物理/極限と微分
提供: Internet Web School
目次[非表示] |
極限と微分
集合
集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、
なじみのない方は、下記を参考に、
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係
などについて学習してほしい。
実数の連続性と極限
実数の連続性は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、
実数の持つ最も重要な性質の一つである。
上界、下界と有界集合
Rを、全ての実数を要素とする集合とし、
Aをその部分集合とする。
実数uがAの上界(upper bound)とは、
任意のa∈Aに対して、a≤uがなりたつこと。
実数lがAの下界(lower bound)とは、
任意のa∈Aに対して、l≤aがなりたつこと。
UAをAの上界をすべて集めた集合、
LAをAの上界をすべて集めた集合とする。
UAが空集合∅でない(すなわち、Aの上界が少なくとも一つ存在する)とき、
Aは上に有界であるといい、
LA≠∅の時、Aは下に有界であるという。
上に有界で、下にも有界な集合(⊂R)は、有界という。
実数の連続の公理と上限、下限
A⊂Rとする。
実数の連続性の公理
もし、UA≠∅ならば、UAは、最小元を持つ。
もし、LA≠∅ならば、LAは、最大元を持つ。
上限と下限の定義
UAの最小元をAの上限(supremum)あるいは最小上界(least upper bound)という。
また、LAの最大元をAの下限(infimum)あるいは最大下界(greatest lower bound)という。
命題1
uがA(⊂R) の上限となるための必要十分条件は、
ⅰ)uはAの上界。すなわち任意のa∈Aにたいしてa≤u
ⅱ)x<uである任意のxはAの上界ではない。すなわち、x<aとなるa∈Aが存在。
ⅲ)Aが最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。
同様に、lがA の下限となるための必要十分条件は、
ⅰ)lはAの下界。すなわち任意のa∈Aにたいしてl≤a
ⅱ)l<xである任意のxはAの下界ではない。すなわち、a<xとなるa∈Aが存在。
ⅲ)Aが最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。
A の上限をsup、下限を\inf Aと書く。
証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。
例;A=(0,1)のとき、\sup A=1,\inf A=0。
これらは、ともにAの要素でないので、
上限1はAの最大元(最大値)ではなく、下限0はAの最小元(最小値)ではない。
A=[0,1]のとき、\sup A=1,\inf A=0。
これらは、ともにAの要素なので、
上限は最大限であり、下限は最小限となる。
命題2
A \subset B \subset {\bf R}で、Bは有界集合とする。
このとき、\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B
証明は容易である。
命題3
A \subset {\bf R}で、Aは有界集合とする。
s:=\inf A,\quad S:=\sup A,\quad d(A):=\sup_{x,y\in A}(x-y)とおくと、
S-s=d(A)
証明
1)d(A)\leq S-sを示す。
下限と上限の定義から、任意のa,b\in Aに対して、s \leq a,b \leq S
これより、|a-b| \leq S-s。故にd(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)\leq S-s
2)S-s\leq d(A)を示す。
d(A)<S-s だと仮定する。
この仮定から矛盾が生じれば、誤謬法により、2)が成立することが分かる。
仮定により、ある十分に小さい正数\epsilonを取れば、
d(A)<S-s-\epsilon=(S-\frac{1}{2}\epsilon)-(s+\frac{1}{2}\epsilon)\qquad (1)
が成り立つ。
S-\frac{1}{2}\epsilonはAの最小上界Sより小さいのでAの上界ではない。
そのため、あるa_{0}\in Aが存在して
S-\frac{1}{2}\epsilon < a_{0} \qquad \qquad (2)
s+\frac{1}{2}\epsilonは、同様に、Aの下界ではないので、あるb_{0}\in Aが存在して
b_{0}<s+\frac{1}{2}\epsilon \qquad \qquad (3)
式(1),(2),(3)から、
d(A)<a_{0}-b_{0}
これは、d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)と矛盾する。
証明終わり。
実数列の収束と極限、極限の性質
順番に並んだ実数の列
a_1,a_2,,,a_n,,,,,
を実数列といい、
実数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{a_n\}_{n\in {\bf N}}, \{a_n\}
などとも書く。ここで{\bf N}は、すべての自然数を要素とする集合である。
数列の収束と極限
定義
実数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}が実数cに収束するとは、
nを大きくしていくときa_nがcに限りなく近づいていくこと(一致してもよい)。
厳密に述べると、
どんなに小さい正数\epsilonを選んでも、
それに対応する自然数n_{\epsilon}が存在して、
n\geq n_{\epsilon}というどのような自然数nに対しても、
|c-a_n|<\epsilon
が成立すること。
この時、cを数列\{a_n\}_{n}の極限といい、c=\lim_{n\to \infty}a_nと記す。
極限の性質
命題
\alpha ,\betaを任意の実数とし、
