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目次 1 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 1.1 多変数の実数値関数の微分 1.1.1 偏微分 1.1.1.1 方向微分 1.2 微分(全微分）

9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析

多変数の実数値関数の微分

${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$ を考える。 一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後
${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$
が存在するときｓで微分可能と定義すること。
しかし、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。

偏微分

そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、

• ウィキペディア(偏微分)

方向微分

微分(全微分）　

定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能

定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能