勾配法
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一次アルゴリズム
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-56-QINU を例にとる.UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-57-QINUを列ベクトルと行列
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-58-QINU
を使って表現すると
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-59-QINU
から UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-60-QINU と書ける.
ここで,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-61-QINUのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-62-QINUについての偏微分係数はそれぞれ,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-63-QINU
である。これらを要素にもつ列ベクトルは, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-64-QINUのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-65-QINUについて の微分であり,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-66-QINU
である。
また,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-67-QINUの2階微分は
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-68-QINU である。
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-69-QINU とすると
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-70-QINU
である.
これを一般化する.関数UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-71-QINUが解析的な関数なら,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-72-QINU
となる.UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-73-QINUは3次以上の高位の項である。
勾配を使う計算法
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-74-QINUを最小化するため先ず,
初期点 UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-75-QINU を与えて,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-76-QINUを求め,次に,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-77-QINUでのUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-78-QINUの微分,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-79-QINU
を求め,これと微小な正数UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-80-QINUを使って,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-81-QINU
として,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-82-QINUを計算すると,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-83-QINU
ここで,任意のベクトル UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-84-QINU について
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-85-QINU であるからUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-86-QINUである。
同様に,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-87-QINU
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-88-QINU
である。
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-89-QINUが十分小さければ, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-90-QINU として, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-91-QINU となる.
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-92-QINU を新たな初期点としてこれを繰り返すことができる.このような方法を勾配法と呼ばれる.
特に,毎回の繰り返しで,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-93-QINU
となるように,UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-94-QINUを選ぶ繰り返し計算法を最急降下法と呼ぶ.
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-95-QINU
を繰り返しながら
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-96-QINU
を生成し, UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-97-QINU
とする計算法は,一次アルゴリズムと呼ばれている.
2次アルゴリズム
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-98-QINU
を使って,高速なアルゴリズムを造る.
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-99-QINU
とおき,上の式の右辺を書き換える.
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-100-QINU
これはUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-101-QINUについての2次式である。この式がUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-102-QINUについて,極小になるための 条件は,極値条件(UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-103-QINUについての微分がUNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-104-QINUベクトル)
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-105-QINU
である。これから,行列 UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-106-QINU が正則(逆行列をもつ)とすれば,
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-107-QINU
が得られる.
UNIQ4e874d1268888ec6-MathJax-108-QINU を繰り返すアルゴリズムはニュートン法と呼ばれる.