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物理/平面と空間,ベクトル

2025-06-03T18:53:23Z

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8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
*[[wikipedia_ja:空間ベクトル|ウィキペディア( 空間ベクトル )]]

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）の（空間）ベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
ここで、$a_i$は,$\vec a$の第$i$座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$は,それぞれのベクトルのx座標成分を表す。 
同様に、$a_2,b_2$はそれぞれのベクトルのy座標成分<を表す。br/>
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
三角形の余弦定理を利用する。 
*[[wikipedia_ja:余弦定理 |ウィキペディア( 余弦定理 )]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、余弦定理により 
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 

命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-06-03T18:49:41Z

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
*[[wikipedia_ja:空間ベクトル|ウィキペディア( 空間ベクトル )]]

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）の（空間）ベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
ここで、$a_1$は,$\vec a$の第i座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$は,それぞれのベクトルのx座標成分を表す。 
同様に、$a_2,b_2$はそれぞれのベクトルのy座標成分<を表す。br/>
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
三角形の余弦定理を利用する。 
*[[wikipedia_ja:余弦定理 |ウィキペディア( 余弦定理 )]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、余弦定理により 
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 

命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-06-03T18:39:19Z

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8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
*[[wikipedia_ja:空間ベクトル|ウィキペディア( 空間ベクトル )]]

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）の（空間）ベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$は,それぞれのベクトルのx座標成分を表す。 
同様に、$a_2,b_2$はそれぞれのベクトルのy座標成分<を表す。br/>
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
三角形の余弦定理を利用する。 
*[[wikipedia_ja:余弦定理 |ウィキペディア( 余弦定理 )]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、余弦定理により 
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 

命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-06-03T18:22:44Z

Moderator: /* ベクトルの和と実数倍 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
*[[wikipedia_ja:空間ベクトル|ウィキペディア( 空間ベクトル )]]

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
三角形の余弦定理を利用する。 
*[[wikipedia_ja:余弦定理 |ウィキペディア( 余弦定理 )]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、余弦定理により 
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 

命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T04:55:42Z

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8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
三角形の余弦定理を利用する。 
*[[wikipedia_ja:余弦定理 |ウィキペディア( 余弦定理 )]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、余弦定理により 
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 

命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T02:31:51Z

Moderator: /* 平面と空間,ベクトル */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]
=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]
== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
*[[File:GENPHY00010101-01.jpg|right|frame|図　第2余弦定理]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
詳しくは
*[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===ノルムの定義　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 
ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。 
よく使われるのは 
2‐ノルム；　$\|\vec{a}\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^2)^{\frac{1}{2}}$ 
である。 

次の定理はシュワルツの不等式と呼ばれる。 
定理 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{2}\|\vec b\|_{2} $ 
である。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T02:12:25Z

Moderator: /* ノルムの定義　 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
*[[File:GENPHY00010101-01.jpg|right|frame|図　第2余弦定理]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
詳しくは
*[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===ノルムの定義　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 
ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。 
よく使われるのは 
2‐ノルム；　$\|\vec{a}\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^2)^{\frac{1}{2}}$ 
である。 

次の定理はシュワルツの不等式と呼ばれる。 
定理 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{2}\|\vec b\|_{2} $ 
である。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T02:10:33Z

Moderator: /* 　一般のノルムの定義とノルムの同等性　 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
*[[File:GENPHY00010101-01.jpg|right|frame|図　第2余弦定理]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
詳しくは
*[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===ノルムの定義　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 
ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。 
よく使われるのは 
2‐ノルム；　$\|\vec{a}\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_2|^2)^{\frac{1}{2}}$ 
である。 

次の定理はシュワルツの不等式と呼ばれる。 
定理 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{2}\|\vec b\|_{2} $ 
である。 

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T02:02:56Z

Moderator:

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 
ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの定義や和や実数倍については 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
*[[File:GENPHY00010101-01.jpg|right|frame|図　第2余弦定理]]
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
詳しくは
*[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 
ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
よく使われるのは 
2‐ノルム；　$\|\vec{a}\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_2|^2)^{\frac{1}{2}}$ 
である。 

次の定理はシュワルツの不等式である。 
定理 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{2}\|\vec b\|_{2} $ 
である。 
== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

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2025-05-30T01:01:29Z

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2025-05-30T00:41:23Z

Moderator:

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-30T00:10:08Z

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 

*[[File:GENPHY00070101-01.jpg]]　

頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

ファイル:GENPHY00070101-02.jpg

2025-05-30T00:00:18Z

Moderator:

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T23:57:05Z

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 

頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

ファイル:GENPHY00070101-01.jpg

2025-05-29T23:11:58Z

Moderator:

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T23:09:08Z

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 

*[[File:GENPHY00070101-01.jpg]]

頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T21:55:42Z

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8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 

*[[ファイル:File.jpg]]

頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

ファイル:GENPHY00010701-01.jpg

2025-05-29T21:40:02Z

Moderator:

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T21:38:51Z

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 

*[[File:GENPHY00010801-01.jpg|right|frame|図　第2余弦定理の証明図]]

頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

ファイル:第2余弦定理.jpg

2025-05-29T21:29:35Z

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第2余弦定理の証明用の図

ファイル:第2余弦定理.jpg

2025-05-29T21:20:01Z

Moderator: 第2余弦定理の証明用の図

第2余弦定理の証明用の図

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T17:58:06Z

Moderator: /* 逆元の存在 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトル$\vec{B}$を 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-29T17:54:47Z

Moderator: /* ベクトルの和と実数倍 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。 

ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、 
重要なので,証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 

===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
$\vec{A}$を構成する有向線分の中から、始点を原点とする$\vec{OP}$を選び、 
$\vec{B}$を構成する有向線分の中から、点$P$を始点とする有向線分$\vec{PQ}$を選んで、 　
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現し、 
ベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和$\vec{A}+\vec{B}$を 　
$\vec{A}+\vec{B}:=[\vec{OP}+\vec{PQ}]=[\vec{OQ}]$； 
で定義する。 
・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 
すると、
$\vec{A}+\vec{B}=[\vec{OQ}]$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2025-05-19T00:42:27Z

