物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式
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目次 |
9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析
多変数の実数値関数の微分
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-55-QINU の開区間
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-56-QINU上で定義された実関数UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-57-QINUを考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-58-QINUとおき、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-59-QINUと書くこともある。
この上で定義された実数値関数UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-60-QINUの微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-61-QINU を考え、極限
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-62-QINU
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-63-QINUはｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
そこで、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-64-QINU の変数 UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-65-QINU の第i成分 UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-66-QINU だけを変数とし、
他の変数は固定 UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-67-QINU して得られる一変数関数
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-68-QINU
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-69-QINU （ここでUNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-70-QINU）
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-71-QINU
を考えることができる。
定義（偏微分）
変数 UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-72-QINU の第i成分以外は、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-73-QINU に固定する。
もし、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-74-QINU が UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-75-QINU で微分可能ならば、
関数ｆは、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-76-QINU において、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-77-QINU に関して偏微分可能のであると言い,
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-78-QINU
を、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-79-QINU の UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-80-QINU における、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-81-QINU に関する偏微分係数という。
定義（偏導関数）
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-82-QINU のある集合 UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-83-QINU の内部の全ての点UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-84-QINUで
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-85-QINU が UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-86-QINU に関して偏微分可能であるならば、
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-87-QINU の内部の全ての点UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-88-QINUに、そこでの UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-89-QINU に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-90-QINU の UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-91-QINU に関する偏導関数といい、記号
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-92-QINU
などで表示する。
定理（合成関数の微分）
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-93-QINU から UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-94-QINU への関数UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-95-QINU と
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-96-QINU から UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-97-QINU への関数UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-98-QINU の合成関数
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-99-QINU
を考える。
もし、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-100-QINU が UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-101-QINU で、ｘに関して偏微分可能で,
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-102-QINU が、UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-103-QINU において微分可能ならば、
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-104-QINU は UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-105-QINU で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
UNIQ6a95b56e7ef2ec01-MathJax-106-QINU級の関数は微分可能
