経路問題
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有向グラフ
有向グラフは,ここではUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-165-QINUで表すが,コンピュータや,ネットワークにもよく使われる。有向グラフUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-166-QINUは
(1) 節点の集合UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-167-QINU
(2) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-168-QINUの点の順序対UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-169-QINUの集合UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-170-QINU
からなる.
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-171-QINUのときUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-172-QINUである.
また
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-173-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-174-QINUはUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-175-QINUの自乗直積 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-176-QINU の部分集合である. すなわち,
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-177-QINU
順序対UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-178-QINUは向きのついた枝,あるいは弧と呼ばれ,
(図5.1) 
のように表すことができる。UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-179-QINUは始点,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-180-QINUは終点と呼ばれる。 このような枝のまたは弧の図をつなぎ合わせば,有向グラフ UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-181-QINUを平面図で表すことができる。
(図5.2) 
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-182-QINU
ラベル
有向グラフUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-183-QINUの弧には,長さや,所要時間などのデータでラベル付けされているとき UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-184-QINUをラベル付き有向グラフといいます。
(図5.3) 
路
節点の多重対 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-185-QINUで,各UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-186-QINUがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-187-QINU の元,すなわち弧であるものを 路といいます。
上の図では,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-188-QINUなどが路である.
最短路問題
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-189-QINUをラベル付き有向グラフとする。ただし,
(図5.4) 
のUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-190-QINUのように「閉じた路」は含まないものとする。
さて,簡単にするため、集合UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-191-QINUがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-192-QINU個の節点からなっているとして
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-193-QINUとし,夫々の弧に付けられている,ラベルはその弧の長さを 表すものとしておく。
(図5.5) 
弧をつなぎ合わせて作られる路の長さは,それを構成している弧の長さの和で 表します。例えば(図5)で路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-194-QINUの長さは,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-195-QINUでUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-196-QINUである.
節点1から出発して,節点nへ行くための長さ最小の路をどう求めるかという問題を考えます。(図5.5)の例では,路(1,2,5,6)が解で,長さUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-197-QINUである.
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-198-QINUの点の数が少なければ,路を全て調べてみるのも一つの方法であるが,数が多くなると 実用的ではない。
D.P.(ダイナミック・プログラミング)と最短路
D.P.の原理
(図5.6) 
節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-199-QINUから節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-200-QINUへの最短路が与えられたとする。その路が途中に節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-201-QINUを経由しているとすると, その経路のUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-202-QINUからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-203-QINUへの部分の路も,やはりUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-204-QINUからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-205-QINUへの最短経路になっている.
実際,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-206-QINUからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-207-QINUへの別の最短路があったとすると,例えば,(図6)の 節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-208-QINUを経由して,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-209-QINUに行く路がそうであったとすると
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-210-QINU
となり,これから
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-211-QINU
であるから,路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-212-QINUが最短路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-213-QINUより短くなってしまい, 路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-214-QINUが最短であることに矛盾する.
結局, 「全体が最短（最適）ならその部分も最短（最適）」 である.
このような,性質を体系的に扱った最適化法の研究がベルマンによってなされた.
ベルマンのUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-215-QINU（ダイナミック・プログラミング）とか最適性の原理と呼ばれている.
再帰的な計算法
最適性の原理を使うと,例えば,接点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-216-QINUからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-217-QINUまでの路が存在するとして,その中の 最短路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-218-QINUの長さをUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-219-QINUで表すと
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-220-QINUからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-221-QINUまでの弧UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-222-QINUが存在しない場合はUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-223-QINU としておき,
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-224-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-225-QINU
という「再帰的」な定義ができる。
ここで,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-226-QINUとする。
これは,節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-227-QINUからの弧UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-228-QINUが存在する節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-229-QINUについて,
節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-230-QINUから節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-231-QINU までの最短の長さUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-232-QINUをもつ路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-233-QINUと 長さUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-234-QINUの弧UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-235-QINU をつなげた路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-236-QINU の長さ
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-237-QINU
のうち,最短のものがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-238-QINUであるという意味である.
(図5.5)
に適用すると
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-239-QINU
Dijkstraの方法
DPの原理を使った効率的な方法として,Dijkstraの方法が知られている. Dijkstraのアルゴリズム (Wikipedia)
準備 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-240-QINU
手順1 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-241-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-242-QINU
手順2 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-243-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-244-QINUがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-245-QINUの元で,かつ,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-246-QINUがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-247-QINU の要素となる全てのUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-248-QINU に対して以下の手続き[]を繰り返す。
[もしUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-249-QINU ならば UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-250-QINU そうでなければ何もしない.]
手順1にもどる。
このアルゴリズムの終了時には,
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-251-QINUには節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-252-QINUから節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-253-QINUへの最短の長さ, UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-254-QINUには節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-255-QINUから節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-256-QINUへの最短路で,節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-257-QINUの直前の節点の番号
が書き込まれている.
以下このDijkstraの方法を図5の例に適用してみる.