実数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}と実数列\{b_n\}_{n=1}^{\infty}は収束すると仮定する。
このとき、以下の諸性質がある。
(1)実数列\{\alpha a_n+\beta b_n\}_{n=1}^{\infty}は収束し、
\lim_{n\to \infty}(\alpha a_n+\beta b_n)
=\alpha\lim_{n\to \infty}a_n +\beta \lim_{n\to \infty}b_n
(2)実数列\{ a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}は収束し、
\lim_{n\to \infty}a_n b_n=\lim_{n\to \infty}a_n\lim_{n\to \infty} b_n=
これらの性質は、極限への収束の定義から明らかである。
有界な単調数列は収束する
定義;単調数列
実数列\{a_n\}が単調増加とはa_i\leq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)がなりたつこと。
実数列\{a_n\}が単調減少とはa_i\geq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)がなりたつこと。
実数列\{a_n\}が単調とは、単調増加か単調減少のこと。
実数列の単調収束定理
1)上に有界な単調増加の実数列\{a_n\}は収束し、
その極限は\sup_{n\in {\bf N}}a_nに等しい。
2)下に有界な単調減少の数列\{a_n\}は収束し、
その極限は\inf_{n\in {\bf N}}a_nに等しい。
証明;
1)。上に有界な数列は、実数の連続の公理から、
上限s=\sup_{n\in {\bf N}}a_nを持つ。
上限の定義から、どんなに小さい正数\epsilonを選んでも、
s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq sをみたす数列の要素a_{n_{0}}が存在する。
数列は単調増加なので、n\geq n_{0}ならばa_{n_{0}}\leq a_n \leq s.
ゆえに、任意の正数\epsilonにたいして、ある番号n_0が存在して、
任意の n\geq n_{0}にたいして、
s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq a_n \leq s
が言えた。ゆえに、この数列はsに収束する。
2)の証明も同様に行えるので省略。
収束する部分列
定義;
数列\{b_n\}_{n=1}^{\infty}が
数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}の部分列\{b_n\}_{n=1}^{\infty}であるとは、
全ての自然数を要素とする集合{\bf N}から、{\bf N}への
関数gが存在して、
b_n=a_{g(n)},(n=1,2,3,,,)となること。
ここで、gは i \leq g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)をみたすものとする。
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
有界な実数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}は収束する部分列を持つ。
証明;
数列の各項x_nを要素とする集合\{x_1,x_2,x_3,,, \}は有界集合なので、
実数の連続性の公理から、
上限b:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}と
下限a:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}をもつ。
I:=[a,b]という閉区間を考えると、数列の全ての要素はこの区間に含まれる。
1)閉区間Iを2等分し部分列の最初の項をきめる。
閉区間Iを2等分して
2つの閉区間[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]に分ける。
どちらかの区間には数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}の項が無限に沢山含まれる。
それをI_1=[a_1,b_1]と表現する。
数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}の中で
I_1に含まれる、最も番号の小さいものx_g(1)を取り出す。g(1)\geq 1である。
2)この手順を繰り返し部分列を作る。
次にI_1を2等分する。このどちらかの区間に数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}の項が無限に沢山含まれる。
そこで、数列要素を無限に多く含む方の区間を選び、I_2=[a_2,b_2]と表現する。
\{n\in {\bf N}\mid a_n\in I_2のなかで、g(1)より大きいもののなかで最小のものg(2)を取り出す。
これを無限に続けていくと、
数列\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}が得られる。
ここで、作り方から、
\quad gは{\bf N}から{\bf N}への狭義の増加関数なので数列\{x_i\}_{i=1}^{\infty}の部分列。
\quad a_i\leq x_{g(i)}\leq b_i,(i=1,2,3,,,,,)、すなわちx_{g(i)}\in I_i,(i=1,2,3,,,)
\quad a_1\leq a_2 \leq \cdots\leq a_n\leq \cdots\leq b_n \leq \cdots\leq b_2\leq b_1
\quad d(I_i)=b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}
