物理/静電気と静電場（その２ 静電誘導・誘電分極）
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目次 |
「5.2 静電気と静電場（その２） 静電誘導・誘電分極」
静電場中の導体と静電誘導
導体
移動可能な電荷を含む物質を導体（conductor)あるいは電気伝導体という。
金属など多くの物質は、自由に移動可能な電子（自由電子)を持つので、導体である。
*ウィキペディア（電気伝導体導体）
静電誘導
導体を静電場の中に置くと、導体中の移動可能な電荷が電場からの力で移動する。
負の電荷はこの電場の電気力線の上流側の導体表面に、正の電荷は下流側の表面に帯電する。
この現象を静電誘導(electrostatic induction)という。
なぜこの現象が起こるか考えてみよう。
導体に静電場をかけると導体内部の自由電子は、
この電場から電気力線の上流方向の力を受けて移動し、電気力線の上流側の導体表面に貯まっていく。（注参照）
反対側である電気力線の下流の導体表面は、（自由電子が移動し欠乏するため）正に帯電していく。
すると、この正負の帯電電荷により、導体内部に外部電場を打ち消すような電場が誘導され、
誘導電場と外部電場の和（導体内部の電場）が零になるまで、自由電子の移動は続く。
この移動はきわめて短時間のうちに終わり、導体は安定した帯電体になる。
こうして静電誘導が起こる。
（注）導体の外部に電子が飛び出すには非常に大きな力がいるため、通常は導体表面に留まる。
命題１（静電誘導状態の導体の電荷分布と表面電場）
電場中の静電誘導している導体を考える。この時、
ⅰ）電場の上流側の表面には負電荷、下流側の表面にはそれと逆符号の正電荷が生じ、導体全体の電荷は零である。
ⅱ）導体内部の電場は零であり、導体内部には電荷は存在しない。
ⅲ）導体の表面が滑らか（注を参照のこと)ならば、導体表面の電場は、この表面に直交し、
この電場により表面電荷は、表面に垂直な外部に向けた力を受ける。
ⅳ）導体のどの点も等電位である。
証明；
ⅰ）すでに説明した。
ⅱ）静電誘導状態の導体の内部の電場が零であることは、すでに説明した。
導体内部には電荷がないことを示そう。
導体内部に、表面が滑らかな任意の小領域Ｒをとる。
この領域内の電荷総量をＱとし、この領域の表面Ｓを考え、
ガウスの法則を適用する。
すると、導体の内部の電場が零なので球面を貫く電気力線の本数は零であり、
$0=\frac{Q}{\epsilon_0}$が得られる。
この式からQ=0が得られる。
導体内部のどんな、表面が滑らかな小領域にも電荷がないので、導体内部には電荷がないことが分かる。
ⅲ）背理法を用いて証明しよう。
表面のある点の電場の向きが表面に直交しないと仮定する。
表面電荷に働く力は、方向が電場の方向と等しいので表面には直交せず、導体の外部に向いていることになる。
すると、この力を2つの直交する力の和に分解して、少なくともその一方が導体内部への力になるものがある。（注参照）
するとこの力の成分により表面電荷は、導体内に移動してしまう。
これは、導体が静電誘導状態であることに矛盾する。
背理法により、表面の電場の向きが表面に直交することが示せた。
導体表面のある点ｘの電場 $\vec{E}(x)$とその点における単位外法線 $\vec{n}(x)$の作る角の2等分線ｌと考える。
$\vec{n}(x)$と$\vec{E}(x)$を含む平面上でこの直線と直交し点ｘを通る直線ｍをとり、$\vec{E}(x)$を、この2直線に直交分解すればよい。
☆☆一様な静電場の中に置かれた導体球RT
帯電していない導体で出来た球を考える。 導体内には自由に動ける負の電荷とそれと絶対値は等しく逆符号の正の電荷が一様に分布しているとみなせる。 この球を一様な静電場の中に置くと自由に動ける負の電荷が、電場の向きと逆の向きの力を受け、
接地（アース）
地球は非常に大きい導体とみなせ、その電位は一定である。
そこで、地球の電位を基準（零）として、電位を決めることが多い。アース電位と呼ぶ。
導体を導線で地球とつなぐと、導体は地球の電位と同じ一定値(アース電位０)に保てる。
これを接地する、または、アースをとる、という。
はく検電器
静電誘導現象を用いて、物質が帯電しているか否かを調べる機器を作ることができる。
検電器と呼ぶ。一例として検電器について述べる。
- ファイル:GENPHY00010502-02.pdf図 はく検電器