図5.5は、
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-258-QINU
準備 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-259-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-260-QINU を999として
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-261-QINU
手順１(1回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-262-QINU
となり、m=1を選ぶ｡
手順２(1回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-263-QINU
手順１(2回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-264-QINU
となり、UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-265-QINUを選ぶ｡
手順２(２回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-266-QINU
手順１(３回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-267-QINU
手順２(３回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-268-QINU
手順１(４回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-269-QINU
となり、UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-270-QINUを選ぶ｡
手順２(４回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-271-QINU
手順１(５回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-272-QINU
となりUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-273-QINUを選ぶ｡
手順２(５回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-274-QINU
手順１(６回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-275-QINU
となり、UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-276-QINUを選ぶ｡
手順２(６回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-277-QINU
手順１(７回目) UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-278-QINUなのでUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-279-QINUとなり終了
節点1から節点UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-280-QINUへの最短の長さ UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-281-QINU 節点1から節点6への最短路で節点6の直前の節点の番号 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-282-QINU
無向グラフ
最短路問題ではラベル付き有向グラフを扱ったが,ここでは,弧で結ばれている節点間は, 双方向に行き来できるものとする。
従って,図示した場合も始点,終点といった「向き」はない。 このようなグラフUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-283-QINUは無向グラフと呼ばれる。これは UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-284-QINU
からなる。
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-285-QINUである.
この非順序対\{a,b\}も弧と呼ぶことにする。有向グラフのような始点,終点はない．
(図5.7)
のように表すことができる。有向グラフと同様に枝のまたは弧の図をつなぎ合わせば,
グラフUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-286-QINUを平面図で表すことができる。
(図5.8)
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-287-QINU
ラベル
有向グラフと全く同様に無向グラフG=(P,V)の弧にも,長さや,所要時間などのデータでラベル付け することができる。
(図5.9)
路
有向グラフと同様に節点の多重対 UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-288-QINUで,各UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-289-QINU がUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-290-QINUの元,すなわち弧であるものを 路と呼ぶことにする。
上の図では,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-291-QINUなどが路である.
巡回セールスマン問題
さて,簡単にするため,集合UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-292-QINUがUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-293-QINU個の節点からなっているとして
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-294-QINUとし,夫々の弧に付けられている,ラベルはその弧を移動する 費用は表すものとしておく。
(図5.10)
弧をつなぎ合わせて作られる路を移動する費用は,それを構成している弧の費用の和で 表します。上の図で路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-295-QINUの費用は,20+20+40で80である.
巡回セールスマン問題は,各節点を,例えば都市に,費用を運賃として,都市１を出発して各都市UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-296-QINUを巡回（1回だけ訪れて）して, 再び都市１に戻ってくる,路の内費用最少の ものを求めるといった問題である.
(図5)の例では,路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-297-QINUとUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-298-QINUが解で,費用が130である.
可能な路を全てを調べても,１番目の都市3通りUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-299-QINU2番目の都市2通りUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-300-QINU３番目の都市1通り=3!通りで順序を 逆に回っても同じであるから2で割って,結局3!/2通りである.しかし,都市の数が増えると非常に難しくなる。
D.P.の適用
有グラフ最短路問題と同様に最適性の原理を使って組織的に調べることができる。
例えば,都市UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-301-QINUを出発して,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-302-QINUを巡回して,
最後に都市UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-303-QINUを訪れるまでの最小費用をUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-304-QINUで表すと, その最小になる路を通ってさらに都市UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-305-QINUに戻ってくるまでの費用は
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-306-QINU
である.全く同様に,費用最少で,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-307-QINUを巡回後,都市3を訪れ,都市UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-308-QINU に戻る費用は
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-309-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-310-QINUを巡回して,最後に都市4を訪れ,都市1に戻る費用は
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-311-QINU
である. 結局,最小の費用は
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-312-QINU
であり,その最少費用を実現する路が求めるものである.
有グラフの場合と同様にUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-313-QINUも再帰的に, 都市1を出発して,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-314-QINUを巡回して,最後に都市2を訪れるまでの 最小費用であるから
都市1を出発して,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-315-QINUを巡回して都市3を訪れ,ついで都市2を訪れる費用
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-316-QINU
都市1を出発して,UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-317-QINUを巡回して都市4を訪れ,ついで都市2を訪れる費用
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-318-QINU
のうち何れか小さい方：
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-319-QINU
で求められる。
さらに,
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-320-QINUは路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-321-QINUの費用であるからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-322-QINU
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-323-QINUは路UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-324-QINUの費用であるからUNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-325-QINU
である.
結局,最小の費用は以下の再帰的な計算により求めることができる。
UNIQ658a28ee2018a42d-MathJax-326-QINU
しかしながら,この方法は組織的ではあるが,「全件探索」(全ての可能な候補を全て当たる) であり,都市の数が１0～20ぐらいまでが限界である.
分岐限定法
ここで扱っている,巡回セールスマン問題には,解法の「決定打」はない。 問題の難しさを表す場合によく出てくる「NP困難問題」の一つである. 種々な方法が考案されている。「分岐限定法」もその一つである.