である。
y_i:=x_{g(i)},(i=1,2,3,,,)とおく。
3)部分列\{y_i\}_{i=1}^{\infty}は収束する
a_i\leq x_{g(i)}=y_i \leq b_i,(i=1,2,3,,,,,) \qquad (1)
数列\{a_i\}_{i=1}^{\infty}は有界な単調増加数列、
数列\{b_i\}_{i=1}^{\infty}は有界な単調減少数列
なので、単調収束定理により、
其々極限s:=\lim_{i\to \infty}a_nとS:=\lim_{i\to \infty}b_nに収束する。
S-s\leq b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}がすべての自然数iに対してなるたつので
S=s \qquad \qquad (2)
式(1)と(2)から、
\lim_{i\to \infty}y_i=s=S
コーシー数列は収束する
コーシー数列の定義
実数列\{a_n\}がコーシー列とは、
どんなに小さい正数\epsilonを選んでも、
ある番号n_0が存在して、
m,n \geq n_{0}ならば、|a_m-a_n|<\epsilon
となること。
定理(コーシー)
実数列\{a_n\}に対して
数列が収束する \Leftrightarrow コーシー列である。
証明;
(=>)実数列\{a_n\}が極限sに収束すると仮定する。
どんなに小さい正数\epsilonを選んでも、
ある番号n_0が存在して、
n \geq n_{0}ならば|a_n-s|<\frac{\epsilon}{2}
そこで、m,n \geq n_{0}ならば、|a_m-a_n|\leq |a_m-s|+|s-a_n|<\epsilon
ゆえに、コーシー列である。
(<=)実数列\{a_n\}がコーシー列とする。
1)数列は有界
何故なら、正数1に対して、ある番号n_0が存在して、
m,n \geq n_{0}ならば、|a_m-a_n|<1
これより、m \geq n_{0}ならば、|a_m-a_{n_{0}}|<1
これより、a_{n_{0}}-1<a_m<a_{n_{0}}+1
すると数列の全ての要素は
M:=\max{a_1,a_2,,,a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}+1}
以下となり上に有界である。
下に有界であることも、同様にして分かる。
2)収束する部分列の存在
数列が有界なので、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、
収束する部分列\{y_i:=x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}がある。
その極限をs:=\lim_{i\to \infty}y_iとおく。
3)s:=\lim_{n\to \infty}a_nを示す。
数列\{a_n\}がコーシー列なので、
どんなに小さい正数\epsilonをとっても、
ある番号n_0が存在して、m,n\geq n_0である自然数m、nに対して
|a_m-a_n|\leq \epsilon
s=\lim_{i\to \infty}y_iなので
ある番号i_0が存在してj\geq i_0である自然数jに対して、
|y_j-s|\leq \epsilon
すると、i_1:=\min{i\in {\bf N}\mid g(i)\geq n_0,i\geq i_0}とおくと、
n\geq g(i_1)である自然数nに対して
|a_n-s|\leq |a_n-a_{g(i_1)}|+|a_{g(i_1)}-s|\leq 2\epsilon
故に数列\{a_n\}は収束しその極限がsであることが証明された。
閉区間の中の数列の極限
命題;
収束する実数列\{a_n\}の各項a_nが閉区間I=[a,b]に含まれれば、
その極限x_0:=\lim_{n\to \infty}a_nもIに含まれる。
証明
もしx_0\notin [a,b]とすると、x_0>b か x_0<aである。
前者のとき、\epsilon:=\frac{x_0-b}{2}とえらぶと、
x_0:=\lim_{n\to \infty}a_nなので、
ある番号から先はすべて|x_0-a_n|<\epsilon,
これよりa_n >b,a_n\notin I
となりa_n\in I_n \subset Iに矛盾してしまう。
後者の場合も、同様に、矛盾が生じる。
関数の連続性
関数の連続性の定義;
実数の区間Iで定義された実数値あるいはベクトル値の関数 f(x) が
ある点 x_0\in Iで連続であるとは、
x\in Iがx_0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x_0) に限りなく近づく
ことを言う。
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)と記す。
これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。
(小さな)正の数 ε が任意に与えられたとき、
(小さな)正の数 δ を適切にえらべば、
x_0 と δ 以内の距離にあるどんな x\in I に対しても、
f(x_0) と f(x) の差が ε より小さいようにすることができる。
記号でかくと(|x-x_0|<\delta,x\in I) \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
(注)関数がn次元空間{\bf R^n}の区間I^nで定義され
関数値がベクトルのときも、関数の連続性の定義は変わらない。
この場合には、|\bullet|は\bulletのノルムを表す。
数列の極限を用いた連続性の表現
命題
関数fは
n次元の開区間I^n=\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]:=\{(x_1,x_2,,,X_n)\mid x_i\in [a_i,b_i],(i=1,2,,,n)\}で定義され、
m次元ベクトルに値を取る関数とする。
