物理/運動法則の応用3
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運動の法則の応用(３）剛体の回転運動と釣合い
ある点の周りの力のモーメントUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-421-QINU が、その点をとおる、あらゆる回転軸にかんする回転力を表現していることがわかった。
この節では力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-422-QINUと運動量の変化の関係をあたえるニュートンの運動方程式（第2法則）を変形して、
回転力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-423-QINUにかんする方程式を導く。
またその応用として、剛体のつり合い条件を求める。
剛体の内部力についての仮定
直交右手座標系UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-424-QINU を定める。原点 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-425-QINU は、考察に都合のよい点を選ぶ。
剛体をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-426-QINU個の（質点と考えてよい）微小部分UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-427-QINUに分け、
その質量をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-428-QINU、位置ベクトルをUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-429-QINUとする。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-430-QINUが外部から受ける力をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-431-QINU、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-432-QINU が剛体の他の部分UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-433-QINU から受ける力(内力)をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-434-QINUとおく。
後者は、剛体が変形しないよう、剛体の原子間に働かせる力に起因する。
この原子間の力は、原子の電荷による電気力と、
原子同士が接近しすぎたときに作用する量子力学的力により生じる。
作用・反作用の法則（運動の第3法則）から、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-435-QINU 。
さらに、剛体の２点間に働く内力の方向は、
その２点を結ぶ直線の方向と同じだと、仮定する。
各質点のニュートンの運動方程式
各質点ごとに、ニュートンの運動方程式を立てると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-436-QINU
これを変形して
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-437-QINU UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-438-QINU
この式から、
力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-439-QINUの回転力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-440-QINUにかんする式を導こう。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-441-QINUにかんする式の誘導
式（１）の両辺に左側から、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-442-QINU のベクトル積を施すと、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-443-QINU UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-444-QINU
ベクトル積の性質３と性質４により、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-445-QINU UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-446-QINU
ここで、ベクトル積の性質８より
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-447-QINU
なので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-448-QINU
質点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-449-QINUの運動量をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-450-QINUと書くと、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-451-QINUなので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-452-QINU
定義；角運動量(運動量のモーメントともいう）
質点の位置ベクトルをUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-453-QINU、運動量をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-454-QINUと書くとき、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-455-QINUを,この質点の角運動量と呼ぶ。
これを用いると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-456-QINU
回転の運動方程式の導出
故に、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-457-QINU
ここで、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-458-QINU
式（４）の右辺の第２項の上付き添え字i,jを、それぞれ、j'と i'でおきかえられるので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-459-QINU
内力は作用反作用の法則が適用できると仮定しているので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-460-QINU 。この式を上の式の右辺に代入すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-461-QINU
この式の右辺の和をとる変数i',j' を i,j におきかえると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-462-QINU
この式を、式（5）の右辺の第２項に代入して整頓すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-463-QINU
さらに、内力に関する第２の仮定により、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-464-QINU とUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-465-QINUは同じ方向なので、ベクトル積の定義より、この項は、零となることが分かる。
故に、式（４）の右辺の第２項は零となり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-466-QINU
が得られる。全角運動量をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-467-QINUとおけば、
式（６）は、次のように書ける。
命題；回転運動の関するオイラーの運動方程式
剛体の内力に上述の2つの仮定を付ける。このとき、
剛体に作用する全ての外部力の原点周りの力のモーメントUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-468-QINUと、
全角運動量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-469-QINUの間には、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-470-QINU （７）
この命題の導出までは詳しく述べたが、本テキストではこれ以上は深入りしない。
この先にも興味がある方は、次の記事をご覧ください。
固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式
回転運動の運動方程式から、任意の軸の周りの回転運動の方程式が簡単に導出できる。
ｚ軸周りの場合を例にとり、説明する。
ｚ軸周りの回転力はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-471-QINUなので、
回転運動の方程式から
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-472-QINU
この式の右辺に,UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-473-QINU を代入すると
右辺
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-474-QINU 微分の加法性から
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-475-QINU 内積の加法性から
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-476-QINU ベクトル積の性質８から
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-477-QINU UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-478-QINUを代入し、ベクトル積の性質を用いると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-479-QINU
故に、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-480-QINU
剛体はｚ軸の周りを回転するので、
その各点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-481-QINU(位置ベクトルUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-482-QINU）は、
ｚ軸と直交する平面上を、ｚ軸を中心とする円を描いて運動する。
この拘束条件を考慮して、
時刻UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-483-QINUの位置ベクトルUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-484-QINUの座標成分を書きなおすと、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-485-QINU
ここでUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-486-QINUは、点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-487-QINUとｚ軸との距離、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-488-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-489-QINUをｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角度である。図参照。
剛体につけておいた印UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-490-QINUの位置ベクトルUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-491-QINUを
ｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角（回転角）UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-492-QINUを用いると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-493-QINU
（UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-494-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-495-QINUごとに決まる、定数）と書ける。
式（１）の右辺を、式（２）を利用して、変形すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-496-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-497-QINU
ベクトル積の性質６より、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-498-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-499-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-500-QINU