図のように金属棒の一端に２枚の開閉できる金属箔が付き、他端には円形の金属板のついた装置を、はく検電器という。
中性（帯電していない)の、はく検電器の金属板に正の帯電体を近づけると、
金属箔と金属棒中の自由電子が金属板に引き付けられる。
すると、２枚の金属箔が共に(電子欠乏で)正に帯電するため反発し合って箔が開く。
中性の物質を近づけても、電気的変化は起きず箔は閉じたままである。
(注）負の帯電体を近づけたときは、2枚の金属箔は共に負に帯電し箔が開く。
はく検電器による蓄電
この状態で、検電器の金属板に手をふれて大地とつなげると、
検電器のはく(箔)にたまった電荷は大地に流れ出し（実際には大地から電子が、箔に流れ込み）、箔の電荷は消失して閉じ、
検電器の金属板には、帯電物体の電荷に引き付けられている自由電子が残る。
検電器全体でみると、負に帯電したことになる。
そこで検電器の金属板に近づけていた帯電体を遠ざけると、
たまった負電荷の一部が箔に流れ込み、２枚の箔は反発して開く。
帯電導体の性質
導体を帯電すると電気は反発しあって、互いに離れようとする。
命題２（帯電導体の電荷分布と表面電場）
真空中の帯電導体を考える。この時、
ⅰ）帯電した電荷の作る電場が導体内部では零であり、導体は等電位である。
ⅱ）電荷はすべて導体表面に分布し、内部にはない。
ⅲ）導体の表面が滑らかならば、導体表面の電場は、この表面に直交し、
この電場により表面電荷は、表面に垂直な外部に向けた力を受ける。
証明は、命題１と同様にしてできる。
命題３；
導体表面は滑らかで、電荷分布が$\sigma$で与えられるとき、
導体表面の電場の大きさは$E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$
導体の表面上の一点ｘを含む微小な直方体を図のようにとる。
ここで下底面は、導体表面の近くの導体内部の面で、表面に平行であり、
上底面は導体表面近くの外部の面で表面に平行であるとし、
側面は表面と直交するようにとってある。
この直方体の表面にガウスの法則を適用する。
直方体の内部にある電荷量は、底面の面積をＳとおくと、$Q=\sigma S$である。
次に直方体表面を貫く電気力線の本数を求める。
下底面の電場は零（命題２）なのでそれを貫く電気力線はなく、側面を貫く電気力線もない（電場と側面が平行のため）。
従って、上底面を貫く電気力線の本数＝EＳが直方体表面を貫く電気力線の総本数。
ガウスの法則より、
$ES=\frac{\sigma S}{\epsilon_0}$
この式から所望の結果が得られる。
命題４；導体球の帯電
半径aの導体球に電荷量Ｑを帯電する.
ⅰ）この電荷は導体表面に一様に分布する。
ⅱ）導体球の中心から距離$r(\ge 0)$の点の電場の大きさＥは、
$\qquad r\lt a$ ならば E=0
$\qquad r\geq a$ ならば $E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$
ⅲ）導体球の中心からの距離ｒの点に、この電場が作る（無限遠を零とする）電位$\phi(r)$は、
$\phi(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 a }\qquad $ ;$r\leq a$のとき。
$\phi(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r }\qquad $ ;$r\gt a$のとき。
証明；
静電遮蔽
静電場の中に置かれた、導体の箱の中の空間には、電荷が存在しない限り、電場は存在せず、電位は一定である。
このように導体の箱の内部は、外部の静電場から遮蔽されている。
問い。何故か、考察せよ。
ヒント： 背理法で証明する。
もし、箱の内部の電位が一定でないとすると、
「電位は、ある内部の点ｐで最大値をとり、その値は導体箱の電位（一定）より大きい」か、
「ある内部の点ｐ’で最小値をとり、その値は導体箱の電位より小さい」。
前者では、ｐ点を含む小さな立体を考えると、それを内から外へ貫く電気力線の数は正となり、ガウスの法則に反する。
後者でも同様。
コンデンサー
コンデンサーは,蓄電器あるいはキャパシターともいわれ、電気を蓄える道具である。
真空などの不導体(絶縁物)によって分離され、対向して置かれた２枚の電極ないし電極板によって構成される。
