物理/運動法則の応用3
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運動の法則の応用(３）剛体の回転運動と釣合い
ある点の周りの力のモーメントUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-421-QINU が、その点をとおる、あらゆる回転軸にかんする回転力を表現していることがわかった。
この節では力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-422-QINUと運動量の変化の関係をあたえるニュートンの運動方程式（第2法則）を変形して、
回転力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-423-QINUにかんする方程式を導く。
またその応用として、剛体のつり合い条件を求める。
剛体の内部力についての仮定
直交右手座標系UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-424-QINU を定める。原点 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-425-QINU は、考察に都合のよい点を選ぶ。
剛体をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-426-QINU個の（質点と考えてよい）微小部分UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-427-QINUに分け、
その質量をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-428-QINU、位置ベクトルをUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-429-QINUとする。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-430-QINUが外部から受ける力をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-431-QINU、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-432-QINU が剛体の他の部分UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-433-QINU から受ける力(内力)をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-434-QINUとおく。
後者は、剛体が変形しないよう、剛体の原子間に働かせる力に起因する。
この原子間の力は、原子の電荷による電気力と、
原子同士が接近しすぎたときに作用する量子力学的力により生じる。
作用・反作用の法則（運動の第3法則）から、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-435-QINU 。
さらに、剛体の２点間に働く内力の方向は、
その２点を結ぶ直線の方向と同じだと、仮定する。
各質点のニュートンの運動方程式
各質点ごとに、ニュートンの運動方程式を立てると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-436-QINU
これを変形して
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-437-QINU UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-438-QINU
この式から、
力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-439-QINUの回転力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-440-QINUにかんする式を導こう。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-441-QINUにかんする式の誘導
式（１）の両辺に左側から、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-442-QINU のベクトル積を施すと、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-443-QINU UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-444-QINU
ベクトル積の性質３と性質４により、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-445-QINU UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-446-QINU
ここで、ベクトル積の性質８より
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-447-QINU
なので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-448-QINU
質点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-449-QINUの運動量をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-450-QINUと書くと、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-451-QINUなので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-452-QINU
定義；角運動量(運動量のモーメントともいう）
質点の位置ベクトルをUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-453-QINU、運動量をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-454-QINUと書くとき、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-455-QINUを,この質点の角運動量と呼ぶ。
これを用いると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-456-QINU
回転の運動方程式の導出
故に、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-457-QINU
ここで、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-458-QINU
式（４）の右辺の第２項の上付き添え字i,jを、それぞれ、j'と i'でおきかえられるので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-459-QINU
内力は作用反作用の法則が適用できると仮定しているので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-460-QINU 。この式を上の式の右辺に代入すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-461-QINU
この式の右辺の和をとる変数i',j' を i,j におきかえると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-462-QINU
この式を、式（5）の右辺の第２項に代入して整頓すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-463-QINU
さらに、内力に関する第２の仮定により、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-464-QINU とUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-465-QINUは同じ方向なので、ベクトル積の定義より、この項は、零となることが分かる。
故に、式（４）の右辺の第２項は零となり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-466-QINU
が得られる。全角運動量をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-467-QINUとおけば、
式（６）は、次のように書ける。
命題；回転運動の関するオイラーの運動方程式
剛体の内力に上述の2つの仮定を付ける。このとき、
剛体に作用する全ての外部力の原点周りの力のモーメントUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-468-QINUと、
全角運動量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-469-QINUの間には、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-470-QINU （７）
この命題の導出までは詳しく述べたが、本テキストではこれ以上は深入りしない。
この先にも興味がある方は、次の記事をご覧ください。
固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式
回転運動の運動方程式から、任意の軸の周りの回転運動の方程式が簡単に導出できる。
ｚ軸周りの場合を例にとり、説明する。
ｚ軸周りの回転力はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-471-QINUなので、
回転運動の方程式から
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-472-QINU
この式の右辺に,UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-473-QINU を代入すると
右辺
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-474-QINU 微分の加法性から
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-475-QINU 内積の加法性から
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-476-QINU ベクトル積の性質８から
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-477-QINU UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-478-QINUを代入し、ベクトル積の性質を用いると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-479-QINU
故に、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-480-QINU
剛体はｚ軸の周りを回転するので、
その各点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-481-QINU(位置ベクトルUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-482-QINU）は、
ｚ軸と直交する平面上を、ｚ軸を中心とする円を描いて運動する。
この拘束条件を考慮して、
時刻UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-483-QINUの位置ベクトルUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-484-QINUの座標成分を書きなおすと、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-485-QINU
ここでUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-486-QINUは、点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-487-QINUとｚ軸との距離、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-488-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-489-QINUをｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角度である。図参照。
剛体につけておいた印UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-490-QINUの位置ベクトルUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-491-QINUを
ｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角（回転角）UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-492-QINUを用いると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-493-QINU
（UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-494-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-495-QINUごとに決まる、定数）と書ける。
式（１）の右辺を、式（２）を利用して、変形すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-496-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-497-QINU
ベクトル積の性質６より、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-498-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-499-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-500-QINU
