり、複雑な形状の剛体の慣性モーメントを求めるにはふさわしくない。
次の定理が強力な計算法を提供する。

定理
V=[a,b]を数直線上の区間、
fV上可積分な実数値関数
とする。
もしFが、
V上で微分可能で
全てのVの点xで、\frac{d}{dx}F(x)=f(x)
を満たす関数ならば(注参照)、
\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)
上記の条件を満たす関数Fを、f原始関数という。

(注)関数Fは、V上でしか定義されていないので、
端点a,bでは、通常の微分は定義できない。そこで、
\frac{d}{dx}F(a):=\lim_{h \to 0,h\geq 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}
\frac{d}{dx}F(b):=\lim_{h \to 0,h\leq 0}\frac{F(b+h)-F(b)}{h}
と定義する。
証明;
区間[a,b]の任意の分割
\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i]\mid 1 \leq i \leq n,x_0=a,x_n=b\}
に対して、
代表点を\xi_i\in V_i(\xi_iV_iの点の意)とすると、 fのリーマン和は
I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
小区間V_i=[x_{i-1},x_i]での関数Fの平均勾配
\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}
は、平均値の定理により、
V_i=[x_{i-1},x_i]の中のある一点\eta_iにおけるy=F(x)の接線の勾配
\frac{d}{dt}F(\eta_i)に等しので、
\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=\frac{d}{dt}F(\eta_i)=f(\eta_i)
故に、f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1})
そこで、各小区間V_iの代表点を\eta_i,(i=1,2,,,n)と選べば、
I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)
=\sum_i f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})
=\sum_{i=1}^{n}\left(F(x_i)-F(x_{i-1})\right)
=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)
fは可積分なので、 \int_{[a,b]}f=\lim_{d(\Delta)\to 0}I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)
=\lim_{d(\Delta)\to 0}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a)
証明終わり。

さて、慣性モーメントを求めたい剛体では、
f(x)=\rho x^2なので、その原始関数は、
F(x)=\frac{1}{3}\rho x^3
従って、慣性モーメントは、定理を適用して、
I=\int_{[a,b]}\rho x^2=\frac{1}{3}\rho (b^3-a^3)
\rho=M/l,a=-l_1,b=l-l_1を代入して、整頓すると、
=\frac{M}{3}(l^2-3l_{1}l+3{l_1}^2)


可積分条件

この節は、区間上で定義された関数の 積分可能な条件を紹介する。
大学の教養コース程度の数学を使うが、テキスト中で理解できるように説明する。
興味のない方は、とばしてください。

(1)準備;集合論の初歩

集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係などについて学習してほしい。

(2)区間上の関数のリーマン和
定義;リーマン和
区間V=[a,b]で定義され、実数に値をとる関数y=f(x)を考える。
この区間の分割
\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\},x_0=a,x_n=b
と、その代表点\xi_i\in V_i(i=1,2,,,n)に関する、y=f(x)のリーマン和とは、 I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=
\sum_i f(\xi_i)v(V_i)=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
で定義する。
リーマン和は、y=f(x)のグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
y=f(x)のグラフとx軸およびy軸と平行な直線x=ax=bで囲まれる部分の面積を近似している。


(3)リーマン和の不足リーマン和と過剰リーマン和による評価
Vを分割して得られた小区間V_i=[x_{i-1},x_i]を考える。
関数y=f(x)をこの小区間上に限定した時、
関数は、この区間上の点で最大値と最小値をとると仮定する(注参照)。
関数の最大値max\{f(x)\mid x\in V_i\}と最小値min\{f(x)\mid x\in V_i\}を、それぞれ、m(f;V_i),M(f;V_i)と書く。
(注) 区間上で最大値、最小値を取らない関数では、
有界な関数でありさえすれば、常に存在し、しかも最大値、最小値と殆ど同じ性質をもつ、
上限、下限に置き換えれば以後の、議論は成り立つ。上限、下限については「(5)不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限」で説明する。