Moderator: /* ベクトル積　 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 
'''定義'''
$ \vec{a}, \vec{b}$は3次元ベクトルとする。 
これらのベクトルのベクトル積（外積ともいう）$\quad \vec{a} \times \vec{b}$とは、 
$ \vec{a}, \vec{b}$が平行の時は、零ベクトル、 
平行でないときは、これら2つのベクトルに直交し、大きさが　$ \vec{a}$と $\vec{b}$の作る平行四辺形の面積と等しいベクトル$\vec{c}$で、 
向きは、3つのベクトル<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>> が右手系をなす向きであるものをいう。 
（注）<<$ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$>>は、この順番に３つのベクトルが並んでいることを表す。 
$\quad$これら３つのベクトルの集合$\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$とは異なる。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T14:53:42Z

Moderator: /* 　一般のノルムの定義とノルムの同等性　 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\|\vec{a} \|$　を対応させる関数は、 

次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 

１）$\|\vec{a}\| \geq 0.\quad \|\vec{a}\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　 

２）$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha \vec{a}\|=|\alpha|\|\|\vec{a}\|$ 

ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。 
例えば 

p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|\vec{a}\|_{p}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p)^{\frac{1}{p}}$ 
以下未完成

$\infty-ノルム$； 

などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|\vec{a}\|_{1} \geq \|\vec{a}\|_{2} \geq \|\vec{a}\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|\vec{a}\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。


== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T13:27:02Z

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題２を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\textbf{a}$　に対し、実数値　$\|\textbf{a} \|$　を対応させる関数は、次の3つの条件を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 
１）$\|(\vec{a },\vec{b })\| \geq 0.\quad \|(\vec{a },\vec{b })\|=0 \Leftrightarrow (\vec{a },\vec{b })=(0,0)$　 
２）$\|(\vec{a },\vec{b })+(\vec{a }',\vec{b }')\| \leq \|(\vec{a },\vec{b })\|+\|(\vec{a }',\vec{b }')\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha (\vec{a },\vec{b })\|=|\alpha|\|(\vec{a },\vec{b })\|$ 
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、 
p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{p}\triangleq (|\vec{a }|^{p}+|\vec{b }|^{p})^{\frac{1}{p}}$ 
$\infty-ノルム$；$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty}\triangleq max(|\vec{a }|,|\vec{b }|)$ 
などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{2} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T13:17:14Z

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\textbf{a}$　に対し、実数値　$\|\textbf{a} \|$　を対応させる関数は、次の3つの条件を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 
１）$\|(\vec{a },\vec{b })\| \geq 0.\quad \|(\vec{a },\vec{b })\|=0 \Leftrightarrow (\vec{a },\vec{b })=(0,0)$　 
２）$\|(\vec{a },\vec{b })+(\vec{a }',\vec{b }')\| \leq \|(\vec{a },\vec{b })\|+\|(\vec{a }',\vec{b }')\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha (\vec{a },\vec{b })\|=|\alpha|\|(\vec{a },\vec{b })\|$ 
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、 
p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{p}\triangleq (|\vec{a }|^{p}+|\vec{b }|^{p})^{\frac{1}{p}}$ 
$\infty-ノルム$；$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty}\triangleq max(|\vec{a }|,|\vec{b }|)$ 
などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{2} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T13:16:23Z

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。

===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\textbf{a}$　に対し、実数値　$\|\textbf{a} \|$　を対応させる関数は、次の3つの条件を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 
１）$\|(\vec{a },\vec{b })\| \geq 0.\quad \|(\vec{a },\vec{b })\|=0 \Leftrightarrow (\vec{a },\vec{b })=(0,0)$　 
２）$\|(\vec{a },\vec{b })+(\vec{a }',\vec{b }')\| \leq \|(\vec{a },\vec{b })\|+\|(\vec{a }',\vec{b }')\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha (\vec{a },\vec{b })\|=|\alpha|\|(\vec{a },\vec{b })\|$ 
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、 
p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{p}\triangleq (|\vec{a }|^{p}+|\vec{b }|^{p})^{\frac{1}{p}}$ 
$\infty-ノルム$；$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty}\triangleq max(|\vec{a }|,|\vec{b }|)$ 
などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{2} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T13:10:36Z

Moderator: /* 述語論理 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===
*[[wikipedia_ja:述語論理|ウィキペディア(述語論理)]]

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。
===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\textbf{a}$　に対し、実数値　$\|\textbf{a} \|$　を対応させる関数は、次の3つの条件を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 
１）$\|(\vec{a },\vec{b })\| \geq 0.\quad \|(\vec{a },\vec{b })\|=0 \Leftrightarrow (\vec{a },\vec{b })=(0,0)$　 
２）$\|(\vec{a },\vec{b })+(\vec{a }',\vec{b }')\| \leq \|(\vec{a },\vec{b })\|+\|(\vec{a }',\vec{b }')\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha (\vec{a },\vec{b })\|=|\alpha|\|(\vec{a },\vec{b })\|$ 
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、 
p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{p}\triangleq (|\vec{a }|^{p}+|\vec{b }|^{p})^{\frac{1}{p}}$ 
$\infty-ノルム$；$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty}\triangleq max(|\vec{a }|,|\vec{b }|)$ 
などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{2} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/平面と空間,ベクトル