ここで、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-501-QINUを代入すると
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-502-QINU
以上により、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-503-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-504-QINU
が得られた。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-505-QINUとおくと、この式は
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-506-QINU
と書ける。ここでUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-507-QINUを、剛体の軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。
原点を始点とする任意の回転軸UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-508-QINUまわりの回転の方程式も同様に得られる。
この方程式の変数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-509-QINU は、一次元のスカラーなので、
質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-510-QINU
と、対比させる。すると、
質点に作用する力 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-511-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体に作用する回転力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-512-QINU
質点の質量 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-513-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体のUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-514-QINU軸まわりの慣性モーメント
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-515-QINU、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-516-QINUは質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-517-QINUとUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-518-QINU軸を延長した直線との距離
質点の位置変数 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-519-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体のUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-520-QINU軸周りの回転角変数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-521-QINU
質点の速度 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-522-QINU ＜＝＝＝＞剛体のUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-523-QINU軸周りの角速度UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-524-QINU;
質点の運動量 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-525-QINU ＜＝＝＝＞ 剛体の角運動量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-526-QINU;
運動方程式UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-527-QINU ＜＝＝＝＞ UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-528-QINU
という、対応関係があることが分かる。
この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、
もしUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-529-QINU ならば、任意の軸まわりの回転力が零なので、
剛体の任意の軸まわりの角加速度が零、角速度が一定となることが分かる。
剛体の回転の運動エネルギー
剛体の各微小部分(質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-530-QINU）の速度を UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-531-QINUと書くと、
その運動エネルギーは UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-532-QINUなので、
剛体全体の運動エネルギーは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-533-QINU
回転運動している各微小部分の速度は、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-534-QINUと書けるので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-535-QINU
物理振り子
剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。
これを物理振り子、あるいは実体振り子という。
水平回転軸をｘ軸とし、鉛直上方をｚ軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、
回転軸とこの平面の交点を原点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-536-QINU、重心をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-537-QINUと記す。図参照。
回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。
すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。
そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。
重力の原点周りの力のモーメントUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-538-QINUは、
剛体の重心UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-539-QINUに、剛体の全質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-540-QINUがあるとしたときの
重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。
故に、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-541-QINU
ｘ軸まわりの力のモーメントは、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-542-QINU
従って、回転の運動方程式は
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-543-QINU
ここでUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-544-QINUは、軸まわりの、振り子の慣性質量。
剛体の慣性モーメントの計算(一次元の剛体)
剛体UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-545-QINUは、ごく細く、まっすぐな棒で,
長さUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-546-QINU、質量密度(単位長さあたりの質量)は一定でUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-547-QINUとする。
棒の左端からUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-548-QINUの場所UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-549-QINUを通り、棒に直交する軸まわりの慣性モーメントを具体的に計算しよう。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-550-QINUを原点とし、棒と同じ方向の数直線を考え、これを座標系として採用。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-551-QINUと表現する。
剛体UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-552-QINUの慣性モーメントは、
剛体を質点とみなせるほど細かい部分UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-553-QINUに分割して、
各UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-554-QINUの質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-555-QINUと、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-556-QINUとUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-557-QINUとの距離UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-558-QINUを用いて、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-559-QINUで定義した。但しUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-560-QINU
剛体の分割と慣性モーメントの近似式・リーマン和
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-561-QINUの質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-562-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-563-QINUの長さUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-564-QINUに質量密度UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-565-QINUを掛ければ得られるので
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-566-QINUであり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-567-QINU
と書ける。
しかし、剛体UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-568-QINUをいくら細かく分割しても、
各小区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-569-QINUは大きさ(長さ)をもつので、
原点との距離UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-570-QINUは、一つに定まらない。
そこで、各小区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-571-QINUから、代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-572-QINUを選びだし、その点の原点からの距離UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-573-QINU、(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-574-QINU絶対値)を、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-575-QINUとみなす。
すると、慣性モーメントUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-576-QINUの式は
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-577-QINU
で近似される。
そこで、この分割を
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-578-QINU
と表し、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-579-QINU
で,慣性モーメントの近似式を表すことにする。
すると、