電極間に(直流電池につなぐなど）電圧を加えると、一方の電極の自由電子が他方の極に流れ、前者が正に、後者が負に帯電して電気を蓄える。
効率よく電気を蓄えるために、正電極から発生する電気力線が、
殆どすべて負の電極に終わるように作られている。
平行板コンデンサー
同じ形、大きさの２枚の金属の薄い平板を、距離 $d[m]$ を隔てて平行に置き、
それぞれの板に電極を付けたものを、平行板コンデンサーという。図参照のこと。
コンデンサーに蓄えられる電気量Ｑと電圧Ｖの関係
命題５；
ⅰ）コンデンサーの正極板の帯電量が$Q(\gt 0)$のとき、負極板の帯電量は$-Q$である。
ⅱ）コンデンサーの両極板間の電圧Ｖと正極板の帯電量$Q$ は正比例する。
$Q = C V \qquad\qquad \qquad (1)$
上式の比例定数Ｃをコンデンサーの容量(capacity)と呼ぶ。
証明：
ⅰ）明らか。
ⅱ）コンデンサーの両極板の帯電量$\pm Q$とこの電荷の作る電場は、重ね合わせの原理から、正比例することが分かる。
電場と電圧も正比例するので、帯電量Ｑは、極板間の電圧Ｖに正比例する。
$Q = C V $
平行板コンデンサーの電気容量
命題６；
極板の面積をＳ，極板間の距離をｄとすると、
$C = \varepsilon_0 \frac{S}{d}.......(9-9) $
ここで、$\varepsilon_0 = 8.85418782*10^{-12} $
[F/m] は真空の誘電率, [F/m]＝$[\frac{C^2}{N m^2}]$ 。
（何故なら）
$Q = CV$の両辺に$d/S$をかけた式$\frac{Q}{S}d = CVd/S$に、
電荷密度 $\sigma=\frac{Q}{S}$ と$V = E d=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d $（注参照)を代入して得られる式
$\sigma d = CEd^2/S$
に $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} $ を代入し、
Ｃについて整頓すると、所望の式が得られる。
（注)ガウスの法則の応用の「２：平行版コンデンサー」を参照のこと。
電気容量Cの単位
電気容量Cの単位は,$Q = C V $ を用いて以下のように定める。
$C = Q/V $ なので、
電位Ｖの単位はボルト$[V] $、電荷Ｑの単位はクーロン$[C] $を用い、
$[F]=[C/V]$
この単位[Ｆ]をファラッドという。
ここで、$[V]=[J/C]=[Nm/C]$（[N]は力の単位、ニュートン）なので
$[F]=[\frac{C^2}{J}]=[\frac{C^2}{N m}]$とも書ける。
普通に使われるコンデンサー容量は、１Ｆに比べてはるかに小さいので、
次の単位が使われることが多い。
μF=$10^{-6}F$(マイクロファラッド）
pF=$10^{-12}F$(ピコファラッド）
真空の誘電率$\varepsilon_0 $の単位
真空の誘電率$\varepsilon_0 $ は、
$\varepsilon_0\fallingdotseq 8.9\times 10^{-12} [\frac{C^2}{N m^2}]$
であった。
$[F]=[\frac{C^2}{N m}]$を用いて、単位を書き直せば
$[\frac{C^2}{N m^2}]=\frac{F}{m}$
コンデンサーに蓄電するのに必要なエネルギー
命題７
容量Ｃのコンデンサーに電荷$ Q $を蓄えるのに必要なエネルギー は、
$ \mathcal{E} = \frac{1}{2} Q V =\frac{1}{2} C V^2=\frac{Q^2}{2C}$ である。
ここで、$ V $は、$ Q = C V $を満たす値。
理由：
横軸にq軸(電荷量)，縦軸にv軸（極板間の電圧)をとり、$v = q/C $ のグラフ（直線）を書く。
図を参照のこと。
電荷量$\tilde{q}$ を$0 \le \tilde{q} \lt Q $ とし、ｎを大きな自然数に取り$d\tilde{q}=\frac{Q}{n}$を非常に小さな数とする。
電荷量を$\tilde{q}$から$\tilde{q}+d\tilde{q} $まで増やすのに必要なエネルギーを求めよう。
増加する電荷$d\tilde{q}$は微小なのでこの間、極板間の電圧$v = \tilde{q}/C $は一定とみなせる。