すると、V_iの任意の点\xi に対して、
m(f;V_i)\leq f(\xi) \leq M(f;V_i)  
故に、
補題1
ⅰ)どのような代表点\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)に対しても
I_{m}(f,\Delta):=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^m,,,\xi_{n}^m) =\sum_i m(f;V_i)v(V_i)
\leq I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_i f(\xi_i)v(V_i)
\leq \sum_i M(f;V_i)v(V_i) =I_{M}(f,\Delta)=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M)  \qquad (1)
そこで、I_{m}(f,\Delta)\Delta)に関するf不足リーマン和I_{M}(\Delta)過剰リーマン和と呼ぶ。
ⅱ)I_{m}(f,\Delta)=\min_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M)  I_{M}(f,\Delta)=\max_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M) 
証明は明らかなので省略。

(4)分割の細分とリーマン和の評価式
定義;分割の細分
Vの分割{\Delta}'が分割\Deltaの細分というのは、
\Deltaの分点の集合\{x_0,x_1,,,,x_n\}が、
{\Delta}'の分点の集合\{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}に真に含まれることと定義する。
記号でかけば、\{x_0,x_1,,,,x_n\}\subset \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}, \{x_0,x_1,,,,x_n\}\neq \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}。 記号では、\Delta \leq {\Delta}'と記す。


補題2
\Delta \leq {\Delta}'という分割に対し、
I_{m}(f,\Delta) \leq I_{m}(f,\Delta') \leq I_{M}(f,\Delta') \leq I_{M}(f,\Delta) \qquad (2)
が成り立つ。
(証明)
\Deltaの小区間V_i=[x_{i-1},x_i]が分割{\Delta}'では、
\{V'_j=[x_{i-1},x'_j],V'_{j+1}=[x'_j,x_i]\}の2つに分割されたとする。

すると、区間上の関数の最大値と最小値の定義から、
m(f;V_i) \leq m(f;V'_j) \quad m(f;V_i) \leq m(f;V'_{j+1})
M(f;V_i) \geq M(f;V'_j) \quad M(f;V_i) \geq M(f;V'_{j+1})
これらから、命題は成立することが分かる。

(5)不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限 補題2から、分割の細分を繰り返していくと、その分割に対応する、
不足リーマン和は、広義増加(増加するか、同じ値にとどまる)し、
過剰リーマン和は、広義減少する。
分割を細かくしていったとき、これらの極限が一致すれば、補題1から、
リーマン和の極限値は、代表点に無関係に、定まることになる。

そこで色々な分割に対応する不足リーマン和のなかの最大値と過剰リーマン和の最小値を求めることが、重要になる。しかし一般にはこれらは存在しないことが示せる。
そこで最大値に近い性質を持つ上限と最小値に近い下限という概念を利用する。
定義;上界と下界
{\bf R}を、全ての実数を要素とする集合とし、
Aをその部分集合とする。
実数uAの上界(upper bound)とは、
任意のa \in Aに対して、a \leq uがなりたつこと。
実数lAの下界(lower bound)とは、
任意のa \in Aに対して、l \leq aがなりたつこと。
U_AAの上界をすべて集めた集合、
L_AAの上界をすべて集めた集合とする。
U_Aが空集合\emptysetでない(すなわち、Aの上界が少なくとも一つ存在する)とき、
A上に有界であるといい、
L_A\neq \emptysetの時、A下に有界であるという。
上に有界で、下にも有界な集合(\subset {\bf R})は、有界という。

実数の連続の公理
以下の性質は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、実数の持つ最も重要な性質の一つである。
A \subset {\bf R}とする。
もし、U_A \neq \emptysetならば、U_Aは、最小元を持つ。
これをA上限(supremum)あるいは最小上界(least upper bound)という。
もし、L_A \neq \emptysetならば、L_Aは、最大元を持つ。
これをA下限(infimum)あるいは最大下界(greatest lower bound)というという。