2024-08-23T13:06:56Z

Moderator: /* 命題論理 */

8.1 平面と空間のベクトル
=平面と空間,ベクトル =
平面や空間への直観を重視し、幾何学的な説明をする。 
以後、物理数学の説明では、集合についての初歩的知識を使う。 
また定理等の証明では、(数理的)論理とくに一階述語論理の初等的知識が必要になる。 
集合と論理の導入部については
*[[wikibooks_ja:高等学校数学A/集合と論理 |高等学校数学A/集合と論理（ウィキブックス）]]
を読んでください。 
この本では、不十分なので、以下に若干補足する。
== (数理的)論理 ==
数学的な議論は、(幾つかの）真の命題から他の真の命題を導く推論の連続である。 ここで、'''命題'''(proposition)というのは、内容の真偽が客観的に確定する文（叙述、言明)あるいは式のこと。 
これらの推論に共通に用いられる論理的推論法を、 
記号を用いて表現し数学的に研究するのが、数理的論理学である。 
=== 命題論理 ===
*[[wikipedia_ja:命題論理 |ウィキペディア(命題論理)]]

=== 述語論理 ===

== 集合について ==
以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、 
集合の素朴な定義と集合の表記法、 
集合Ａの補集合 $A^C$、 
2つの集合Ａ，Ｂの包含関係すなわち,　
ＡとＢが等しい　Ａ＝Ｂ，　ＡはＢの部分集合　$A \subseteq B$あるいは$A \subset B$、 
AはＢの真の部分集合　$A \subsetneq B$　 
および、 
２つ以上の集合の演算（ＡとＢの和集合$A \cup B$、共通集合$A \cap B$、差集合$A - B$、対称差集合$A \triangle B$、直積$A\times B$） 
などについて、以下の記事で学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]
=== 集合の演算規則 ===
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ等は集合とする。 
命題１ (交換法則）　集合の和、共通部分、対称差　という演算は交換可能である。 
$\quad $数式で書けば　$A\cup B=B\cup A \quad 　A\cap B=B\cap A \quad A \triangle B = B \triangle A$ 
命題２　（結合法則）$(A\cup B) \cup C = A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)$（注参照） 
命題３（分配法則）　$(A \cup B)\cap C=(A \cap C) \cup (B\cap C),\quad (A \cap B)\cup C=(A \cup C) \cap (B\cup C)$ 
命題４　$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \quad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 
命題５　$(A^{c})^{c} = A$ 
命題６　$A-B = A \cap B^{c}$ 

（注）対称差についても結合法則　$(A \triangle B)\triangle C = A \triangle (B \triangle C) $は成立する。 
興味ある方は証明して下さい。 

==平面と空間==
我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、 
この空間なかの、縦、横をもち、高さのない平らな無限の拡がりを平面として認識してきた。 
この空間や平面、その中にある色々な図形の性質を厳密に理解しようとして、 
平面幾何学や立体幾何学(ユークリッド幾何学)を生み出してきた。 
この中で考えられた平面や空間は、２次元および３次元のユークリッド空間と呼ばれる。 
下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 |ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
また、この章の「2. 我々の住む空間の数学的モデル(1)」も御覧ください。

== ベクトルの和と実数倍 ==
空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。 
これを直線$PQ$という。 
この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。 
この線分に向き(矢印で表示）をつけたものを有向線分$\vec{PQ}$という。 
この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと 
ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。 
詳しくは、 
[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。 
ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
===２つのベクトルの和===
====和の定義====
定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。 
・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、 
$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$； 

・和の別の定義； 
$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　 
有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。 すると、
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$; 
が成り立つ。 
この両者は同値である。
====和の性質====
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　 
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則　

====零ベクトルの存在====
零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$ 
が成り立つ。 

====逆元の存在====
任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを 
一つ、そして一つだけ持つ。 
これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。 
それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。 
定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$ 
$\vec{A}=\vec{OP}$　と表現しておくと、$-\vec{A} = \vec{PO}$　と表現できる。
===== ベクトルの引算=====
任意のベクトル$\vec{A}$ から、任意のベクトル$\vec{B}$ を引いたベクトル$\vec{A}-\vec{B}$を、 
$\vec{A}-\vec{B}\triangleq \vec{A}+(-\vec{B})$ 
で定義する。

====ベクトルの実数倍====
$a$を任意の実数とする。 
$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。 
・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。 
・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。 
・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ 
$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。 
このように定義すると、 
ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。 
次の諸法則が成り立つ。 
$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ 
$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ 
$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ 
$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$

==　内積とノルム==
内積とノルムは物理学で良く使われる。 
本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。 
以下では、 
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。 
なお、全ての命題は、4次元以上のベクトルに対しても成り立つが省略する(注参照）。 
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。 
（注）ｎ次元(＞３）も含めた一般のｎ次元ベクトルの内積は、後述の命題２

===　2-ノルムと内積の定義===
ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、 
$\|\vec a\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、 
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。 
ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは 
$ \vec a \cdot \vec b:=\|\vec{a}\|_{2}\|\vec{b}\|_{2}\cos\theta$ 
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。 
この定義から、 
$\vec a \cdot \vec a=\|\vec{a}\|_{2}^2 $ 
であることが分かる。 
以後、単にノルム、$\|\cdot \|$ とかけば、２－ノルムであるとする。
===　内積とノルムの性質===
'''命題１''' 
$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$ 
証明；内積の定義から明らか。 
'''命題２''' 
$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ 
ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分 
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。 
証明 
次の三角形の余弦定理を利用する。 
三角形の[[wikipedia_ja:余弦定理|第２余弦定理]]; 
図のような$\triangle {ABC}$を考える。 
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。 
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。 
[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 |ピタゴラスの定理]]により、 
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、 
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、 
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると 
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 
余弦定理の証明終わり。 
命題２の証明　　 
ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、 
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。 
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。 
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、 
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$ 
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。 
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、 
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$ 
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。 
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、 
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。 
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、 