そこで、電荷量を$d\tilde{q}$増やすのに必要なエネルギー$d\mathcal{E}$は
$d\mathcal{E}=v d\tilde{q}=(\tilde{q}/C) d\tilde{q}$と考えられる。
$v = q/C $ のグラフでいえば、これは、図の斜線部の面積にあたり、
q軸と直交する2本の直線$ q=\tilde{q}, q=\tilde{q}+d\tilde{q} $ と直線$v=0 $（q軸）、直線$v= q/C$ で囲まれた領域の面積にほぼ等しい。
全エネルギーの近似値$\mathcal{E}_{\tilde{q}}$は、$ \tilde{q} = 0 $ で $ d\mathcal{E} $を求め始め、
$\tilde{q}=d\tilde{q} $ 、 $\tilde{q}=2(d\tilde{q})$ 、、、、と増やして
$ \tilde{q}=Q-d\tilde{q}$ までの$ d\mathcal{E}$を求め,加え合わせる。
これは、
q軸と直交する直線$ q=Q $ ,直線$v = q/C$とq軸によって囲まれる3角形を、
底辺の長さが $d\tilde{q} $ の長方形の和で近似して面積を求めた値である。
正確なエネルギー$\mathcal{E}$は、
$d\tilde{q} $を無限に小さくしていくときの$\mathcal{E}_{\tilde{q}}$の極限であたえられ、
q軸と直交する直線$ q=Q $ ,直線$v = q/C$とq軸によって囲まれる3角形の面積になる。
故に$ \mathcal{E}= \frac{1}{2} Q V =\frac{1}{2} C V^2=\frac{Q^2}{2C}$ （終わり）
（注）数学が強い方は積分計算で簡単に\mathcal{E}を求められる。
$\mathcal{E} =\int_0^{Q}(q/C)d\tilde{q}=[q^{2}/2C]_0^{Q}=Q^{2}/2C= C V^2/2$
コンデンサーに蓄えられたエネルギー
命題８；
容量Ｃのコンデンサーに電荷が$ Q $蓄えられているとき、
この電荷は、外部に仕事
$ \mathcal{E}=\frac{Q^2}{2C}$
をなすことができる。
電場中の不導体と誘電分極(RT)
不導体は自由電子をもたないので、電場のなかに置いても何の変化も起こさないように思える。
しかし、ファラデーは、コンデンサーの極板間に不導体をいれると、
その容量が増すことを発見した。
ファラデーの発見した経験則と比誘電率
平行板コンデンサーの極板間の電圧を一定に保ちながら、
極板間を不導体で隙間なく満たすと、
コンデンサーの容量$C_{r}$ は$\varepsilon_r $倍に増える。
$C_{r} = \varepsilon_r C,\quad (\varepsilon_r \gt 1)$ 。
ここで、$ \varepsilon_r $は比誘電率といい、
1以上の、不導体に固有な値である。
$\varepsilon_r \varepsilon_0 $を、この不導体の誘電率と呼び、
$\varepsilon $ で表す。
極板間を完全には満たさない薄い不導体の板をいれても、
不導体の種類とその厚さに応じて、コンデンサーの容量は増加する。
不導体表面に電荷が誘導される
RT;大幅に短縮可能で、分かりやすくなりそうである。
ファラデーの発見した経験則をもとに、不導体に何が起こるのか、
なぜコンデンサー容量が増すのかを考察しよう。
(1) 帯電増加量
極板間に不導体が入っていない時、両極板の間に電圧Ｖをかけると、
極板にはそれぞれ$ \pm Q=\pm CV $の電荷が帯電する。
次に比誘電率$ \varepsilon_r $で厚さ$ d $の不導体をコンデンサー間に（隙間なく）挿入すると、
両極板には、それぞれ$ \pm Q_{r}=\pm C_{r}V=\pm \varepsilon_r Q $の電気が貯まる。
増加した帯電量は、$ \delta Q=C_{r}V-CV= \varepsilon_r CV-CV=(\varepsilon_r-1)CV $ 。
(2) 両極板の電荷のつくる電場の大きさRT
極板間に不導体が入っていない時;
極板間の電圧がＶの時、両極板の電荷は$ \pm Q=\pm CV $なので、
両極板の表面電荷密度は$ \pm \sigma =\pm Q/S=\pm CV/S $、ここでＳは極板面積。
これが極板間につくる電場$ \vec E $は、