補題3
uA(\subset {\bf R}) の上限となるための必要十分条件は、
ⅰ)uAの上界。すなわち任意のa\in Aにたいしてa \leq u   
ⅱ)x<uである任意のxAの上界ではない。すなわち、x<aとなるa\in Aが存在。
ⅲ)Aが最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。
同様に、lA の下限となるための必要十分条件は、
ⅰ)lAの下界。すなわち任意のa\in Aにたいしてl\leq a   
ⅱ)l<xである任意のxAの下界ではない。すなわち、a<xとなるa\in Aが存在。
ⅲ)Aが最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。

A の上限を\sup A、下限を\inf Aと書く。

証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。
例;A=(0,1)のとき、\sup A=1,\inf A=0
これらは、ともにAの要素でないので、
上限1はAの最大元(最大値)ではなく、下限0はAの最小元(最小値)ではない。
A=[0,1]のとき、\sup A=1,\inf A=0
これらは、ともにAの要素なので、
上限は最大限であり、下限は最小限となる。

補題4. A \subset B \subset {\bf R}で、Bは有界集合とする。
このとき、\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B
証明は容易である。

関数y=f(x)が連続でない時は、区間上で最大値や最小値を取らないことがある。 この場合も考慮して、最大値を上限に、最小値を下限に置き換えて、m(f;V_i)=\inf\{f(x)\mid x\in V_i\},M(f;V_i)=\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}で定義すれば、 有界関数に対して、これらは常に定義され、今までの議論はすべて成り立つ。


2つの分割の共通の細分
分割\Deltaの分点の集合\{x_j \mid j=1,2,,,m\}と、
分割{\Delta}' の分点の集合\{x'_j \mid j=1,2,,,n\}
和集合\{x_j \mid j=1,2,,,m\} \cup \{x'_j \mid j=1,2,,,n\}を分点とする分割を\Delta \vee {\Delta}'と書く。
すると新しい分割は
\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}' \qquad  と {\Delta}' \leq \Delta\vee {\Delta}' \quad
を満たす。
これを用いると、不足リーマン和の上限\mathscr{s}(f)と過剰リーマン和の下限\mathscr{S}(f)が存在することが証明できる。

補題5
fを区間V=[a,b]で定義され実数値をとる有界関数(すなわち、\{f(x)\mid x\in V\}{\bf R}の有界集合)とする。
V=[a,b]の分割を全て集めて作った集合を\mathscr{D}(V)と書く。
すると、
ⅰ)任意の\Delta,{\Delta}'\in \mathscr{D}(V)に対して、 I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')
ⅱ)集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は上に有界、
集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は下に有界
ⅲ)\mathscr{s}(f):=\sup\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}
\mathscr{S}(f):=\inf\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は存在し、
\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f) 
証明;
ⅰ)\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}' なので、補題2から、
I_m(f,\Delta) \leq I_m(f,\Delta\vee {\Delta}')  \leq I_M(f,\Delta\vee {\Delta}')  \leq I_M(f,{\Delta}')
ⅱ)1)で証明した不等式で、分割{\Delta}' は固定する。
すると全ての分割 \Deltaに対して、I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')なので
集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は、上界I_M(f,{\Delta)}')を持ち、上に有界である。
後者も同様にして下に有界であることが示せる。
ⅲ)従って、実数の連続性の公理から、
集合\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は上限\mathscr{s}(f)をもち、
集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}は下限\mathscr{S}(f)をもつ。
上限は、上界の中の最小値なので、
\mathscr{s}(f)\leq I_M(f,{\Delta}')
この式は任意の{\Delta}'について成立するので、
\mathscr{s}(f)は、集合\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}の下界である。
下限\mathscr{S}(f)は、下界のなかの最大値なので\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f)を得る。


(6)分割を細かくしていくと不足リーマン和はその上限\mathscr{s}に、過剰リーマン和はその下限\mathscr{S}に収束する
この命題を正確に述べるには、 まず、分割\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\}の大きさを、きちんと定める必要がある。
定義;\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\}の大きさd(\Delta)とは、
この分割で得られた小区間の長さの、最大値で定義する。記号で書くと
d(\Delta)=max\{x_{i}-x_{i-1} \mid i=1,2,,,n\}

