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物理/多変数解析学

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目次

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「9.1 多変数解析学」 

本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。

それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、
このテクストで今後叙述する予定です。

多変数の実数値関数の微分

Rn={(x1,x2,,,xn)xiR,i=1,2,n} の開区間
In=ni=1(ai,bi)上で定義された実関数 y=f(x1,x2,,,xn) を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、x:=(x1,x2,,,xn)とおき、 y=f(x) と書くこともある。
In上で定義された実数値関数  y=f(x)=f(x1,x2,,,xn) の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル h=(h1,h2,,,hn) を考え、極限
lim
が存在するとき、関数fは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
\vec hはn次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。

偏微分

関数f の変数 \vec{x} の第i成分 x_i だけを変数とし、
他の変数は任意の実数に固定\Bigl(x_j = a_j \quad (j\neq i)\Bigr)して得られる関数
\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)\triangleq f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n)
を考える。
この関数は、一変数なので、任意の点x_i  での微分係数 
\frac{d\phi_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(x_i)\triangleq \lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i+h)-\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)}{\bf h}
=\lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{ f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i}+h,a_{i+1},,,a_n)-f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},,,a_n)}{\bf h}
を考えることができる。

定義(偏微分)
もし、一変数関数 \phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)=f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n) が、ある点x_i=a_iで微分可能ならば、
関数fは、点\vec a = (a_1.a_2,,,,a_n)で,x_i について偏微分可能であると言い,
\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a) \triangleq \frac{d\phi_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(a_i)
を、f(\vec{x}) の 点\vec a での変数 x_i  についての偏微分係数という。

定義(偏導関数)
f(\vec{x})  がどの点\vec{x}でも x_i に関して偏微分可能であるならば、
任意の点x_i にその点の偏微分係数\frac{d\phi^i}{dx_i}(x_i)を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、f(\vec{x})  の x_i に関する偏導関数といい、記号
f_{x_{i}}(\vec{x}),\quad D_{x_i}f(\vec{x}),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec{x}),\quad \partial f/\partial x_i
などで表示する。

以後、簡単のために2変数 x.y の関数に限定して議論する。 定理(合成関数の微分)
R^2 から R への関数f(x,y) と
R から R への関数g(t) の合成関数 
h(x,y)=g(f(x,y)) 
を考える。
もし、f(x,y) が (x_0,y_0) で、xに関して偏微分可能で,
\qquad g(t) が、t_0=f(x_0,y_0) において微分可能ならば、
h(x,y)=g(f(x,y) は (x_0,y_0) で、xに関して偏微分可能であり,
h_{x}(x_0,y_0)=g'(t_0)f_{x}(x_0,y_0) \qquad \qquad ()
証明
yを y_0 に固定して考えると、一変数関数の合成関数の微分になるので、合成関数の微分公式を適用すればよい。

 平均値の定理 

定理
f(x,y) を
(x_0,y_0)な近傍 U 上で、xについて偏微分可能とする。
もし(x,y) を近傍Uの点ならば
x_0x の間の \xi が存在して、
f(x,y) - f(x,y_0)-\bigl(f(x_0,y) - f(x_0,y_0) \bigr)= (x-x_0)\bigl(f_{x}(\xi,y)-f_{x}(\xi,y_0)\bigr) \qquad ()
(注)例えば、中心(x_0,y_0)、半径rの小さな開球体S_{r}(x_0,y_0)\triangleq \{(x,y)\in R^2 | \|(x,y) - (x_0,y_0) \| \lt r\}  など。
証明
\phi(x)\triangleq f(x,y) - f(x,y_0) とおくと、
式()の左辺 = \phi(x) - \phi(x_0)
\quad \phi(x)  は、x_0 の近傍で微分可能なので、平均値の定理から、
\quad x_0x の間の \xi が存在して、
= (x-x_0){\phi}'(\xi) = (x-x_0)\bigl(f_{x}(\xi,y)-f_{x}(\xi,y_0)\bigr)

