物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式
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9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析
多変数の実数値関数の微分
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル $h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
そこで、$f$ の変数 $\bf x$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、他の変数は固定 $\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$ して得られる一変数関数
$\phi^{i}(x_i)$
$:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分
$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$
を考えることができる。
定義（偏微分）
変数 $\bf x$ の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ に固定する。
もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$ が $x_{i}=x_{i,0}$ で微分可能ならば、
関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$ において、$x_i$ に関して偏微分可能のであると言い,
$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$
を、$f(\bf x)$ の $\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$ における、$x_i$ に関する偏微分係数という。
定義（偏導関数）
$R^n$ のある集合 $G$ の内部の全ての点$\bf x$で
$f(\bf x)$ が $x_i$ に関して偏微分可能であるならば、
$G$ の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの $x_i$ に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、$f(\bf x)$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号
$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$
などで表示する。
定理（合成関数の微分）
$R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と
$R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数
$h(x,y)=g(f(x,y)$
を考える。
もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能で,
$\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、
$h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能