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2 $ 
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。 
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2 $ $=\sum_{i}a_i b_i$ 
命題２の証明終わり。 
'''命題３''' 
$(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　 
証明 
ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、命題(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。 
系；　$\vec a \cdot　(\vec b+\vec c) =\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$　　　 
証明；命題１を利用して、左辺の項の順番を入れ替え、命題３を適用し、再び命題１を用いればよい。 
命題４ 
$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$ 
が成り立つ。 
証明 
同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。 
'''命題５（シュワルツの不等式）''' 
$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$ 
証明；$0\leq |\cos\theta|\leq 1$なので内積の定義から、ただちに分かる。 
'''命題６ノルムの三角不等式''' 
$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$ 
証明 
$\|\vec a + \vec b\|^2=(\vec a + \vec b)\cdot (\vec a + \vec b)$ 
命題３を使って計算すると、 
$=\vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\vec a \cdot \vec b$ 
命題５より、 
$\leq \vec a \cdot \vec a +\vec b \cdot \vec b +2\|\vec a\|\|\vec b\|
=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2+2\|\vec a\|\|\vec b\|=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 故に$\|\vec a + \vec b\|^2 \leq (\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$ 
両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。 

===　一般のノルムの定義とノルムの同等性　===
定義 
ｎ次元ベクトル$\textbf{a}$　に対し、実数値　$\|\textbf{a} \|$　を対応させる関数は、次の3つの条件を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。 
１）$\|(\vec{a },\vec{b })\| \geq 0.\quad \|(\vec{a },\vec{b })\|=0 \Leftrightarrow (\vec{a },\vec{b })=(0,0)$　 
２）$\|(\vec{a },\vec{b })+(\vec{a }',\vec{b }')\| \leq \|(\vec{a },\vec{b })\|+\|(\vec{a }',\vec{b }')\|$　 
３）任意の実数$\alpha$に対し、$\|\alpha (\vec{a },\vec{b })\|=|\alpha|\|(\vec{a },\vec{b })\|$ 
ノルム条件を満たし、ノルムと呼ばれるものには、 
p‐ノルム($p \geq 1$)；　$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{p}\triangleq (|\vec{a }|^{p}+|\vec{b }|^{p})^{\frac{1}{p}}$ 
$\infty-ノルム$；$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty}\triangleq max(|\vec{a }|,|\vec{b }|)$ 
などがある。 
2‐ノルムは、ｐ＝２の場合である。 
これ等のノルムの間には次の順序関係が成り立つ。 
定理 
$\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{2} \geq \|(\vec{a },\vec{b })\|_{\infty} \geq \frac{1}{2}\|(\vec{a },\vec{b })\|_{1}$ 
系； 
p をⅠより大きい実数、あるいは $\infty$ とする。 
ベクトル列 (${\bf a_{n}})_{n\in N}$ が、ｐ－ノルムでベクトル $\textbf{a}$　に収束する 
必要十分条件は 
１－ノルムで収束することである。式でかくと 
$\lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{p} =0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\|a_n - a \|_{1} =0 $ 
次の定理は2-ノルムの場合のシュワルツの不等式の一般化である。 
定理 
$p \geq 1$ とする。qを $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$　を満たす実数とすると、 
$ |\vec a \cdot \vec b| \leq \|\vec a \|_{p}\|\vec b\|_{q} $ 
である。 
但し、$p=1 のときは、q=\infty$　とする。

== ベクトル積　==
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

'''命題７''' 
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

'''命題８''' 
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
'''命題９''' 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の命題から、容易に証明できる。 

'''命題１０'''
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

'''命題１０の系'''　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題８より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題９から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題８より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題８より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題８より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　
'''命題１１''' 
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

'''命題１２''' 
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$で決まる座標を用いて 
$\vec a=(a_1,a_2,a_3)^{t}, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^{t}$ と表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{t}$　 
証明；$\vec a=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$, 
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3})\times \vec b$
命題３の系から 
$=a_1\vec{e_1}\times \vec b
+a_2\vec{e_2}\times \vec b
+a_3\vec{e_3}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 
式(1)の第１項
$a_1\vec{e_1}\times \vec b$
に
$\vec b=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}+b_3\vec{e_3}$
を代入して、命題３の系を使って変形すると、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
+a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
+a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}$ $\qquad$ (2) 
命題１０と命題１１を使うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_1\vec{e_1}
=a_1 b_1\vec{e_1}\times \vec{e_1}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_1\vec{e_1}\times b_2\vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_1}\times \vec{e_2}
=a_1 b_2\vec{e_3}$ 

$a_1\vec{e_1}\times b_3\vec{e_3}
=a_1 b_3\vec{e_1}\times \vec{e_3}
=-a_1 b_3\vec{e_2}$ 
式(2)にこれらを代入して、 
$a_1\vec{e_1}\times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_2\vec{e_2}\times \vec b
=a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3} $ $\qquad$ (4) 

$a_3\vec{e_3}\times \vec b
=a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_1 b_2\vec{e_3} - a_1 b_3\vec{e_2}
+a_2 b_3\vec{e_1} - a_2 b_1\vec{e_3}
+a_3 b_1\vec{e_2} - a_3 b_2\vec{e_1}$ 
$ =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{e_1}
+(a_3 b_1 - a_1 b_3)\vec{e_2}
+(a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{e_3}$ 
命題１２の証明終わり。 
'''命題１３''' 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} $ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標系を決める。 
３つのベクトルを、この座標系で成分表示して、 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t},\quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
命題１２から、 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot (c_1,c_2,c_3)$ 
内積の定義から 
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$　 
これを整頓すると 
$=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算すると同じ式になる。 
命題１３の証明終わり。 

定義 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}$ を３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の'''行列式'''(determinant)という。 
[[File:GENPHY00010801-01.pdf|right|frame|図　3つのベクトルの張る平行6面体の体積]] 
この３つのベクトルの張る平行４面体の、符号付の体積である(図参照）。 

