勾配法

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UNIQ30355baf3228af44-MathJax-2-QINU2 による版
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一次アルゴリズム

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-56-QINU を例にとる.UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-57-QINUを列ベクトルと行列

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-58-QINU

を使って表現すると

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-59-QINU

から UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-60-QINU と書ける.


ここで,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-61-QINUのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-62-QINUについての偏微分係数はそれぞれ,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-63-QINU

である。これらを要素にもつ列ベクトルは, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-64-QINUのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-65-QINUについて の微分であり,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-66-QINU

である。

また,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-67-QINUの2階微分は

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-68-QINU である。

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-69-QINU とすると

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-70-QINU

である.


これを一般化する.関数UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-71-QINUが解析的な関数なら,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-72-QINU

となる.UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-73-QINUは3次以上の高位の項である。

勾配を使う計算法

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-74-QINUを最小化するため先ず,

初期点   UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-75-QINU を与えて,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-76-QINUを求め,次に,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-77-QINUでのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-78-QINUの微分,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-79-QINU

を求め,これと微小な正数UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-80-QINUを使って,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-81-QINU

として,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-82-QINUを計算すると,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-83-QINU

ここで,任意のベクトル UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-84-QINU について

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-85-QINU であるからUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-86-QINUである。

同様に,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-87-QINU

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-88-QINU

である。

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-89-QINUが十分小さければ, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-90-QINU として, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-91-QINU となる.

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-92-QINU を新たな初期点としてこれを繰り返すことができる.このような方法を勾配法と呼ばれる.


特に,毎回の繰り返しで,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-93-QINU

となるように,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-94-QINUを選ぶ繰り返し計算法を最急降下法と呼ぶ.

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-95-QINU

を繰り返しながら

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-96-QINU

を生成し, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-97-QINU

とする計算法は,一次アルゴリズムと呼ばれている.

2次アルゴリズム

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-98-QINU

を使って,高速なアルゴリズムを造る.

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-99-QINU

とおき,上の式の右辺を書き換える.

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-100-QINU

これはUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-101-QINUについての2次式である。この式がUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-102-QINUについて,極小になるための 条件は,極値条件(UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-103-QINUについての微分がUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-104-QINUベクトル)

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-105-QINU

である。これから,行列 UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-106-QINU が正則(逆行列をもつ)とすれば,

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-107-QINU

が得られる.

UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-108-QINU を繰り返すアルゴリズムはニュートン法と呼ばれる.

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