方向が正電極から負電極へむかう垂線の方向と一致し、大きさは、$E=\sigma/\varepsilon_0$
極板間に不導体を挿入した場合;
極板間電圧がＶの時、極板電荷は$ \pm Q_{r}=\pm C_{r}Q$に増えるので、
極板の表面電荷密度は$ \pm \sigma_{r} =\pm Q_{r}/S=\pm \varepsilon_r \sigma$。
これが極板間につくる電場$ \vec E_{r} $は、
方向が正電極から負電極へむかう垂線の方向と一致し、
大きさは、$E_{r}=\sigma_{r}/\varepsilon_0=\varepsilon_r \sigma/\varepsilon_0=\varepsilon_r E\qquad \qquad (2)$
(3) 正極板がわの不導体の表面に負電荷が誘導され、正の電荷が負極板側の表面に誘導される。RT
不導体を挿入したときも、極板電圧Ｖは変えていないので、
厚さｄの不導体の内部の電場の大きさは、$ V/d=E $ となっているはずである。
もし不導体に何の変化もないならば、
不導体内部の電場の大きさは式(2)より、$E_{r}=\varepsilon_r E$ であり、
内部電場が$ E $ であることと矛盾する。
これより正極板に接する不導体の表面に、
正極で増加した帯電量を相殺する$ -\delta Q=-(Q_{r}-Q)= -(\varepsilon_r-1 )Q $の負電荷が誘導され、
負極板に接する不導体の表面に、
負極で減少した帯電量を相殺する$ \delta Q=(Q_{r}-Q)= (\varepsilon_r-1 )Q $の正電荷が誘導される
ことが類推できる。
この時、極板とそれに接する不導体の表面に帯電する電荷は合計すると、$ \pm Q$となる。
この電荷がつくる電場の大きさはＥとなり、極板間電圧はＥｄ＝Ｖでうまくいく。
なお、不導体の正負の表面電荷は、電場がかかっている時だけ現れ、かからなくなると消失する。
このように電場のなかで不導体の表面に現れる電荷は、真の電荷ではない（注参照のこと）。
次の節で説明するように、誘電分極という現象よって誘導された電荷なので、分極電荷といい、
不導体のことを誘電体とも呼ぶ。
（注）電場のなかで、電場の下流側の不導体の表面に正電荷、上流側の表面にそれと同量の負電荷が現れる。
しかし、この状態で、正の側と負の側が分離するように不導体を2分すると、
それぞれの部分の電場の下流側表面に正電荷、上流側表面に同量の負電荷が現れてしまい、電荷を取り出すことは出来ない。
(4)誘電体の内部の電場は外部から作用する電場と分極電荷の作る電場の和である。
不導体の表面に誘導された電荷$ \mp \delta Q=(Q_{r}-Q)= \mp(\varepsilon_r-1 )Q $は,
今まで何回も使ったガウスの法則を利用した論法により、
誘電体の内部に電場をつくり、その大きさは、$ E_p= \delta Q/(S \varepsilon_0)=\sigma_p/\varepsilon_0$、ここで $\sigma_p=\delta Q/S =(Q_r-Q)/S=\sigma_r-\sigma$は不導体の表面の分極電荷の面密度で、分極電荷密度あるいは分極の大きさという。電場の方向は、$ \vec E_{r}$と逆向き。
故に、$ \vec E_{r}+\vec{E_{p}}$の大きさは、$E_{r}-E_{p}=\sigma_{r}/\varepsilon_0-\sigma_p/\varepsilon_0= (\sigma_{r}-\sigma_p)/\varepsilon_0=(\sigma_{r}-(\sigma_r-\sigma))/\varepsilon_0=\sigma/\varepsilon_0 =E$で、向きは$ \vec E_{r}$の向きと等しい($\vec E$の向きと同じ）。故に、$ \vec E_{r}+\vec{E_{p}}=\vec E$
(5)誘電体に外部から作用する電場$ \vec E_{r}$,分極の大きさ$\sigma_p$と誘電体の内部の電場$\vec E$の関係
$\sigma_p=\sigma_r-\sigma=(Q_r-Q)/S=(C_r-C)V/S=(\varepsilon_r-1)CV/S=(\varepsilon_r-1)CEd/S$
上の式に$C = \varepsilon_0 \frac{S}{d}.......(9-9) $ を代入し、整頓すると、