'''命題１3の系１''' 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|=|\vec{b},\vec{c},\vec{a}|=|\vec{c},\vec{a},\vec{b}|$ 
$=-|\vec{b},\vec{a},\vec{c}|=-|\vec{c},\vec{b},\vec{a}|=-|\vec{a},\vec{c},\vec{b}|$ 
'''命題１3の系２''' 
3つの空間ベクトルを、ある右手系をなす直交座標系の成分で表示して 
$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)^{t} \quad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^{t},\quad \vec{c}=(c_1,c_2,c_3)^{t}$ 　とする。 
この時、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$　の行列式は 
$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|:=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_1b_3c_2+a_2b_1c_3+a_3b_2c_1)$ 
この式は、命題１３の証明のなかで導出されている。 
'''命題１3の系３''' 
行列式$|\vec{a},\vec{b},\vec{c}|$　は、３つのベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の双線形関数である。すなわち 
$|\alpha \vec{a^1}+\beta\vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|=\alpha | \vec{a^1},\vec{b},\vec{c}|+ \beta | \vec{a^2},\vec{b},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\alpha \vec{b^1}+\beta\vec{b^2},\vec{c}|=\alpha | \vec{a},\vec{b^1},\vec{c}|+ \beta | \vec{a},\vec{b^2},\vec{c}|$ 
$|\vec{a},\vec{b},\alpha \vec{c^1}+\beta\vec{c^2}|=\alpha | \vec{a},\vec{b},\vec{c^1}|+ \beta | \vec{a},\vec{b},\vec{c^2}|$ 
ここで、$\alpha,\ \beta$ は任意の実数、$\vec{a^1},\ \vec{a^2}, \ \vec{b^1},\ \vec{b^2}, \ \vec{c^1},\ \vec{c^2}$は任意の３次元ベクトルである。 
'''命題１４''' 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明 
ベクトル積の定義を用いると、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) $ 
$= (a_1,a_2,a_3)^{t}\times (b_2c_3-b_3c_2,\quad b_3c_1-b_1c_3,\quad b_1c_2-b_2c_1)^{t}$ 
$=\Bigl( a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3),\quad a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1),\quad a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (a_2b_1c_2+a_3b_1c_3)-(a_2b_2c_1+a_3b_3c_1),\quad (a_3b_2c_3+a_1b_2c_1)-(a_3b_3c_2+a_1b_1c_2),\quad (a_1b_3c_1+a_2b_3c_2)-(a_1b_1c_3+a_2b_2c_3) \Bigr) ^{t}$ 
$=\Bigl( (\vec{a}\cdot \vec{c})b_1-a_1c_1b_1, \quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_2-a_2c_2b_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{c})b_3-a_3c_3b_3 \Bigr) ^{t}$ 
$- \left( (\vec{a}\cdot \vec{b})c_1-a_1b_1c_1,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_2-a_2b_2c_2,\quad (\vec{a}\cdot \vec{b})c_3-a_3b_3c_3 \right) ^{t}$ 
$=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
証明終わり 
（注)　この公式の覚え方。 
$\vec{b}\times \vec{c}$　は　$\vec{b}$、$\vec{c}$の両方に直交、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}\times \vec{c}$　と直交。 
これから、$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})$　は　$\vec{b}$　と　$\vec{c}$が張る(一次結合)ベクトルであることが分かる。 
この係数が他の２つのベクトルの内積であることだけを記憶しておくと、 
$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = \pm (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}
\pm (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$ 
各項の符号は、 

'''命題１４の系１''' 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}$ 
従って、一般に外積は結合法則を満たさない。 
$\quad \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) \neq (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$ 
証明 
命題８から 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} =-\vec{c}\times (\vec{a}\times \vec{b})$ 
この右辺に命題１４を適用すると、 
$=-\Bigl( (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}\Bigr)
=(\vec{c}\cdot \vec{a})\vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a}$ 
証明終わり 
'''命題１４の系２''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \vec{d}$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{c},\vec{d}]\vec{b}-[\vec{b},\vec{c},\vec{d}] \vec{a}$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=\vec u \times (\vec{c}\times \vec{d})$ 
命題１４から 
$=(\vec u \cdot \vec d)\vec{c}-(\vec u \cdot \vec c)\vec{d}
=\Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec d \Bigr) \vec{c}-\Bigl( (\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec d \Bigr) \vec{d}$ 
行列式の定義から、 
$=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
故に、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d})
=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$ 
２）は、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおくと, 
命題１４の系１を用いて、同様にして証明できる。 

'''命題１４の系３''' 
１）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
２）$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{c})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
証明 
１）　$\vec u \triangleq \vec{a}\times \vec{b}$　とおくと、 
$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec u \cdot (\vec{c}\times \vec{d})=[\vec{u}, \vec{c},\vec{d}]$ 
行列式の性質から、 
$=[\vec{d},\vec{u}, \vec{c}]=\vec{d}\cdot (\vec{u}\times \vec{c})$ 
$\vec u$ の定義式を代入して 
$=\vec{d}\cdot \Bigl( (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}\Bigr)$ 
命題１４の系１を適用して、 
$=\vec{d}\cdot \Bigl((\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} \Bigr) $ 
内積の性質から 
$=(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \cdot \vec{a})$ 
１）が示せた。 
２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。 

== 行列 ==
行列Aとは,
mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた 
$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。 
$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。 
ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した 
ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。 
同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル 
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 
は、ｎ行１列行列とみなす。 
===　転置行列 ===
行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。 
上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。 $A^{T}=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}$ 
$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。 

===　行列の教科書の紹介　===
行列を用いると連立一次方程式は、 
一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、 
その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (|A| \neq 0)$　で与えられる。 
(注）|A|　は行列Ａの行列式（determinant)である。 
下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 |行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。 
このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。 
以下の文献で学習のこと。
*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。 

=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=
この節では概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。 
詳しくは次節で説明する。 
（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。 
この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。 
①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、 
その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。 
直線$<PQ>$と書く。 
２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。 
(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、 
正しいと認めた命題のこと。 
「点」や「直線」、「通る」などの言葉は 
意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。 
点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、 
その性質が正確に規定される。無定義語という。 

②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。 
３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。 
これを平面$<PQR>$と書こう。 
平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。 
空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。 
直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。 
③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。 
　ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、 
直線と平面の公理から簡単に証明出来る。 
　ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。 
　ⅲ）同一平面上にない。 
平行な２直線は、同じ方向であるという。 
④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。 
⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に 
PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。 
これはＰ点からみたＱ点の位置を、 
Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。 
Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを 
$P+\vec{PQ}=Q$と表す。 
次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
。 
点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。 
$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると 
$P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$ 
$\quad $そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば 
$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$ 
となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。 
⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を 
$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$ 
と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$ 
$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。 
$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と 
方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。 
異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。 
この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、 
平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。 
すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、 
$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。 
２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、 
$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。 

すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。 
空間$S^3$の公理； 
空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
$V_{P}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。 
逆に 
$V_{Q}$の任意の要素には、 
それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。 
そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。 
すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると 
どの点から空間を見た時も、 
空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、 
皆同じである。

定義：
方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。 

記号で書くと、 
有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　 
<==> 
ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$ 
今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、 
ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。 

空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。 
これをベクトル集合$V$で表す。 
⑦空間の性質１ 
$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、 
${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、 
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は 
${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。 
この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。 
和の交換則と結合則が成り立つ。 
ベクトルの実数倍も定義出来る。 
$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 |線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。 
これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。 
⑧　線形空間$V$は３次元空間 
Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように 
Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。 
この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。 
そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。 
すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、 
$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$ 
で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。 
逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、 
平面上に点Ｒが定まり、 
$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$ 
この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。 
平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。 
空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。 
$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。 
我々の住む空間の公理２ 
$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$ 
空間$S^3$を点をすべて記述するには 
３つの独立なベクトルを用いなければならないので 
$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。 

⑩３次元空間の座標と座標表示 
この空間には座標系を考えるができる。 
ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。 

ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、 
座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:54:57Z

Moderator: /* 　ユークリッド空間 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。 　　
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
[[wikibooks_ja:線型代数学/固有値と固有ベクトル|wikibooks_ja(線型代数学/固有値と固有ベクトル)]]

==　ジョルダンの標準形 ==
*[[wikipedia_ja:ジョルダンの標準形 |ウィキペディア(ジョルダンの標準形 )]]

==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:39:08Z

Moderator: /* 　固有値と固有ベクトル */

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:37:19Z

Moderator: /* 　固有値と固有ベクトル */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。 　　
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
[[wikibooks_ja:線型代数学/wikibooks_ja(固有値と固有ベクトル|線型代数学/固有値と固有ベクトル)]]

==　ジョルダンの標準形 ==
*[[wikipedia_ja:ジョルダンの標準形 |ウィキペディア(ジョルダンの標準形 )]]

==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:34:35Z

Moderator: /* 　ジョルダンの標準形 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。 　　
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
[[wikibooks_ja:線型代数学/固有値と固有ベクトル|線型代数学/固有値と固有ベクトル(wikibooks_ja)]]

==　ジョルダンの標準形 ==
*[[wikipedia_ja:ジョルダンの標準形 |ウィキペディア(ジョルダンの標準形 )]]

==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:30:10Z

Moderator: /* 　固有値と固有ベクトル */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。 　　
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
[[wikibooks_ja:線型代数学/固有値と固有ベクトル|線型代数学/固有値と固有ベクトル(wikibooks_ja)]]

==　ジョルダンの標準形 ==
===　単因子に基ずく方法 ===
===　幾何学的方法 ===
==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:16:55Z

Moderator: /* 　計量線形空間 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。 　　
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
===　２次形式と2次曲線の分類===
==　ジョルダンの標準形 ==
===　単因子に基ずく方法 ===
===　幾何学的方法 ===
==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:15:05Z

Moderator: /* 　計量線形空間 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
Kを実数の集合（実数体）あるいは複素数の集合（複素数体）とする。＜br/>
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
===　２次形式と2次曲線の分類===
==　ジョルダンの標準形 ==
===　単因子に基ずく方法 ===
===　幾何学的方法 ===
==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:10:28Z

Moderator: /* 　線形空間 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間(ベクトル空間) ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
===　２次形式と2次曲線の分類===
==　ジョルダンの標準形 ==
===　単因子に基ずく方法 ===
===　幾何学的方法 ===
==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:09:15Z

Moderator: /* 　線形空間 */

=　線形代数 =
==　線形空間 ==
===　線形空間 ===
*[[wikipedia_ja:ベクトル空間|ウィキペディア(ベクトル空間)]]

===　計量線形空間===
定義 
K上の線形空間Vの任意の2元$\ x,\ y\ $に対して 
内積と呼ぶKの元$(x,y)$　が定まり、次の性質を持つとき、
'''計量線形空間'''(metric linear space)あるいは'''内積空間'''(inner product space)という。 
（１）$(x,y_1+y_2)= (x,y_1) + (x,y_2) $　 
$\qquad \ (x_1+x_2,y )= (x_1,y) + (x_2,y) $　 
$（２）\ (cx,y) = c(x,y), \qquad (x,cy) = \overline{c}(x,y)$ 
$（３）\ (x,y) = \overline{(y,x)}$ 
$（４）\ (x,x) \in {\bf R},\ (x,x)\geq 0, $ 
$\qquad \ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 $ 

==　固有値と固有ベクトル==
===　２次形式と2次曲線の分類===
==　ジョルダンの標準形 ==
===　単因子に基ずく方法 ===
===　幾何学的方法 ===
==　我々の住む空間の数学的公理化 ==
今までの議論をもとに、我々の住む空間の数学的な定義を与える（注参照）。 
まずn次元内積空間の定義を与え、この空間の簡単な性質について説明する。 
これは、空間のある点からみた他の点を、その方向と距離で定める時に必要になる。
 