ここで、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-501-QINUを代入すると
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-502-QINU
以上により、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-503-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-504-QINU
が得られた。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-505-QINUとおくと、この式は
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-506-QINU
と書ける。ここでUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-507-QINUを、剛体の軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。
原点を始点とする任意の回転軸UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-508-QINUまわりの回転の方程式も同様に得られる。
この方程式の変数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-509-QINU は、一次元のスカラーなので、
質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-510-QINU
と、対比させる。すると、
質点に作用する力 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-511-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体に作用する回転力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-512-QINU
質点の質量 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-513-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体のUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-514-QINU軸まわりの慣性モーメント
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-515-QINU、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-516-QINUは質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-517-QINUとUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-518-QINU軸を延長した直線との距離
質点の位置変数 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-519-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体のUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-520-QINU軸周りの回転角変数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-521-QINU
質点の速度 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-522-QINU ＜＝＝＝＞剛体のUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-523-QINU軸周りの角速度UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-524-QINU;
質点の運動量 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-525-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体の角運動量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-526-QINU;
運動方程式UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-527-QINU ＜＝＝＝＞ UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-528-QINU
という、対応関係があることが分かる。
この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、
もしUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-529-QINU ならば、任意の軸まわりの回転力が零なので、
剛体の任意の軸まわりの角加速度が零、角速度が一定となることが分かる。
剛体の回転の運動エネルギー
剛体の各微小部分(質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-530-QINU）の速度を UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-531-QINUと書くと、
その運動エネルギーは UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-532-QINUなので、
剛体全体の運動エネルギーは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-533-QINU
回転運動している各微小部分の速度は、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-534-QINUと書けるので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-535-QINU
物理振り子
剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。
これを物理振り子、あるいは実体振り子という。
水平回転軸をｘ軸とし、鉛直上方をｚ軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、
回転軸とこの平面の交点を原点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-536-QINU、重心をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-537-QINUと記す。図参照。
回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。
すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。
そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。
重力の原点周りの力のモーメントUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-538-QINUは、
剛体の重心UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-539-QINUに、剛体の全質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-540-QINUがあるとしたときの
重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。
故に、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-541-QINU
ｘ軸まわりの力のモーメントは、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-542-QINU
従って、回転の運動方程式は
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-543-QINU
ここでUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-544-QINUは、軸まわりの、振り子の慣性質量。
剛体の慣性モーメントの計算(一次元の剛体)
剛体UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-545-QINUは、ごく細く、まっすぐな棒で,
長さUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-546-QINU、質量密度(単位長さあたりの質量)は一定でUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-547-QINUとする。
棒の左端からUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-548-QINUの場所UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-549-QINUを通り、棒に直交する軸まわりの慣性モーメントを具体的に計算しよう。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-550-QINUを原点とし、棒と同じ方向の数直線を考え、これを座標系として採用。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-551-QINUと表現する。
剛体UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-552-QINUの慣性モーメントは、
剛体を質点とみなせるほど細かい部分UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-553-QINUに分割して、
各UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-554-QINUの質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-555-QINUと、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-556-QINUとUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-557-QINUとの距離UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-558-QINUを用いて、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-559-QINUで定義した。但しUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-560-QINU
剛体の分割と慣性モーメントの近似式・リーマン和
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-561-QINUの質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-562-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-563-QINUの長さUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-564-QINUに質量密度UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-565-QINUを掛ければ得られるので
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-566-QINUであり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-567-QINU
と書ける。
しかし、剛体UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-568-QINUをいくら細かく分割しても、
各小区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-569-QINUは大きさ(長さ)をもつので、
原点との距離UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-570-QINUは、一つに定まらない。
そこで、各小区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-571-QINUから、代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-572-QINUを選びだし、その点の原点からの距離UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-573-QINU、(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-574-QINU絶対値)を、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-575-QINUとみなす。
すると、慣性モーメントUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-576-QINUの式は
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-577-QINU
で近似される。
そこで、この分割を
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-578-QINU
と表し、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-579-QINU