すると任意のa\in I^nに対して、次の(1)と(2)は同値である。
(1)\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
(2)x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)をa\in I^nに収束する任意の点列とすると
\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)
証明
(1)ならば(2)を示す。
(1)を仮定したとき、
任意の\epsilon>0に対して、ある番号n_0が存在し、
任意の自然数n(\geq n_0)に対して、\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilonを示せばよい。
仮定から、この\epsilonに対して、正数\deltaが存在して、
\|a-x\|<\deltaを満たす任意のx\in I^nに対して
\|f(a)-f(x)\|<\epsilon \quad \qquad (1)
x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)はa\in I^nに収束するので、
ある番号n_0が存在して,n\geq n_0である任意の自然数nに対して、
\|a-x_n\|<\delta
故に、式(1)から\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilon
(2)ならば(1)を示す。
背理法を用いる。
(1)が成り立たないと仮定する。
すると、ある\epsilon>0が存在して、
どんなに小さい正数\delta>0に対しても、
|x-a|<\delta、\|f(a)-f(x)\|\geq \epsilon
を満たすx\in I^nが存在する。
そこで、任意の自然数nに対して、
|x-a|<\frac{1}{n}、\|f(a)-f(x)\|\geq \epsilon
をみたすx\in I^nを一つ選び、x_nとおく(n=1,2,3,,,,)。
数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}を作ると、
この数列は明らかにaに収束する。
ところが\|f(a)-f(x_n)\|\geq \epsilon,(n=1,2,3,,,)
なので、関数値のつくる数列\{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty}
はf(a)に収束しない。
これは条件(2)に反し、矛盾である。
証明終わり。
連続関数の性質
命題1.有界閉区間I=[a,b]で定義された実数値の連続関数fは有界である。
但し、fが有界とは\{f(x)\mid x\in I\}が有界集合のこと。
証明;
上に有界でないと仮定して矛盾が生じることを示せば良い。
下に有界でない場合も全く同じように証明できる。
fが上に有界でないので、任意の自然数nにたいして、
f(x_n)\geq nとなる点x_n\in Iが存在する。
数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}は有界なので
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から、
収束する部分列\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}が存在する。
その極限を\xiとおく。
すると関数値から作られる数列\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}は、
関数の連続性から、収束しf(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})
ところが、f(x_{g(i)})\geq g(i)\geq iなので、
この極限は存在せず無限大に発散。矛盾が生じる。
証明終わり。
命題2
fは、有界閉区間I=[a,b]で定義された実数値の連続関数とする。
すると、fは、I上で最大値と最小値を持つ。
証明;
1)命題1からfは有界関数なので、{\bf R(f)}:=\{f(x) \mid x\in I\}は実数からなる有界集合。
実数の連続性の公理から、{\bf R(f)}の下限と上限m:=\inf {\bf R(f)},M:=\sup{\bf R(f)}が存在。
2)MはfのI上の最大値、
Mが{\bf R(f)}の上界なので任意のIの要素xに対してf(x)\leq M。
f(\xi)=Mとなる\xi\in Iが存在することを証明すれば良い。以下に、これを示す。
1)任意の自然数nにたいしてM-\frac{1}{n}は{\bf R(f)}の上界でなくなるので、
M-\frac{1}{n}<f(x_n)を満たすx_n\in Iが存在する。
これらの数の作る数列\{x_n\}_{n=1}^{\infty}は、有界なので、
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から、
収束する部分列\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}が存在する。
この極限を\xi:=\lim_{i\to \infty}x_{g(i)}とおく。
ここで、部分列は閉区間Iのなかにあるので、すでに証明した命題から、
\xi\in I
そこで関数の連続性から、
\xi\in I \qquad \qquad (1)
数列\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}は収束し、その極限は
f(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)}) \qquad \qquad (2)
ところが、全ての自然数nに対して、M-\frac{1}{n}<f(x_n)\leq M,g(n)\geq nなので
M-\frac{1}{i}<f(x_{g(i)})\leq M,(i=1,2,3,,,)
この式のiについての極限をとると
