整数問題

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整数計画

生産計画で述べた条件と全く同様に,企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする． 　また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?. ただし,生産量は整数値でなければならない。

原材＼製品名	A	B	C	使用できる上限
Ⅰ	4	0	7	90
Ⅱ	1	3	9	60
Ⅲ	6	0	14	110
Ⅳ	4	10	1	75

この問題は以下のように数学的に定式化される．

整数計画法

製品A,B,Cをそれぞれ\(x_1,x_2,x_3\) 単位生産するとき\(x_1,x_2,x_3\)は以下の不等式を満たす.

\( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) \)

\( x_1,x_2,x_3 \in N, 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 \)

この制約条件のもとに

\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 \)

を最大にする\(x_1,x_2, x_3\)を求めよ.

この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる.

この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。 ファイル:整数計画.pdf

作成したデータは以下の通りである.

ソルバーのパラメータ　入力は以下の通りである.

ソルバーによる結果は以下の通りである.

$x_1=16,x_2=1,x_3=1$

のときに

$L\left(x_1,x_2, x_3\right)=80x_1+110x_2+95x_3$　

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.