で,慣性モーメントの近似式を表すことにする。
すると、
慣性モーメントの近似式は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-580-QINU
と書ける。
この値は分割の仕方と分割小区間の代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-581-QINUの選び方によって変化する。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-582-QINUの中で、原点に最も近い点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-583-QINUにとると
最小値
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-584-QINU
をとり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-585-QINUの中で、原点に最も遠い点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-586-QINUにとると
最大値 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-587-QINU
を取る。
関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-588-QINUを使って表現すれば、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-589-QINU
であり、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-590-QINUを満たす。
質量密度が場所で変わるときは、、関数はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-591-QINUになり、
剛体の重心を求めるときは、後述するように、別の関数が現れる。
そこで、数学の分野では、一般の関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-592-QINUにたいして
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-593-QINU
を求め、分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-594-QINUとUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-595-QINUの代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-596-QINUに関する関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-597-QINUのリーマン和と呼ぶ。
その最小値UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-598-QINUと最大値UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-599-QINUも,同様に定義される。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-600-QINU
慣性モーメントの近似式(1)は、関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-601-QINUにたいするリーマン和である。
慣性モーメントの近似式の意味
今後、関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-602-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-603-QINUで定義された有界関数として、
議論を進める。
有界関数とは、十分大きな正数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-604-QINUを選べば、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-605-QINUの全ての点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-606-QINUに対して、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-607-QINUとなること。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-608-QINUを代入すれば、考察対象の剛体の慣性モーメントの話になる。
リーマン和
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-609-QINU
は、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-610-QINUのグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
また、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-611-QINUは一点鎖線でしめす、小さいほうの長方形の和であり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-612-QINUは点線でしめす、大きいほうの長方形の和である。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-613-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-614-QINUのグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-615-QINU、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-616-QINUで囲まれる部分の面積UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-617-QINUを近似している。
また、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-618-QINU
であり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-619-QINUは面積を下から評価し、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-620-QINUは面積を上から評価していることがわかる。
分割を限りなく細かくしていくとき、
リーマン和が分割や代表点の選び方に関係ない数に収束するならば、
その極限値は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-621-QINUのグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-622-QINU、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-623-QINUで囲まれる部分の面積
と考えられる。
もし、分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-624-QINUを細かくしていくとき
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-625-QINUとUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-626-QINUが同じ値に収束することが示せれば、
(3)式と(4)式から、リーマン和は、関数のグラフの作る面積UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-627-QINUに収束することが分かった。
可積分の定義と積分
「分割を細かくしていくとき、リーマン和が収束する」ということは、
面積を決める上で決定的に重要がことなので、
可積分という名を付けて、数学的に厳密に定義する。
このためにはまず、分割の大きさを定める必要がある。
定義：分割の大きさ
分割 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-628-QINUの大きさとは、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-629-QINU
定義：可積分と積分
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-630-QINUを、有界閉区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-631-QINU上で定義され、実数の値をとる関数とする。
もし、ある実数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-632-QINUが存在して、
どんな分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-633-QINUと代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-634-QINUであっても、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-635-QINU
が成り立つ時、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-636-QINUはUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-637-QINU上で(リーマン)可積分であるという。
このとき、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-638-QINU をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-639-QINUのUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-640-QINU上での(リーマン)積分といい、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-641-QINU
などと書く。
積分の性質
定理（積分の線形性）
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-642-QINUを、区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-643-QINU上で定義された、任意の実数値関数であり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-644-QINUを任意の実数とする。
このとき、
（１）UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-645-QINUがUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-646-QINU上で可積分ならば、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-647-QINUもUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-648-QINU上で可積分
（２）このとき、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-649-QINU
証明；リーマン和の定義から、区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-650-QINUの任意の分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-651-QINUと
分割区間の任意の代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-652-QINU(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-653-QINUはUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-654-QINUに含まれる意)に対して、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-655-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-656-QINUは可積分なので、その定義から、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-657-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-658-QINU
(1)式の両辺の極限UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-659-QINU をとろう。
右辺の極限
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-660-QINU
極限の性質から、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-661-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-662-QINU
従って（１）式の左辺の極限UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-663-QINU も存在して、右辺の極限と一致する。
証明終わり。
慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-664-QINUは、先述の、ごく細い一様な質量密度UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-665-QINUのまっすぐな棒で、
座標系を入れて、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-666-QINUと表現しておく。