定理 
f(x,y) を
(x_0,y_0)な近傍 U 上で、xについて偏微分可能とする。
もし(x,y)=(x_0+h,y_0+k) を近傍Uの点ならば
f(x,y) = f(x_0,y_0) + hf_{x}(x_0 + h\theta,y) + kf_{y}(x_0,y_0+ k\theta)
を満たす、\theta=\theta(h,k) \in (0,1) が存在する。
証明
g(t) \triangleq f(x_0+ht,y) + f(x_0,y_0+kt) というtの関数を導入する。
すると、
g(1)-g(0) = f(x,y)+f(x_0,y)-\bigl(f(x_0,y)+f(x_0,y_0) \bigr)
\qquad \qquad =f(x,y) - f(x_0,y_0)
関数 g(t) は、閉区間[0,1] を含む開区間上で微分可能なので、
一変数の微分可能関数の平均値の定理から、
ある数 \theta \in (0,1) が存在して、
g(1)-g(0) = g'(\theta)(1-0) = g'(\theta) \qquad \qquad (a)
故に、 f(x,y) - f(x_0,y_0) = g(1)-g(0) = g'(\theta)
\qquad 関数gの微分は,一変数関数の合成関数の微分公式から
\qquad g'(t) = f_{x}(x_0+ht,y)h + f_{y}(x_0,y_0+kt)k \qquad (b)
式(a)、(b) から
f(x,y) - f(x_0,y_0) = f_{x}(x_0+h\theta,y)h + f_{y}(x_0,y_0+k\theta)k \qquad (b)
証明終わり

 高階偏微分

(1)二階偏微分
定義 二階偏微分

次は、大変有用な定理である。
定理
{\bf R^n}の開集合Uで定義された実数値関数fに対し、
\textbf{a} \in U の近傍W(注参照)で
\qquad \qquad f_{x_i,x_j} \ f_{x_j,x_i}
が共に存在し、\textbf{a}において共に連続ならば、
\qquad \qquad f_{x_i,x_j}(\textbf{a}) = f_{x_j,x_i}(\textbf{a})

方向微分

\vec{e_i} を直交座標系のx_i座標軸の正方向の方向・向きを持つ単位長さのベクトルとする(第i直交座標ベクトルと呼ぼう)。
多変数関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)の、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)での偏微分係数 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) は、
\vec x  を、第i座標(座標ベクトル\vec{e}_i)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数fの変化率とみなせる。
式で書くと
\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec{e}_i)-f(\vec x )}{h}

このように考えると、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)を、座標ベクトル\vec{e}_iに平行ではなく、
任意に指定するベクトル\vec aに平行に微小量動かすときの関数fの変化率を考えることもできることが分かるだろう。

定義 方向微分
関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)の、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)での,\vec a 方向の微分係数とは、
\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec a)-f(\vec x )}{h}
のことで、
\frac{\partial f}{\partial \vec{a}}(x),\quad f_{\vec a}(x),\quad D_{\vec a}(x)
などと書く。

命題
(1) \vec{e_i} 方向の微分は、\vec{e_i} 座標軸(x_i座標軸)に関する偏微分である。
ここで、\vec{e_i} はx_i座標軸の正方向向きの単位長さのベクトル。
式で書くと、
\frac{\partial f}{\partial \vec{e_i}}(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)
(2)\alpha を任意の実数とすると
\frac{\partial f}{\partial \alpha \vec{e_i}}(x) = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)

微分(全微分) 

この§も、2変数関数で説明する。
二変数関数の微分可能性をどう定義したらよいだろうか?
一変数関数の微分の場合、それと同等の条件はいくつか知られているが、
その中で二変数関数に容易に拡張できるものを採用するのが自然である。
1.4.1.1 微分係数の意味 の命題の条件 3)が、それに該当する。

定義1;微分可能性(全微分可能性)
関数f(x,y)が、或る開集合U上で定義されているとする。
fが 点(x_0,y_0)\in U で微分可能とは、
ある定数c_1,\ c_2が存在して、
f(x,y) = f(x_0,y_0) + c_{1}(x-x_0) + c_{2}(y-y_0) + \delta(x,y;x_o,y_0)
ここで、\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\delta(x,y;x_o,y_0)/\|(x,y)-(x_0,y_0) \|_{2} = 0
(注)\|(x,y)\|_{2} \triangleq \sqrt{x^2 + y^2} は、
ノルムの条件と呼ばれる次の3つの条件を満たし、
ユークリッドノルムあるいは2‐ノルムと呼ばれる。
1)\|(x,y)\|_{2} \geq 0. \|(x,y)\|_{2}=0 ならば (x,y)=(0,0) 
2)\|(x,y)+(x',y')\|_{2} \leq \|(x,y)\|_{2}+\|(x',y')\|_{2} 
3)任意の実数\alphaに対し、\|\alpha (x,y)\|_{2}=|\alpha|\|(x,y)\|_{2}
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、
p‐ノルム(p \geq 1); \|(x,y)\|_{p}\triangleq (|x|^{p}+|y|^{p})^{\frac{1}{p}}
\infty-ノルム\|(x,y)\|_{\infty}\triangleq max(|x|,|y|)
命題
\|(x,y)\|_{1} \geq \|(x,y)\|_{2} \geq \|(x,y)\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(x,y)\|_{1}


導値(微分係数)、導関数
定理1;
微分可能ならば、偏微分可能

定理2
C^{1}級の関数は微分可能

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