慣性モーメントの近似式は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-580-QINU
と書ける。
この値は分割の仕方と分割小区間の代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-581-QINUの選び方によって変化する。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-582-QINUの中で、原点に最も近い点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-583-QINUにとると
最小値
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-584-QINU
をとり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-585-QINUの中で、原点に最も遠い点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-586-QINUにとると
最大値 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-587-QINU
を取る。
関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-588-QINUを使って表現すれば、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-589-QINU
であり、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-590-QINUを満たす。
質量密度が場所で変わるときは、、関数はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-591-QINUになり、
剛体の重心を求めるときは、後述するように、別の関数が現れる。
そこで、数学の分野では、一般の関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-592-QINUにたいして
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-593-QINU
を求め、分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-594-QINUとUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-595-QINUの代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-596-QINUに関する関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-597-QINUのリーマン和と呼ぶ。
その最小値UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-598-QINUと最大値UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-599-QINUも,同様に定義される。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-600-QINU
慣性モーメントの近似式(1)は、関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-601-QINUにたいするリーマン和である。
慣性モーメントの近似式の意味
今後、関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-602-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-603-QINUで定義された有界関数として、
議論を進める。
有界関数とは、十分大きな正数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-604-QINUを選べば、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-605-QINUの全ての点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-606-QINUに対して、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-607-QINUとなること。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-608-QINUを代入すれば、考察対象の剛体の慣性モーメントの話になる。
リーマン和
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-609-QINU
は、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-610-QINUのグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
また、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-611-QINUは一点鎖線でしめす、小さいほうの長方形の和であり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-612-QINUは点線でしめす、大きいほうの長方形の和である。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-613-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-614-QINUのグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-615-QINU、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-616-QINUで囲まれる部分の面積UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-617-QINUを近似している。
また、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-618-QINU
であり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-619-QINUは面積を下から評価し、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-620-QINUは面積を上から評価していることがわかる。
分割を限りなく細かくしていくとき、
リーマン和が分割や代表点の選び方に関係ない数に収束するならば、
その極限値は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-621-QINUのグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-622-QINU、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-623-QINUで囲まれる部分の面積
と考えられる。
もし、分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-624-QINUを細かくしていくとき
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-625-QINUとUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-626-QINUが同じ値に収束することが示せれば、
(3)式と(4)式から、リーマン和は、関数のグラフの作る面積UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-627-QINUに収束することが分かった。
可積分の定義と積分
「分割を細かくしていくとき、リーマン和が収束する」ということは、
面積を決める上で決定的に重要がことなので、
可積分という名を付けて、数学的に厳密に定義する。
このためにはまず、分割の大きさを定める必要がある。
定義：分割の大きさ
分割 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-628-QINUの大きさとは、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-629-QINU
定義：可積分と積分
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-630-QINUを、有界閉区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-631-QINU上で定義され、実数の値をとる関数とする。
もし、ある実数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-632-QINUが存在して、
どんな分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-633-QINUと代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-634-QINUであっても、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-635-QINU
が成り立つ時、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-636-QINUはUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-637-QINU上で(リーマン)可積分であるという。
このとき、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-638-QINU をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-639-QINUのUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-640-QINU上での(リーマン)積分といい、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-641-QINU
などと書く。
積分の性質
定理（積分の線形性）
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-642-QINUを、区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-643-QINU上で定義された、任意の実数値関数であり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-644-QINUを任意の実数とする。
このとき、
（１）UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-645-QINUがUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-646-QINU上で可積分ならば、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-647-QINUもUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-648-QINU上で可積分
（２）このとき、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-649-QINU
証明；リーマン和の定義から、区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-650-QINUの任意の分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-651-QINUと
分割区間の任意の代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-652-QINU(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-653-QINUはUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-654-QINUに含まれる意)に対して、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-655-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-656-QINUは可積分なので、その定義から、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-657-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-658-QINU
(1)式の両辺の極限UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-659-QINU をとろう。
右辺の極限
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-660-QINU
極限の性質から、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-661-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-662-QINU
従って（１）式の左辺の極限UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-663-QINU も存在して、右辺の極限と一致する。
証明終わり。
慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-664-QINUは、先述の、ごく細い一様な質量密度UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-665-QINUのまっすぐな棒で、
座標系を入れて、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-666-QINUと表現しておく。
