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線形計画法(生産計画)

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UNIQ45e58b0c5ee576cf-MathJax-2-QINU2 による版

線形計画法は 線形計画法 (Wikipedia)に説明がある.

解法には

シンプレックス法(Wikipedia)や内点法(Wikipedia)がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい.

ここでは2つの例を用いて説明する. Microsoft Excel のソルバーを用いた解法例も説明する.

生産計画

例題1

ある製造会社があって, xyという2種類の製品の製造販売をしている. これらを製造するには, 原材料ABCが必要で, x, yをそれぞれ1単位当 たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている.


x, yを販売するとそれぞれ1単位当たり2万円, 1万円の利益が得られる. 問題は, 表の在庫量の範囲で, xyをそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大に なるかである。


線形計画法(1)

これを数式化すると, x, yの製造量をx, yで表すとして:

原材料A, B, Cについての制約から

10x+20y400(1)20x+10y600(2)15x+40y1300(3)

負の生産量はないのであるから

0x(4)0y(5)

利益は

f(x,y)=2x+y(6)

で結局, (6)を(1)(5)の条件のもとで最大にすることになる。


下の図は関数f(x,y)=2x+yの図である。

(図1.0)

条件(1)(5)を充たす点P=(x,y)は 下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。

(図1.1)

この凸多角形の頂点を P0=(x0,y0),P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),P3=(x3,y3),P4=(x4,y4) とすると,

内部の点P=(x,y)はこれらの頂点Pi=(xi,yi),i=0,1,2,3,4によって


(1)P=λ0P0+λ1P1+λ2P2+λ3P3+λ4P4(2)λ0+λ1+λ2+λ3+λ4=1(3)0λ01,  0λ11,  2λ21,0λ31,  0λ41


で表される。これをPi=(xi,yi),i=0,1,2,3,4の凸結合という.

f(x,y)=2x+y(6)

には「線形性」が成り立っている.

これは P=(x,y),Q=(x,y)

α,βについて,

f(αP+βQ)=f(α(x,y)+β(x,y))=αf(x,y)+βf(x,y)=αf(P)+βf(Q)

という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。


まず各頂点での関数fの値

f(Pi)=f(xi,yi),i=0,1,2,3,4

のうち最大値をf(P)=f(x,y)とする.

凸多角形の内の任意の点P=(x,y)に対するf(P)=f(x,y)

PPi=(xi,yi),i=0,1,2,3,4 の凸結合で表されることから

f(P)=f(λ0P0+λ1P1+λ2P2+λ3P3+λ4P4)

さらにfの線形性から

=λ0f(x0,y0)+λ1f(x1,y1)+λ2f(x2,y2)+λ3f(x3,y3)+λ4f(x4,y4)


f(P)=f(x,y)が最大で,(3)のように各λiは正の数(1λi0)であるから,

(λ0+λ1+λ2+λ3+λ4)f(x,y)


さらに,(2)から

λ0+λ1+λ2+λ3+λ4=1

f(P)=f(x,y)f(x,y)=f(P)

となる。結局,関数fの制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、

頂点での関数fの値を調べれば良いことが判る.


(図1.2)

(1)(5)式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ, (6)式のように評価関数も1次式で与えられる問題は線形計画法と呼ばれる.

線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での 関数fの値を効率的に調べる方法である。 適当な,頂点から始め,関数fの値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す.

この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。

線形計画法(2)

例題2

ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している. 製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする.  また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.

この問題も例題1と同じように以下のように数学的に定式化される. 製品A,B,Cをそれぞれx1,x2,x3 単位生産するときx1,x2,x3は以下の不等式を満たす.

4x1+0x2+7x3901x1+3x2+9x3606x1+0x2+14x31104x1+10x2+1x375 (1)

さらに各製品生産量は負ではないから

0x1,0x2,0x3(2)

この制約条件のもとに

L(x1,x2,x3)=80x1+110x2+95x3(3)

を最大にするx1,x2,x3を求めよ.


この問題の解法にはシンプレックス法内点法がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい.


この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる. この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。


Microsoft Excelのソルバー を用いる.

  • ソルバーの導入
  • Excel の メニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である. 

そのままソルバーによる解法の例を実行する. 

  • Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合
    • ファイル > オプション > アドイン の順に選択
    • アドインの表示窓 アクティブでないアプリケーションにExcelソルバー があることを確認
    • 画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後,設定(G)をクリック
    • 有効なアドインが小窓で表示される. その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.
  • ソルバーによる解法の例 
    • Excelに下記の作成例のように表1のデータを作成する.


この作成例では セル B2,C2,D2 が 製品A,B,Cのそれぞれの生産量 x1,x2,x3を表す.

    • 線形の一次式

4x1+0x2+7x31x1+3x2+9x36x1+0x2+14x34x1+10x2+1x3

をE3, E4, E5, E6に入力している.

ここで,sumproduct(B4:D4,B2:D2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積 B4*B2+C4*C2+D4*D2 であり4\bulletx_1+\ \ 0\bulletx_2+\ \ {7\bulletx}_3 を表す.

    • F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.
    • E7には

L(x1,x2,x3)=80x1+110x2+95x3

を表す式を入力している.

    • 表のデータを入力後,
      • メニュー 「データ」,「分析」,「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く.

      • 目的の設定という欄にセルE7を指定する 
      • 目標値には「最大値」を選択し,チェックを入れる.
      • 変数セルの変更欄にはx_1,x_2,x_3を表すセルB2からD2をドラックして指定する.
      • 制約条件の対象の欄には

この例題の制約条件式

4x1+0x2+7x3901x1+3x2+9x3606x1+0x2+14x31104x1+10x2+1x375

を表す式を入力する.   このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ, 例えば

4x1+0x2+7x390

を表す式を入力するのであればセルの参照欄に4x1+0x2+7x3を表すセルE3を指定 ≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する.入力後さらに「追加」をクリックし他の3つの制約条件式も同様に入力する.

      • さらに, 制約条件式 

0x1,0x2,0x3 を入力するため

「制約のない変数を非負数にする」 にチェックを入れる.


    • 最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.


x1=7.8,x2=3.9,x3=4.5 のときに

L(x1,x2, x3)=80x1+110x2+95x3 

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.

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