\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})=M
この式と式(2)から、
f(\xi)=M \qquad \qquad (3)
式(1)と式(3)から、Mが最大値であることが示せた。
証明終わり。
実数値関数とベクトル値関数の微分
このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。
以下の文献も必要に応じて参考にしてください。
一冊では不十分な内容なので色々あげてある。
実数値関数の微分
実数の開区間I=(a,b)上で定義された実数値関数y=f(x)を考える。
定義;微分可能性
関数fがs\in Iで微分可能であるとは、極限
\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}=c \qquad \qquad (1)
が存在することである。
この時cをfのsにおける微分係数あるいは導値といい、
f'(s)、\frac{df}{dt}(s)、(Df)(s)
などと書く。
I=(a,b)の各点でfが微分可能であるとき、fは微分可能関数(あるいは
微分可能)という。
この時、任意のs\in Iに対して、f'(s)が定まるので、
関数f'が定まる。これをfの{\bf 導関数}(derivative)という。
微分係数の意味
(1)\frac{f(s+h)-f(s)}{h}は、区間[s,s+h]における関数値の平均変化率である。
その極限である微分係数f'(s)は、関数値のsにおける瞬間的な変化率と考えられる。
(2)2次元空間(平面のこと)に直交座標座標系O-xyをいれ、
関数y=f(x)のグラフG=\{(x,y)\mid x\in I,y=f(x)\}を描く。
すると、
f'(s)が存在することは、x=sにおいてグラフGが接線をもつことと同等であり、
接線の方程式は
y=f'(s)(x-s)+f(s)である。
これは、接線の定義からただちに分かる。
(3)hを零に近づけていったときの極限の意味をさらに深めるため
微分可能の定義を、それと同等の別の表現に変換しよう。
(1)式の右辺の定数を左辺に移行すると
\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}=0
次に、
o_{s}(h):=\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}\qquad \qquad (2)
という、変数hの関数を定義する。
すると関数fがs\in Iで微分可能で、微分係数がcである必要十分条件は
\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0
である。
(2)式を変形すると
f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h
ゆえに次の命題が証明できた。
命題;
次の3つの条件は同等である。
1)関数fはs\in Iで微分可能で、微分係数はcである
2)関数fは、
f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h \qquad \qquad (3)
と表現できる。
ここで、o_{s}(h)は
\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0 \qquad \qquad (4)
を満たす関数
3) 関数fは、
sの近傍の点xで
f(x)=f(s)+c(x-s)+\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s) \qquad \qquad (3)
ここで、o_{s}(x-s)は
\lim_{x \to s,x\neq s}o_{s}(x-s)=0 \qquad \qquad (4)
を満たす関数
この定理の3)により、
「関数がsで微分可能であり、微分係数がcであること」は、
「この関数がsの近傍の点xで直線y=f(s)+c(x-s)で近似でき、
誤差|f(x)-(f(s)+c(x-s))|=|\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s)| が,
xをsに近づけていくとき、h=x-sより高次で0に収束する(注参照)
ことと同等であることが分かる。
(注)\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{o_{s}(h)h}{h}=0
命題の系;関数がsで微分可能であれば、sで連続である。
証明;命題の2)を用いると、
f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h
この式から、|f(s+h)-f(s)|=|(c+o_{s}(h))h|
\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0なので\lim_{h \to 0,h\neq 0}|(c+o_{s}(h))h|=0。
ゆえに、\lim_{h \to 0,h\neq 0}|f(s+h)-f(s)|=0
これは、関数がsで連続であることの定義そのものである。
導関数の性質
(1)f,gがI=(a,b)上で定義された、微分可能な実数値関数ならば
\alpha f+\beta g、fg(s):=f(s)g(s)は微分可能で
それらの導関数の間には、
(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'(線形性)ここで\alpha,\betaは任意の実数。
(2) (fg)'=f'g+fg'
証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。
平均値の定理
ロールの定理
fを有界閉区間I=[a,b],(b>a)で定義された実数値関数とする。
fがI=[a,b]で連続、開区間I^{\circ}=(a,b)で微分可能,しかもf(a)=f(b)ならば、
f'(\xi)=0を満たす\xi\in (a,b)が存在する。
証明;
