物理/解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開
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「 8.4 解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開
序
関数列・関数族の項別積分と項別微分
関数列の各点収束
関数列の一様収束
関数の一様ノルム
定義１（有界関数と一様ノルム）
集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。
１）関数$f$が有界とは、
$f$の値域$\{f(a)|a \in A \}(\subset \bf{R^m})$が$\bf{R^m}$の有界集合であること。
すなわち、ある正数Mが存在し、$\|f(a)\| \lt M \quad (for \forall a \in A)$。（注参照）
２）有界関数$f$の一様ノルム$\|f\|_{\infty}$とは
$\|f\|_{\infty} \triangleq \sup_{a \in A}\| f(a)\|$
(注) m次元ベクトルのノルムとしては通常はユークリッドノルム（２乗ノルム)を用いるが、
p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。
一般のノルムの定義とノルムの同等性を参照のこと。
定義２（一様コーシー列）
定義３（一様収束）
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、
$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0$
定理１
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で関数$f$ に一様収束するするならば、各点収束する。
定理２
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。
定理３
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が、関数$f$に一様収束するならば、関数$f$は連続関数である。
定理１の逆は一般に成立しないが、いくつかの条件を付ければ成立する。
定理３（ディニの定理）
項別積分定理
項別微分定理
級数と収束
無限級数の収束性
条件収束と絶対収束
収束条件
正項級数の収束条件
整級数（幕級数）
整級数と収束
項別微分定理
整級数の微分可能性
高階微分微分可能関数の整級数近似（テイラー展開）
微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、
その導関数 $(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$ が考えられる。
これをｆの2階の導関数という。
例えば、変数ｔの関数 $f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、
その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。
さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。
テイラー展開とテイラーの定理
テイラー展開、テイラー級数についての入門書は
より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。
そこでテイラーの定理について説明する。
