最適化理論/ゲーム理論

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A,Bがじゃんけんを繰り返し,毎回,勝ったほうが10点を得るゲームを行う. A,Bが繰り出す手によって得られる得点をAの視点から表にしたものが以下である。

Aはどのように「グー」「チョキ」「パー」の手を繰り出していけば、得点が最大になるだろうか？ 例えばAが「グー」を出し続けていけば,Bはそれを観て「パー」を出し続けて,Bは勝ちを繰り返すことができる. Aが「グー」「チョキ」「パー」をこの順に規則的に繰り返していけば,Bはそれを観て 「パー」「グー」「チョキ」　という対抗手段を講じて勝ちを繰り返すことができる.

結局,Aは「グー」「チョキ」「パー」を不規則に出すことになる.それでは,どのようなそれぞれ確率で出せば 得点の期待値を最大にできるか？　という問題に帰着するだろう.

Aが「グー」「チョキ」「パー」を出す確率をそれぞれ \(p_1,p_2,p_3\)とする.

\(0 \le p_1,0 \le p_2,0 \le \qqud p_3 p_1+p_2+p_3=0 \qqud (1) \)

ここで問題の簡単化のため,得点表のそれぞれ要素の値を正数とするため各要素に10を加えておく. Aが得られる得点の期待値を求めれば

である. この問題に解が存在するとすれば,その得点の期待値\(0 \lt G\) とすれば

ゲーム理論