論理的思考法/帰納的推論
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帰納法
簡単な例を考える.
ある過度な飲酒僻がある人が,友人に自分が泥酔する原因はアルコールではないと主張し,自身の体を使って以下の実験を行った.
- 日曜 ウイスキーの水割りを多量に飲用した
- 月曜 ウォッカのオンザロックを多量に飲用した
- 火曜 ブランデーと炭酸水を多量に飲用した
- 水曜 ワインとミネラルウォーターを多量に飲用した
- 木曜 ジントニックと炭酸水を多量に飲用した
- 金曜 テキーラとミネラルウォーターを多量に飲用した
- 土曜 リキュールとミネラルウォーターを多量に飲用した
当然ながら,この人物は１週間毎日泥酔した.そして,日曜日に自分が飲用したものには全て水が共通している. よって自分が泥酔する原因は水であると主張した.
この人物の主張の正当性は別にして,推論法には演繹推論によらない
帰納法がある.
既知の事実を確認するのではなく,未知の現象を解析するには有効な手段である.実際,科学の発見の大多数は既知の事実から演繹推論によって
導き出した結論ではなく実験を繰り返したり何回も経験した事実の観察を通して得られたものである.
このため帰納法を推論手段として適切に用いることは重要である.
「帰納（きのう、英: Induction、希: επαγωγή（エパゴーゲー））とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。 」(Wikipedia)
ここで数学的帰納法は帰納法という名前ではあるが演繹推論であることに注意する. これは自然数についての基本的な公理
「自然数の任意の空でない集合は最小元をもつ」(ペアノの公理)
によって命題を証明する演繹推論である.
自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-46-QINUについての命題UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-47-QINUについて
- UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-48-QINUが成り立つ
- 「UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-49-QINUならばUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-50-QINUである」が任意の自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-51-QINUについて成り立つ
という条件から
任意の自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-52-QINUについてUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-53-QINUが成り立つ
というものである.
これの正当性は以下による.
結論「任意の自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-54-QINUについてUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-55-QINUが成り立つ」 の否定を仮定すると
「ある自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-56-QINUが存在してUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-57-QINUが成り立たたない」
となる.
すると UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-58-QINUが成り立たない自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-59-QINU全部の集合をUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-60-QINUとすると 上の仮定からUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-61-QINUには少なくとも一つそのような自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-62-QINU が属するから空集合ではない.
(ペアノの公理)からUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-63-QINUには最小元UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-64-QINUが存在する. UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-65-QINUが成り立っているからUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-66-QINUはUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-67-QINUには属さずUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-68-QINUとは異なる. よってUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-69-QINU である.これからUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-70-QINU であり,
UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-71-QINU が導かれ, UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-72-QINUは自然数である,
しかも
UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-73-QINU
である. ここでもしUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-74-QINUが成り立たないとすると UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-75-QINUはUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-76-QINUに属することになる.
しかしUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-77-QINUであるから UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-78-QINUがUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-79-QINUの最小元であることに矛盾する.
従って UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-80-QINU が成り立っている.
すると,帰納法の条件2からUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-81-QINU すなわちUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-82-QINUが成り立つ.
これはUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-83-QINUがUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-84-QINUの元であることに矛盾する.
この矛盾は結論「任意の自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-85-QINUについてUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-86-QINUが成り立つ 」の否定を仮定したことによる.
よって 任意の自然数UNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-87-QINUについてUNIQ3e700f8349126d8a-MathJax-88-QINUが成り立つ
帰納法の利用
帰納法は様々な場面に使われている. 例えば2020年1月頃から世界的に流行している新型コロナウイルス の災禍について,日本や台湾などが他国と比較して感染による死亡者が少ないことについての結核予防のBCG注射を国民全員に施していることが原因とする主張が国内で数多くみられた。またその主張の正当性の根拠になりうる研究資料も公表されている.
BCGワクチン接種義務の制度化が新型コロナウイルスの拡散率を低下させる可能性を示唆 (京都大学)
BCGと新型コロナウイルス感染症の問題 (結核研究所 副所長 慶長直人，生体防御部部長 土方美奈子)
上記に述べられているように「BCGを定期接種している国では，新型コロナウイルス感染者あるいは死亡者が少ないように見えるとい
う統計的な観察」
は2020年7月時点の世界の感染状況を正しく反映している.
前述の「前提が真である」が成り立っている,
この推論が正しいのかどうかは現時点(2020年12月)では不明である。 統計上はBCG注射との高い相関がみられるが, 一方これらの国は高度な医療制度があり国民の衛生意識や日頃から風邪をひいた際にはマスクを常用して他者への感染を防ぐ努力をするなど規範意識が高い.これらが起因しているかもしれない. 既に述べたように「結論が真である」ことは保証されない.
しかしながら,米国,イギリスの製薬会社がワクチン製造で最終的な治験の成功を公表し,日本でそれらの接種が近々行われる 状況にあるとは言っても,上記の推論が正しければ今後の日本の対応に有用な情報を提供している. 帰納法は未知の現象を解析するには有効な手段である.