「関数の連続性」の命題2から、閉区間上の連続関数は最大値Mと最小値mをもつ。
すると、m \leq f(a)=f(b)\leq M
1)m =f(a)=f(b)=Mの場合
I上でf\equiv f(a)
すると、f'\equiv 0なのでこの定理は成り立つ。
2)f(a)=f(b)<Mの場合
f(\xi)=Mとなる数\xi\in (a,b)が存在する。
a<\xi+h<bをみたす、絶対値が十分小さい数hにたいして
f(\xi+h)\leq f(\xi)=M なので、f(\xi+h)-f(\xi)\leq 0
hが正のとき
\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0 \qquad \qquad (1)
hが負のとき
\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geq 0 \qquad \qquad (2)
関数は、\xi\in (a,b)で微分可能なので、
\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=\lim_{h\to 0,h<0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f'(\xi)
ところが式(1)から
\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \leq 0
式(2)から
\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \geq 0
なので
f'(\xi)=0
3)f(a)=f(b)>mの場合
2)と同様に証明できる。
証明終わり。
平均値の定理
fを有界閉区間I=[a,b],(b>a)で定義された実数値関数とする。
fがI=[a,b]で連続で、開区間I^{\circ}=(a,b)で微分可能ならば、
ある数\xi\in (a,b)が存在して、
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
証明;
関数gを次式で定義する。
g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
すると、
gはI=[a,b]で連続で、開区間I^{\circ}=(a,b)で微分可能
g(a)=g(b)=f(a)
gはロールの定理の仮定を満たす。
そこでロールの定理から、
g'(\xi)=0を満たす\xi\in (a,b)が存在する。
gの定義から
g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
故に、
0=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
が得られる。この式を整頓すると
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
証明終わり。
系;fがI=(a,b)上で定数\Leftrightarrow I上で恒等的にf'(t)=0
ベクトル値関数の微分
実数の開区間I=(a,b)上で定義され,n次元の実ベクトル(\in {\bf R^n})に
値をとる関数\vec fを考える。
定義;微分可能性
実数値関数の場合と同じである。
導関数の線形性の性質も成り立つ。
ベクトル値関数の微分とその成分関数の微分の関係
関数値\vec f(s)は{\bf R^n}の要素なので
\vec f(s)=(f_1(s),f_2(s),\cdots f_n(s))
と表示できる。
すると\vec fのn個の成分関数
f_i,(i=1,2,\cdots n)
が得られる。
命題;
\vec fがs\in Iで微分可能\Leftrightarrowf_i(i=1,2,\cdots n)がs\in Iで微分可能。
この時、{\vec f}'(s)=({f_1}'(s),{f_2}'(s)\cdots {f_n}'(s))
ベクトル積の微分
命題
\vec{a(t)} と \vec{b(t)} は、開区間I上で定義され、
微分可能なベクトル値関数とする。すると、
\quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)} は微分可能で、
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})
証明
すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
(\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t \qquad (1)
を用いて証明する。
この極限が存在し、
\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}
になることを示せば命題は証明できたことになる。
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。
\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}
= \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
-\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
+\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}
ベクトル積の命題3を利用すると、
= \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right)
この式を式(1)の右辺の分子の項に代入し整頓すると
\quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}
{\delta t}
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) }
{\delta t}
ベクトル積の命題4を使い、