原点を通りこの棒と直交する軸のまわりの(この棒の)慣性モーメントを、
リーマン和の極限を取って求めよう。
区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-667-QINUをｎ(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-668-QINU)等分して得られる点列,
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-669-QINU
を分点とする分割をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-670-QINUと記す。すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-671-QINU, UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-672-QINUであり、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-673-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-674-QINUという分割の列は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-675-QINUを満たす。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-676-QINUがリーマン可積分であることを認めれば、
可積分の定義から、どんな代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-677-QINUを選んでも、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-678-QINUとなる。
そこで、代表点をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-679-QINUと選ぶ。
関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-680-QINUを用いると、
分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-681-QINUを用いた慣性モーメントの近似値は次のようになる。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-682-QINU
ここで、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-683-QINU(注参照）を利用して、この式を計算すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-684-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-685-QINUなので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-686-QINU
故に、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-687-QINU
（注）UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-688-QINUの証明
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-689-QINU なので、両辺のj=1,2,,,n に関する和を取る。
左辺の和はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-690-QINU
右辺の和はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-691-QINU
故に、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-692-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-693-QINU UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-694-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-695-QINUの略証
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-696-QINUなので、この両辺のj=1,2,,,nに関する和を取る。
左辺の和はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-697-QINU、右辺の和はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-698-QINU,故にUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-699-QINU
慣性モーメントの計算（2）原始関数を利用する方法
積分可能な関数の積分をリーマン和の極限から求める計算は煩雑であり、複雑な形状の剛体の慣性モーメントを求めるにはふさわしくない。
次の定理が強力な計算法を提供する。
定理
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-700-QINUを数直線上の区間、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-701-QINUをUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-702-QINU上可積分な実数値関数
とする。
もしUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-703-QINUが、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-704-QINU上で微分可能で
全てのUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-705-QINUの点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-706-QINUで、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-707-QINU
を満たす関数ならば(注参照)、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-708-QINU
上記の条件を満たす関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-709-QINUを、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-710-QINUの原始関数という。
(注)関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-711-QINUは、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-712-QINU上でしか定義されていないので、
端点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-713-QINUでは、通常の微分は定義できない。そこで、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-714-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-715-QINU
と定義する。
証明；
区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-716-QINUの任意の分割
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-717-QINU
に対して、
代表点をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-718-QINU(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-719-QINUはUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-720-QINUの点の意)とすると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-721-QINUのリーマン和は
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-722-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-723-QINU
小区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-724-QINUでの関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-725-QINUの平均勾配
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-726-QINU
は、平均値の定理により、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-727-QINUの中のある一点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-728-QINUにおけるUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-729-QINUの接線の勾配
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-730-QINUに等しので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-731-QINU
故に、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-732-QINU
そこで、各小区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-733-QINUの代表点をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-734-QINUと選べば、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-735-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-736-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-737-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-738-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-739-QINUは可積分なので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-740-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-741-QINU
証明終わり。
さて、慣性モーメントを求めたい剛体では、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-742-QINUなので、その原始関数は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-743-QINU
従って、慣性モーメントは、定理を適用して、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-744-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-745-QINU,UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-746-QINUを代入して、整頓すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-747-QINU
重心の計算
質量密度が場所により変わる、長さUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-748-QINUのごく細い棒UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-749-QINUの重心を求めてみよう。
考えやすくするため、
棒の一端を原点にし、他端がｘ軸の正の位置にくるように座標系UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-750-QINUをいれる。
この座標系で剛体はUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-751-QINUと書ける。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-752-QINUを小区間UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-753-QINUに分割（分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-754-QINUと記す)し、これらの小区間を質点とみなせば、その重心は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-755-QINU
で定義された(1.1.1節参照)。ここでUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-756-QINU は第ｉ質点の質量、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-757-QINU、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-758-QINUは第ｉ質点の位置ベクトル。