これをもとにして我々の住む空間の数学モデルであるユークリッド空間の公理を与える。 
この空間のなかに 
直線、平面、長さや角度、平面の向きの定義を行い、その基本的性質を示す。 
これを進めると、ユークリッド幾何学が建設できる。 
我々の住む空間は3次元だが、数学的には何次元の場合も同じように扱えるので、 以下ではｎ次元空間で説明する($(n\in \{0\} \cup \bf{N}$)。 
参考文献 
斎藤正彦　線形代数入門　東京大学出版会
===　ユークリッド空間 ===
定義 
$S$を非空の集合、$V$をn次元内積空間とする。 
$S$と$V$の順序対$(S,V)$が次の３条件を満たすとき、ｎ次元ユークリッド空間という。 
（１）$S$の任意の2元$P,Q$の作る順序対$(P,Q)$に対して$V$の唯一の元$a$が対応する。 
この$a$を$\overline{(PQ)}$と書く。 
（２）$(\forall P\in S),(\forall a\in V),(\exists_{1} Q \in S)(\overline{(PQ)}=a)$ 
（３）$ a=\overline{(PQ)},b=\overline{(QR)} \Rightarrow a+b=\overline{(PR)}$ 
(注)　ユークリッド空間$(S,V)$は、単にユークリッド空間$S$と略記されることが多い。 
定義 
ユークリッド空間$(S,V)$における$V$を、$S$に付随する計量空間という。 
また$S$の元を点、$V$の元をベクトルという。 
命題

物理/☆☆線形代数

2024-08-23T12:08:52Z

Moderator: /* 　線形空間 */

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T15:06:49Z

Moderator: /* 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

*[https://www.mhlw.go.jp/wp/hakusyo/roudou/07/dl/02-04.pdf 平成19年版　労働経済の分析　ワークライフバランスと雇用システム第2章第4節ワークライフバランスの各国の動向 (厚生労働省)]

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、欧米に比べて非正規雇用労働者の賃金は正規雇用労働者の賃金より大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T15:01:52Z

Moderator: /* 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

*[https://www.mhlw.go.jp/wp/hakusyo/roudou/07/dl/02-04.pdf ワークライフバランスの各国の動向第2章第4節(厚生労働省)]

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、欧米に比べて非正規雇用労働者の賃金は正規雇用労働者の賃金より大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T14:55:07Z

Moderator: /* 社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、欧米に比べて非正規雇用労働者の賃金は正規雇用労働者の賃金より大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T14:47:14Z

Moderator: /* 労働時間短縮を実現するために必要な条件 */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、欧米に比べて非正規雇用労働者の賃金は正規雇用労働者の賃金より大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。
*[[職業家庭/誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある#誰もが幸福な人生を追求できる社会とは？|社会的共通資本が整っていること]]

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T14:46:41Z

Moderator: /* 労働時間短縮を実現するために必要な条件 */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、欧米に比べて非正規労働者の賃金は正規雇用労働者の賃金より大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。
*[[職業家庭/誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある#誰もが幸福な人生を追求できる社会とは？|社会的共通資本が整っていること]]

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T14:41:40Z

Moderator: /* 労働時間短縮を実現するために必要な条件 */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
また、日本では、非正規労働者の賃金は正規雇用労働者に比べて大変低い。
*[https://www.jri.co.jp/MediaLibrary/file/report/researchfocus/pdf/8773.pdf 同一労働・同一賃金をどう実現するか～日本の事情を踏まえつつ、雇用・社会制度全般の見直しを～調査部ﾁｰﾌｴｺﾉﾐｽﾄ山田久 (日本総研)]
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。
*[[職業家庭/誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある#誰もが幸福な人生を追求できる社会とは？|社会的共通資本が整っていること]]

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]

職業家庭/ワーク・ライフ・バランス

2023-12-10T13:58:17Z

Moderator: /* 労働時間短縮を実現するために必要な条件 */

=　5章　ワーク・ライフ・バランス =

== '''ワーク・ライフ・バランスとは何か　''' ==
=== 仕事・労働の役割 ===
３章で述べたように、仕事・労働の役割にはには２つの側面がある。 
第一は個々及び家族の生活を維持し豊かにするためである。 
第二に仕事にやりがいを見出し、仕事の成果により社会に寄与することであるする。 
ところが近年は仕事のために他の私生活の多くを犠牲にしてしまう事態が後を絶たなくなった。
特に日本では

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス#概説|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス#概説)]]

=== ワーク・ライフ・バランスの定義 ===

下記のウィキペディアの記事によれば、ワーク・ライフ・バランスとは以下のとおりである。 
「ワーク・ライフ・バランス（英: work life balance）とは、 
ひとりひとりの人が自分の時間を、仕事とそれ以外で、 
どのような割合で分けているか、どのようなバランスにしているか、ということ。 
英語辞書コリンズに掲載されている定義では、 
ひとりひとりの人が、日々をどのように構成しているか、 

たとえば仕事に何時間つかい、友人との交流や趣味の活動に何時間つかっているか、ということ。 
日本では、ワーク・ライフ・バランスとは、「仕事と生活の調和」と訳され、 
「国民一人ひとりがやりがいや充実感を持ちながら働き、仕事上の責任を果たすとともに、 
家庭や地域生活などにおいても、子育て期、中高年期といった人生の各段階に応じて 
多様な生き方が選択・実現できる」ことを指す。 

=== ワーク・ライフ・バランスという概念を定めた目的 ===
「働きすぎ」に陥らず、友人・家族などとの時間や趣味などに時間をしっかりと割り当てることで 
心身を健康に保ち、過労死や自殺を防ぐことにある。 

詳しくは次の記事をどうぞ。
*[[wikipedia_ja:ワーク・ライフ・バランス|ウィキペディア(ワーク・ライフ・バランス)]]