定理(ダルブー;Darboux)
V=[a,b]
fを、Vで定義され、実数に値を取る有界関数とする。
このとき、
ⅰ)\lim_{d(\Delta) \to 0}I_m(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)
ⅱ)\lim_{d(\Delta) \to 0}I_M(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)
証明;
ⅰ)を示す。ⅱ)は同じようにして証明できるので略す。
これを示すには、どんなに小さい正の実数\epsilonに対しても、それに応じた、小さい正の実数\delta_{\epsilon}を適切に選べば、分割の大きさが\delta_{\epsilon}より小さい、どんな分割\Deltaも、\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)<\epsilonであることを示せばよい。以下に、数段階に分けて、これを証明する。

\quad 1) 上限の性質(補題3)から、
ある分割
D=\{{V^D}_i=[{x^D}_{i-1},{x^D}_i] \mid i=1,2,,,n\}in \mathscr{D}(V)
が存在して、
\mathscr{s}(f)-I_m(f,D)<\frac{\epsilon}{2} \qquad (1)
今後このDを使って、証明を進める。

\quad 2)
分割Dの小区間{V^D}_iの長さ({x^D}_i-{x^D}_{i-1})(i=1,2,,,n)の 最小値をeとおくと
e=min_{i=1}^{n}({x^D}_i-{x^D}_{i-1})
eに比べて非常に小さい大きさを持つ分割、
\Delta=\{V^{\Delta}_i=[{x^{\Delta}}_{i-1},{x^{\Delta}}_i] \mid i=1,2,,,N\}
d(\Delta)=max_{i=1,2,,,N}({x^{\Delta}}_i-{x^{\Delta}}_{i-1}) \ll e

を考える。
もし、D \leq \Deltaならば補題2より、I_m(f,D) \leq I_m(f,\Delta)
すると\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)\leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D) \leq \frac{\epsilon}{2}\leq \epsilon 
通常、分割\Deltaは、Dの細分になっていない。
この場合は、いくつか(高々n-1個)の\Deltaの小区間が、Dの小区間には含まれず、
Dの分点{x^D}_i(i=1,2,,,n-1)をまたぐことになる。図参照のこと。
議論を簡単にするため、Dの分点{x^D}_i(i=1,2,,,n-1)が全て、\Deltaの小区間によって跨がれていると仮定し、議論を進める。
他のケースでも、証明はおなじようにできるので、このように仮定しても何の問題も起こらない。
Dの分点{x^D}_iを跨ぐ\Deltaの小区間をV^{\Delta}_{m_i}とする(i=1,2,,,n-1)。
\quad 3)
2つの分割D、\Deltaから{\Delta}':=D \vee \Deltaを作る。
すると
{\Delta}'=\{V^{\Delta}_1,V^{\Delta}_2,,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{1}-1},
\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{1}-1},x^{D}_1],[x^{D}_1,x^{\Delta}_{m_{1}}],
\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{1}+1},V^{\Delta}_{m_{1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{2}-1},
\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{2}-1},x^{D}_2],[x^{D}_2,x^{\Delta}_{m_{2}}],
\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{2}+1},V^{\Delta}_{m_{2}+2},,,V^{\Delta}_{m_{3}-1},

\qquad \quad ,,,,,,,,,

\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{n-1}+1},V^{\Delta}_{m_{n-1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_N\} \qquad (2)
と書ける。