=\lim_{\delta t \to 0}\left(
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+
\vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}
{\delta t}
\right)
極限の命題を使って、
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)
+
\vec a(t)\times
\lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t}
式中の極限は、\vec a,\vec bが、微分可能なので存在し、
\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec a(t)}{dt}
\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec b(t)}{dt}
C^{1}級の関数
開I=(a,b)上の関数 f が連続的微分可能(continuously differentiable)であるとは,
I上で導関数 f' が存在して、しかもf' がI上で連続であることをいう。
I=(a,b)上で連続的微分可能である関数をC^{1}級関数という。
多変数の実数値関数の微分
{\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}
の開区間
I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)上で定義された実関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)
を考える。
一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後
{\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)とおき、y=f({\bf x})と書くこともある。
この上で定義された実数値関数y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)の微分について説明する。
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり
\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c
が存在するときsで微分可能と定義すること。
しかし、
{\bf h}はn次元ベクトルなので割り算は不可能。
方向微分
そこで、{\bf p}\in {\bf R^n}、{\bf p}\neq 0を用いて、
この方向にそってh=t{\bf p}が零に近づく(t \to 0)ときの
関数値の瞬間的変化率を考える。
定義;{\bf p}方向の微分可能性
関数fが{\bf s}\in I^nで{\bf p}方向に微分可能であるとは、極限
\lim_{t \to 0,\neq 0}\frac{f({\bf s}+t{\bf p})-f({\bf s})}{t}=c \qquad \qquad (1)
が存在することである。
この時cをfの{\bf s}における{\bf p}方向の微分係数あるいは{\bf p}方向の導値といい、
\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})、(D_{\bf p}f)({\bf s})
などと書く。
I^n=\prod_{i}(a_i,b_i)の各点でfが{\bf p}方向に微分可能であるとき、
fは{\bf p}方向に微分可能関数という。
この時、任意の{\bf s}\in I^nに対して、\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})が定まるので、
関数\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }が定まる。
これをfの{\bf p}方向の{\bf 導関数}という。
偏微分
{\bf R^n}の自然基底{\bf e_1}=(1,0,\cdots 0),,,,,{\bf e_n}=(0,0,,,1)を、
方向に選んだときの方向微分は、良くつかわれる。
定義;偏微分
関数fが{\bf s}\in I^nで{\bf e_i}方向に微分可能であるとき、
fは、{\bf s}\in I^nで第i座標x_iにかんして偏微分可能という。
(D_{\bf e_i}({\bf s})を, fの {\bf s}における x_i についての偏微分係数といい、
\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s}),f_{x_{i}}({\bf s}),(D_if)({\bf s})
などと書く。
C^{1}級の関数
I^n=\prod_{i=1}{n}(a_i,b_i)上の関数 f が連続的微分可能(continuously differentiable)であるとは,
I上ですべての偏導関数 \frac{\partial f}{\partial x_i},(i=1,2,,,n) が存在して、しかもI上で連続であることをいう。
連続的微分可能な関数をC^{1}級関数という。
n次元開区間I^n上のC^{1}級関数を全て集めた、(関数)集合をC^{1}(I^n)と記す。
定理;
I^nをn次元開区間
fをI^nで定義されたn変数の実関数
{\bf p}をn次元の零でない任意のベクトル
とする。
もしf\in C^{1}(I^n)ならば、
(1)fはI^n上で{\bf p}方向に微分可能
(2)(D_{\bf p}f)({\bf s})=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s})
ここで、p_{i}は {\bf p}の第i成分。
証明
微分(全微分)
定義1;微分可能(全微分可能ともいう)、導値(微分係数)、導関数
定理1;
微分可能ならば、偏微分可能
定理2
C^{1}級の関数は微分可能