=== 日本におけるワーク・ライフ・バランス ===

詳しくは次の2つのサイトの記事を読んでください。

====内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室「仕事と生活の調和」推進サイト ====
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/index. 仕事と生活の調和 (内閣府男女共同参画局仕事と生活の調和推進室仕事と生活の調和」推進サイト)]
このサイトでの主張は次の通り。 
仕事は、暮らしを支え、生きがいや喜びをもたらすものですが、 
同時に、家事・育児、近隣との付き合いなどの生活も暮らしに欠かすことができないものであり、 
その充実があってこそ、人生の生きがい、喜びは倍増します。
しかしながら、現実の社会には、 
安定した仕事に就けず　経済的に自立することができない、 
仕事に追われ　心身の疲労から健康を害しかねない、 
仕事と子育てや老親の介護との両立に悩む 
など、仕事と生活の間で問題を抱える人が多く見られます。 
これらが、働く人々の将来への不安や豊かさが実感できない大きな要因となっており、 
社会の活力の低下や少子化・人口減少という現象にまで繋がっていると言えます。 
それを解決する取組が、仕事と生活の調和（ワーク・ライフ・バランス）の実現です。 
仕事と生活の調和の実現は、国民の皆さん一人ひとりが望む生き方ができる社会の実現にとって必要不可欠です。 
皆さんも自らの仕事と生活の調和の在り方を考えてみませんか。
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/nanoka.html なぜ今仕事と生活の調和なのか]　
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/definition.html 仕事と生活の調和とは何か（定義）]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/figure.pdf 仕事と生活の調和が実現した社会の姿 (PDF形式：729KB)]
*[https://wwwa.cao.go.jp/wlb/towa/pdf/role.pdf 仕事と生活の調和の実現に向け、関係者が果たすべき役割 (PDF形式：716KB)]

*[https://www.zenroren.gr.jp/jp/kintou/decent/decent.html#05 全労連パート(非正規労働者「改正」パート法を活用しよう)]

=== 欧米諸国におけるワーク・ライフ・バランス ===

== '''ワーク・ライフ・バランスを実現するために必要な諸条件''' ==
==='''労働時間短縮は不可欠''' ===
ワーク・ライフ・バランス　には、短時間労働が不可欠である。 
理由は次の通り。 
①　健康で文化的な生活を送るため（家族のだんらん、休養や趣味でリラックス、健康維持） 
②　激動の時代に生きるための学習時間の保障。 
③　幸福追求の基盤を維持・発展させる社会活動のための時間の保障。 

==== '''労働時間短縮を実現するために必要な条件''' ====

ⅰ）法定労働時間働けば健康で文化的な最低限の生活ができること。 
このためには、非正規雇用者も含めた、最低賃金の引上げ、同一労働同一賃金の確立が不可欠である。
*[[wikipedia_ja:最低賃金 |ウィキペディア(最低賃金 )]]
*[[wikipedia_ja:同一労働同一賃金|ウィキペディア(同一労働同一賃金 )]]
日本の最低賃金や平均賃金は、[[wikipedia_ja:購買力平価 |購買力平価]]で比較すると、 
OECD諸国のなかでは下位にあり、 
2022年には韓国よりも低くなると思われるようにアジア諸国でも順位を落として来ている。 
ⅱ）業務量を減らす仕組みをつくる 
ⅲ）業務の効率化を図る 
ⅳ）家庭での家事労働の分担を行う。 

=== '''働きがいのある人間らしい仕事''' ===
また　ワーク・ライフ・バランス　には、ディーセント・ワーク(働きがいのある人間らしい仕事)が必要である。 
ウィキペディアの「ディーセント・ワーク」という項目の記事の序文は以下の記述で始まる。 
ディーセント・ワーク（英語: decent work、働きがいのある人間らしい仕事）は、 
2009年に国際労働機関（ILO）総会において21世紀のILOの目標として提案され支持された。 
英語のdecentは「きちんとした」「まともな」「適正な」といった意味がある。 
近年では、2006年の国際連合経済社会理事会は、 
経済的、社会的及び文化的権利に関する国際規約の第7条の『公正で好ましい条件での仕事』は 
ディーセント・ワークと解釈されなければならないという総括所見を示した。 
さらに2011年に採択された家庭内労働者に関する国際労働条約第189号の表題に明記された。 

ディーセント・ワークとは、人間らしい生活を継続的に営める人間らしい労働条件のことである。 
●　直接的な労働条件としては 
労働時間（1日あたり1週あたり)、賃金、休日の日数、労働の内容、などが人間の尊厳と健康を損なうものでなく、 
人間らしい生活を持続的に営めることが求められる。 
●　さらに、それを保障する労働条件として、 
結社の自由・団体交渉権・失業保険・十分な雇用・雇用差別の廃止・最低賃金などが確保されている（つまり、労働者保護が十分である） 
ことが求められる。 
後半の労働条件は前半の直接的な労働条件を改善・維持するために必要な条件である。 
この両方の労働条件が確保された場合ディーセント・ワークが実現されたといえる。 

国際労働機関ではこれらの労働条件を具体的に条約・勧告として定め、 
監視機関を持つことによってすべての人にディーセント・ワークが実現するよう進めている。 
前述のものはほぼすべて条約化されているが、日本は批准していないものが多い。 

持続可能な開発目標も持続可能な経済成長の一環としてディーセント・ワークの促進を掲げている。
*[[wikipedia_ja:ディーセント・ワーク |ウィキペディア(ディーセント・ワーク )]]

=== '''社会に　教育機関等の社会的共通資本が整備されていること''' ===
社会的共通資本については、本テキストの第一章で紹介した。 
以下にその記事へのリンクを貼ってある。
*[[職業家庭/誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある#誰もが幸福な人生を追求できる社会とは？|社会的共通資本が整っていること]]

*[http://ja.iwschool.org/wiki/%E8%81%B7%E6%A5%AD%E5%AE%B6%E5%BA%AD/%E8%AA%B0%E3%81%A7%E3%82%82%E5%B9%B3%E5%92%8C%E3%81%A7%E5%B9%B8%E7%A6%8F%E3%81%AA%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%82%92%E9%80%81%E3%82%8B%E6%A8%A9%E5%88%A9%E3%81%8C%E3%81%82%E3%82%8B#.E3.80.80.EF.BC.88.EF.BC.93.EF.BC.89.E7.A4.BE.E4.BC.9A.E7.9A.84.E5.85.B1.E9.80.9A.E8.B3.87.E6.9C.AC.E3.81.8C.E6.95.B4.E3.81.A3.E3.81.A6.E3.81.84.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8.E3.80.80 第一章誰でも平和で幸福な人生を送る権利がある 1.3.3 　（３）社会的共通資本が整っていること]