原点を通りこの棒と直交する軸のまわりの(この棒の)慣性モーメントを、
リーマン和の極限を取って求めよう。
区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-667-QINUをｎ(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-668-QINU)等分して得られる点列,
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-669-QINU
を分点とする分割をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-670-QINUと記す。すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-671-QINU, UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-672-QINUであり、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-673-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-674-QINUという分割の列は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-675-QINUを満たす。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-676-QINUがリーマン可積分であることを認めれば、
可積分の定義から、どんな代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-677-QINUを選んでも、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-678-QINUとなる。
そこで、代表点をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-679-QINUと選ぶ。
関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-680-QINUを用いると、
分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-681-QINUを用いた慣性モーメントの近似値は次のようになる。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-682-QINU
ここで、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-683-QINU(注参照）を利用して、この式を計算すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-684-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-685-QINUなので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-686-QINU
故に、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-687-QINU
（注）UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-688-QINUの証明
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-689-QINU なので、両辺のj=1,2,,,n に関する和を取る。
左辺の和はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-690-QINU
右辺の和はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-691-QINU
故に、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-692-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-693-QINU UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-694-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-695-QINUの略証
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-696-QINUなので、この両辺のj=1,2,,,nに関する和を取る。
左辺の和はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-697-QINU、右辺の和はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-698-QINU,故にUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-699-QINU
慣性モーメントの計算（2）原始関数を利用する方法
積分可能な関数の積分をリーマン和の極限から求める計算は煩雑であり、複雑な形状の剛体の慣性モーメントを求めるにはふさわしくない。
次の定理が強力な計算法を提供する。
定理
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-700-QINUを数直線上の区間、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-701-QINUをUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-702-QINU上可積分な実数値関数
とする。
もしUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-703-QINUが、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-704-QINU上で微分可能で
全てのUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-705-QINUの点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-706-QINUで、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-707-QINU
を満たす関数ならば(注参照)、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-708-QINU
上記の条件を満たす関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-709-QINUを、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-710-QINUの原始関数という。
(注)関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-711-QINUは、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-712-QINU上でしか定義されていないので、
端点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-713-QINUでは、通常の微分は定義できない。そこで、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-714-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-715-QINU
と定義する。
証明；
区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-716-QINUの任意の分割
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-717-QINU
に対して、
代表点をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-718-QINU(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-719-QINUはUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-720-QINUの点の意)とすると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-721-QINUのリーマン和は
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-722-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-723-QINU
小区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-724-QINUでの関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-725-QINUの平均勾配
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-726-QINU
は、平均値の定理により、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-727-QINUの中のある一点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-728-QINUにおけるUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-729-QINUの接線の勾配
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-730-QINUに等しので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-731-QINU
故に、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-732-QINU
そこで、各小区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-733-QINUの代表点をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-734-QINUと選べば、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-735-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-736-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-737-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-738-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-739-QINUは可積分なので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-740-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-741-QINU
証明終わり。
さて、慣性モーメントを求めたい剛体では、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-742-QINUなので、その原始関数は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-743-QINU
従って、慣性モーメントは、定理を適用して、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-744-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-745-QINU,UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-746-QINUを代入して、整頓すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-747-QINU
重心の計算
質量密度が場所により変わる、長さUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-748-QINUのごく細い棒UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-749-QINUの重心を求めてみよう。
考えやすくするため、
棒の一端を原点にし、他端がｘ軸の正の位置にくるように座標系UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-750-QINUをいれる。
この座標系で剛体はUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-751-QINUと書ける。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-752-QINUを小区間UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-753-QINUに分割（分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-754-QINUと記す)し、これらの小区間を質点とみなせば、その重心は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-755-QINU
で定義された(1.1.1節参照)。ここでUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-756-QINU は第ｉ質点の質量、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-757-QINU、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-758-QINUは第ｉ質点の位置ベクトル。