ベクトルを座標成分表示すると、この問題では一次元なので、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-759-QINU、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-760-QINU
しかし、実際には UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-761-QINUは、質点ではないので、
位置ベクトルは、定まらない。
またその質量も密度が一定ならば、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-762-QINUできまるが、
密度が変化するならば、定まらない。
そこで、各小区間 UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-763-QINUの代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-764-QINUを選び
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-765-QINU,UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-766-QINU
で近似する。
すると分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-767-QINUと代表点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-768-QINUに対応する、
質量UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-769-QINUと重心UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-770-QINUの近似値は、それぞれ
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-771-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-772-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-773-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-774-QINU
ここで、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-775-QINU
もし、関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-776-QINUが積分可能ならば、分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-777-QINUを細かくしていけば
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-778-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-779-QINU
もし関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-780-QINUの原始関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-781-QINUが存在する(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-782-QINU)ならば
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-783-QINU
もし関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-784-QINUも積分可能ならば、分割UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-785-QINUを細かくしていけば
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-786-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-787-QINU
もし関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-788-QINUの原始関数UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-789-QINUが存在する(UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-790-QINU)ならば
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-791-QINU
例；UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-792-QINUならば、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-793-QINUなので UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-794-QINU
また、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-795-QINUとなるのでUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-796-QINU
となり、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-797-QINU
例；UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-798-QINUならば、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-799-QINUなので UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-800-QINU
このときUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-801-QINUなので
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-802-QINUである。UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-803-QINU
２次元以上の物体の慣性モーメントについて
てこの原理と力のモーメント
図のように剛体の棒の中間に支点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-804-QINUがあり、
この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。
てこの原理
梃子の端UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-805-QINUに力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-806-QINUが作用し、他端UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-807-QINUに力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-808-QINUが作用して、
つりあう(静止し続ける)とき、２つの力の間にはどのような関係があるだろうか。
棒は軽くて無視できるとして考察する。
軸周りに静止し続けるということは、
固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、
梃子に働く外力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-809-QINUの、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-810-QINUを原点、回転軸をｚ軸,梃子の棒をｘ軸とする、直交座標系UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-811-QINUを導入すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-812-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-813-QINU
と表現できる。
そこで、1.4.3.2.3節(ｚ軸まわりの回転力の導出)から
ｚ軸まわりのトルク(回転力)は
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-814-QINU
となる。
従って
つりあい条件は、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-815-QINU
これをてこの原理という。
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-816-QINU をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-817-QINUに比べて、非常に大きくとれば、
少しの力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-818-QINUで非常に大きな力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-819-QINUと釣り合わせることが出来ることが分かる。
てこの原理については、
も参照のこと。
剛体に働く力の作用線
力が作用する点を着力点といい、
着力点を通り力のベクトルと方向が等しい直線を、力の作用線という。
剛体に働く力は、その着力点をかえると、一般には、剛体の運動への効果が異なってしまう。
しかし、力のベクトル和と、力のモーメント和が不変となるように力の着力点を移動したり力の合成をすることは、
剛体の運動には全く影響がでないので、許される。
例えば、力の着力点をその作用線にそってうごかしたり、
同じ着力点をもつ複数の力を、それらのベクトル和に置き換えることは許される。。
剛体のつり合い
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、
重心UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-820-QINUが等速直線運動(静止も含む)を続け、
重心の周りの回転が変化しない(回転しないままか、同じ回転を続ける）場合に、
剛体（に作用している力）は釣り合っているという。
重心が等速直線運動を行うのは、
剛体に作用する外力のベクトル和が０になることであり、その場合に限る。
これについては、「1.1.1 質点系の運動と重心」で説明した。
重心周りの回転が変化しないのは、重心まわりの外力のモーメントの総和が０になることであり、この場合に限る。これについては、「1.2.3.5 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式」で説明した。
定理；剛体のつり合い
剛体に、外力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-821-QINUがはたらいている。
このとき、次の条件は同等である。
ⅰ）剛体は釣り合っている。
ⅱ）外力のベクトル和が零で、重心UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-822-QINUまわりの外力のモーメントの和が零。
ⅲ）外力のベクトル和が零で、任意の固定点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-823-QINUまわりの外力のモーメントの和が零。
証明；条件ⅰ）とⅱ）が同等であることは、すでに、説明した。
条件ⅱ）とⅲ）の同等性を示そう。
外力の和が零であるという条件の下で、
「任意の固定点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-824-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-825-QINUは常に等しい」
ことを示せば良い。
外力UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-826-QINUの作用点をUNIQb1d63232e14b95a-MathJax-827-QINUとする。
すると、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-828-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-829-QINUは
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-830-QINU
任意の点UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-831-QINUまわりの外力のモーメントの和UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-832-QINUは
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-833-QINU
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-834-QINUを（１）式に代入すると
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-835-QINU
ベクトル積の性質から、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-836-QINU
仮定と(2)式から、
UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-837-QINU
故に、UNIQb1d63232e14b95a-MathJax-838-QINU
証明終わり。
