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８章の付録

問の解答

２項定理を用いて$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は２以上の自然数)$ を展開すると
　 $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$
　 ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!} \qquad \qquad (2)$
但し、$0!\triangleq 1 \quad m が1以上の自然数の時, m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$
式（２）を式（１）に代入して計算すると
$a_n = \sum_{m=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $
$=\sum_{m=0}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$
ここで、n　より小さい全ての自然数 i に対して
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、
$ 0 \lt a_n \lt \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)$