ベクトルを座標成分表示すると、この問題では一次元なので、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-759-QINU、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-760-QINU
しかし、実際には UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-761-QINUは、質点ではないので、
位置ベクトルは、定まらない。
またその質量も密度が一定ならば、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-762-QINUできまるが、
密度が変化するならば、定まらない。
そこで、各小区間 UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-763-QINUの代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-764-QINUを選び
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-765-QINU,UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-766-QINU
で近似する。
すると分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-767-QINUと代表点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-768-QINUに対応する、
質量UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-769-QINUと重心UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-770-QINUの近似値は、それぞれ
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-771-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-772-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-773-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-774-QINU
ここで、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-775-QINU
もし、関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-776-QINUが積分可能ならば、分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-777-QINUを細かくしていけば
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-778-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-779-QINU
もし関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-780-QINUの原始関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-781-QINUが存在する(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-782-QINU)ならば
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-783-QINU
もし関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-784-QINUも積分可能ならば、分割UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-785-QINUを細かくしていけば
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-786-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-787-QINU
もし関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-788-QINUの原始関数UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-789-QINUが存在する(UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-790-QINU)ならば
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-791-QINU
例；UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-792-QINUならば、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-793-QINUなので UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-794-QINU
また、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-795-QINUとなるのでUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-796-QINU
となり、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-797-QINU
例；UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-798-QINUならば、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-799-QINUなので UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-800-QINU
このときUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-801-QINUなので
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-802-QINUである。UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-803-QINU
２次元以上の物体の慣性モーメントについて
てこの原理と力のモーメント
図のように剛体の棒の中間に支点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-804-QINUがあり、
この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。
てこの原理
梃子の端UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-805-QINUに力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-806-QINUが作用し、他端UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-807-QINUに力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-808-QINUが作用して、
つりあう(静止し続ける)とき、２つの力の間にはどのような関係があるだろうか。
棒は軽くて無視できるとして考察する。
軸周りに静止し続けるということは、
固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、
梃子に働く外力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-809-QINUの、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-810-QINUを原点、回転軸をｚ軸,梃子の棒をｘ軸とする、直交座標系UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-811-QINUを導入すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-812-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-813-QINU
と表現できる。
そこで、1.4.3.2.3節(ｚ軸まわりの回転力の導出)から
ｚ軸まわりのトルク(回転力)は
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-814-QINU
となる。
従って
つりあい条件は、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-815-QINU
これをてこの原理という。
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-816-QINU をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-817-QINUに比べて、非常に大きくとれば、
少しの力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-818-QINUで非常に大きな力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-819-QINUと釣り合わせることが出来ることが分かる。
てこの原理については、
も参照のこと。
剛体に働く力の作用線
力が作用する点を着力点といい、
着力点を通り力のベクトルと方向が等しい直線を、力の作用線という。
剛体に働く力は、その着力点をかえると、一般には、剛体の運動への効果が異なってしまう。
しかし、力のベクトル和と、力のモーメント和が不変となるように力の着力点を移動したり力の合成をすることは、
剛体の運動には全く影響がでないので、許される。
例えば、力の着力点をその作用線にそってうごかしたり、
同じ着力点をもつ複数の力を、それらのベクトル和に置き換えることは許される。。
剛体のつり合い
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、
重心UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-820-QINUが等速直線運動(静止も含む)を続け、
重心の周りの回転が変化しない(回転しないままか、同じ回転を続ける）場合に、
剛体（に作用している力）は釣り合っているという。
重心が等速直線運動を行うのは、
剛体に作用する外力のベクトル和が０になることであり、その場合に限る。
これについては、「1.1.1 質点系の運動と重心」で説明した。
重心周りの回転が変化しないのは、重心まわりの外力のモーメントの総和が０になることであり、この場合に限る。これについては、「1.2.3.5 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式」で説明した。
定理；剛体のつり合い
剛体に、外力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-821-QINUがはたらいている。
このとき、次の条件は同等である。
ⅰ）剛体は釣り合っている。
ⅱ）外力のベクトル和が零で、重心UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-822-QINUまわりの外力のモーメントの和が零。
ⅲ）外力のベクトル和が零で、任意の固定点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-823-QINUまわりの外力のモーメントの和が零。
証明；条件ⅰ）とⅱ）が同等であることは、すでに、説明した。
条件ⅱ）とⅲ）の同等性を示そう。
外力の和が零であるという条件の下で、
「任意の固定点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-824-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-825-QINUは常に等しい」
ことを示せば良い。
外力UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-826-QINUの作用点をUNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-827-QINUとする。
すると、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-828-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-829-QINUは
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-830-QINU
任意の点UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-831-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-832-QINUは
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-833-QINU
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-834-QINUを（１）式に代入すると
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-835-QINU
ベクトル積の性質から、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-836-QINU
仮定と(2)式から、
UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-837-QINU
故に、UNIQ7a0d61fd513c0b34-MathJax-838-QINU
証明終わり。