\Delta \leq {\Delta}'で、 D \leq {\Delta}' なので、
I_m(f,\Delta) \leq I_m(f,{\Delta}'), \quad I_m(f,D) \leq I_m(f,{\Delta}')
後者の式から、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}') \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D)
この式と(1)式から、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')<\frac{\epsilon}{2}
そこで、
d(\Delta) \to 0 ならば、I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)<\frac{\epsilon}{2}
が示せれば、
0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)
=(\mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')+(I_m(f,{\Delta}'-I_m(f,\Delta)\leq \epsilon
が示され、証明が終わる。
\quad 4)
I_{m}(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{N} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i) であり、
(2)式から、
I_m(f,{\Delta}')
=\sum_{i\notin \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])
なので、
I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)
=\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])
+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])
-\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)
関数はV上で有界なので、適切に正の実数Mを選ぶと、xVの要素ならば
|f(x)|\leq Mが成立する。
すると|m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])|, |m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])| \leq M
が成り立つ。また
v(V^{\Delta}_{m_k}) =v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])+v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])で、
v(V^{\Delta}_i)\leq d(\Delta)
なので
|I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq 2M\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} v(V^{\Delta}_i)\leq 2M(n-1)d(\Delta)
そこで、
\delta_{\epsilon}=\frac{\epsilon}{4Mn} と選べば、
d(\Delta)\leq \delta_{\epsilon}をみたすどのような分割\Deltaも、
0\leq I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq \frac{\epsilon}{2}
を満たすことが証明できた。証明終わり。


  (7)可積分条件
定理;可積分条件 
V=[a,b]
fを、Vで定義され、実数に値を取る有界関数とする。
次の条件のうち1つが成立すれば、残り2つは成立する(互いに同値という)。 ⅰ)fV上で(リーマン)可積分
ⅱ)\lim_{d(\Delta) \to 0}(I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta))=0
ⅲ)\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)

証明
ⅰ)を仮定する。ⅱ)が成立することを示そう。
fの積分値を\alphaとおくと、可積分の定義から、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\deltaである任意の分割と、その分割の任意の代表点\xi_i,(i=1,2,,,)に対し,
|I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)-\alpha |<\frac{1}{2}\epsilon
が成立する。
変形すると
\alpha-\frac{1}{2}\epsilon <I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) <\alpha+\frac{1}{2}\epsilon \qquad (1)  
ここで、補題1のⅱ)から、
\inf_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{m}(f,\Delta)
\sup_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{M}(f,\Delta)
なので、
(1)式から、
\alpha-\frac{1}{2}\epsilon \leq I_{m}(f,\Delta) \leq I_{M}(f,\Delta) \leq \alpha+\frac{1}{2}\epsilon
これより、任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\delta \implies (0\leq I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)\leq \epsilon)
ⅱ)が示せた。
ⅱ)を仮定する。 ⅲ)が成り立つことを示す。

I_{m}(f,\Delta) \leq \mathscr{s}(f):=\sup_{\Delta}I_{m}(f,\Delta) \leq \mathscr{S}(f):=\inf_{\Delta}I_{M}(f,\Delta) \leq I_{M}(f,\Delta)
なので、
0 \leq \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f) \leq I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)
故に、分割を細かくしていき、極限をとると、
0 \leq \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f) \leq \lim_{d(\Delta)\to 0}(I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta))
ⅱ)が成立するので、
=0
ⅲ)が示せた。
ⅲ)を仮定する。 \alpha=\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)とおく。
ⅰ)が成り立つことを示そう。
補題1のⅰ)から、どのような分割\Deltaと、その代表点\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)に対しても
I_{m}(f,\Delta) \leq I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) \leq I_{M}(f,\Delta) ここで、ダルブーの定理から、 \lim_{d(\Delta) \to 0}I_{m}(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)=\alpha, \lim_{d(\Delta) \to 0}I_{M}(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)=\alpha が成り立つので、 \lim_{d(\Delta) \to 0}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\alpha  が成り立つ。 ⅰ)が示せた。   '''(8)有限個の点を除いて連続な閉区間上の関数は積分可能''' 色々な関数のグラフを書くとつながっているところを、跳んでいるところが出来る。 y=Xのグラフはずっとつながっている。 x<0のとき y=0, 0\leq xのとき y=1 で関数を定義すると、x=0のところで そのグラフは跳んでいる。 連続や不連続は関数の非常に重要な性質であり、それを調べることはとても豊かな知識をもたらす。 しかし正確に議論するには、連続とは何かをきちんと定義する必要がある。 関数の連続性の定義; 実数値関数 f(x) がある点''' x_0で連続'''であるとは、 xx_0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x_0) に限りなく近づくことを言う。\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)と記す。

これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。
(小さな)正の数 ε が任意に与えられたとき、
(小さな)正の数 δ をうまくとってやれば、
x_0 と δ 以内の距離にあるどんな x に対しても、
f(x)f(x) の差が ε より小さいようにすることができる。

関数 f(x) がある区間I で連続であるとは、
I に属するそれぞれの点において連続であることを言う。

定理 
有界閉区間上V=[a,b]で定義され、実数に値を取る連続関数fは、V上で可積分である。
略証;
有界閉区間上の連続関数は一様連続なので、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
|x-x'|\leq \deltaを満たすVの任意の2点に対して、
|f(x)-f(x')|< \frac{\epsilon}{b-a}
が成立する。
V=[a,b]の分割\Deltaを細かくして、
d(\Delta)<\delta
を満たすようにする。
すると、その分割によって得られた小区間V_i(i=1,2,,,n)の長さは、
全て\deltaより小さくなるので、
\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}-\inf\{f(x)\mid x\in V_i\}<\frac{\epsilon}{b-a}
M(f;V_i),m(f;V_i)の定義から
M(f;V_i)-m(f;V_i)<\frac{\epsilon}{b-a}, (i=1,2,,,n) これを用いると、
I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{n} M(f;V_i)v(V_i)-\sum_i m(f;V_i)v(V_i)
=\sum_i(M(f;V_i)- m(f;V_i))v(V_i) \leq \sum_i \frac{\epsilon}{b-a}v(V_i) =\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^{n}v(V_i) =\frac{\epsilon}{b-a}(b-a) =\epsilon
故に、
任意の\epsilon>0に対して、\delta>0が存在して、
d(\Delta)<\deltaを満たす任意の分割\Deltaにたいして、
I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)\leq \epsilonが示せた。
\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)
なので
\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq \epsilon
が任意の\epsilon>0にたいして成立する。故に
\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)
可積分条件のⅲ)が示せた。証明終わり。

定理の系;有限個の不連続点をもつ、有界閉区間上の関数は積分可能である。

てこの原理と力のモーメント

図のように剛体の棒の中間に支点Oがあり、
この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ)と呼ぶ。

てこの原理

梃子の端A_1に力\vec{f^1}が作用し、他端A_2に力\vec{f^2}が作用して、
つりあう(静止し続ける)とき、2つの力の間にはどのような関係があるだろうか。
棒は軽くて無視できるとして考察する。
軸周りに静止し続けるということは、
固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、
梃子に働く外力\vec{f^1}, \vec{f^2}の、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。
Oを原点、回転軸をz軸,梃子の棒をx軸とする、直交座標系O-xyzを導入すると、
\vec{OA_1}=(-l_1,0,0),\quad \vec{OA_2}=(l_2,0,0)
\vec{f^1}=({f^1}_x,{f^1}_y,{f^1}_z),\quad \vec{f^2}=({f^2}_x,{f^2}_y,{f^2}_z)
と表現できる。
そこで、1.4.3.2.3節(z軸まわりの回転力の導出)から
z軸まわりのトルク(回転力)は T_{\vec{e_z}}=-l_{1}{f^1}_y+l_{2}{f^2}_y
となる。
従って
つりあい条件は、
l_{1}{f^1}_y=l_{2}{f^2}_y
これをてこの原理という。
l_{2}l_{1}に比べて、非常に大きくとれば、
少しの力{f^2}_yで非常に大きな力{f^1}_yと釣り合わせることが出来ることが分かる。
てこの原理については、

も参照のこと。

作用線の定理

剛体の場合、作用線に沿って力の作用点を移動しても、力の作用は変わらない。何故かは、考えてみましょう。

剛体のつり合い

いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、
重心が等速直線運動を続け、重心の周りの回転が変化しない場合に、剛体(に作用している力)は釣り合っているという。

気体や液体の圧力と浮力

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