$\sigma_p=(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0 E$;;分極の大きさと誘電体の内部の電場の関係
$\vec E_{r}=\varepsilon_r \vec E$;; 誘電体に外部から作用する電場と誘電体の内部の電場の関係
$\sigma_r=Q_r/S=C_rV/S=\varepsilon_r CEd/S$に$C = \varepsilon_0 \frac{S}{d}$ を代入し整頓すると、
$\sigma_r=\varepsilon_0 \varepsilon_r E $あるいは
$E=\sigma_r/\varepsilon_0 \varepsilon_r $;; 比誘電率$\varepsilon_r $の不導体を挿入したコンデンサーの電極電荷と不導体内部の電場の大きさの関係。
誘電分極
では、何故コンデンサーの電極間に挿入された（電場のかかった）不導体の表面に、電荷が現れるのだろうか？
電場が掛かると誘電体を作っている原子の中の電子達（負電荷-q）と原子核（正電荷；+q）は電場から互いに逆の力をうける。
不導体では（自由電子がなく）すべての電子は原子核と電気力で引き合っている（ばねで引き合っているかのように）。
このため電場の大きさに比例して上流側に電子が、下流側に原子核がづれて、電場からの力と電気力が釣り合ったところで止る。
づれた電子達の電荷総量$ -q $の重心から原子核の重心へのベクトルを $\vec d$と置くと、
その向きは、多くの元素では、電場の向きと一致する。
誘電体の各原子は双極子モーメント$\vec{p}=q\vec{d}=qd\vec{E}/E$を持つ電気双極子になる。
この現象を誘電分極（dielectric polarization）という。
単位体積中の双極子モーメントの和を $\vec{P}$ と書き、単位体積あたりの双極モーメントと呼ぶ。
不導体の単位体積中の原子数をＮとすると、$\vec{P}=Nq\vec{d}=Nqd(\vec{E}/E)$
- ウィキペディア（誘電分極）を参照のこと。
誘電体の各原子が、向きの揃った電気双極子になると、
誘電体の表面にある原子の中でも、電子は電場$\vec{E} $ と逆向きに、原子核は$\vec{E} $ の方向に少しずれ、両者は距離$d=||\vec{d}|| $だけずれるので、
電気力線の上流側の誘電体の表面には、負電荷が現れ、下流側（$\vec{E} $ の方向）の誘電体表面には、正電荷が現れる。
誘電体の内部は、誘電体の外部から見る限り、正負の電荷が打ち消し合って、電気を持たないように見える。
この現象を巨視的にながめよう。
一つの原子は移動可能電荷$\pm q $をもち単位体積中にＮ個の原子があるので、不導体中には単位体積あたり$\pm Nq $の電荷が（流体のように）一様に分布している。
電場のかからないときは、正と負の電荷が、ぴったりかさなって、打ち消し合い帯電してないようにふるまうが、
電場がかかると負電荷は電場の上流側に全く形を変えないで少し移動し、正電荷は電場の下流方向に少し移動（負電荷からみると正電荷は$\vec{d}$だけ移動）し、
不導体のそれどれの表面に電荷があらわれる。
この議論から、分極電荷は表面から、いくらかの厚さをもった部分に現れることがわかったが、非常に薄いので、表面に分布する電荷のように扱える。
単位体積あたりの双極モーメントが$\vec{P}$ の不導体の表面の分極電荷密度
コンデンサーの例で考える。
極板間に挿入された不導体に極板電荷のつくる電場が作用して不導体の原子が分極して、$q\vec{d}$という双極モーメントを持つとする。
単位体積あたりの双極モーメントは、単位体積当たりの原子数をＮとして、$\vec P=Nq\vec{d}$となる。
導体の各表面の$\vec{d}$方向(多くの不導体では$\vec{E}$方向に同じ）に長さ$d$の範囲にわたって電荷が誘導される。
正の極板に接する不導体の面は、$\vec{d}$と直交するので、深さ$d$までの領域が負に帯電。
この部分の単位表面から深さｄまでの体積は$d$なので、その部分の原子の総個数はNd,その個々の原子の分極電荷は-qなので、
誘導電荷の総量は $-Nqd=-|\vec{P}|$となる。
この電荷は、$d$が小さいので、表面電荷密度とみなせる。
同様に、負の極板に接する不導体の面では、$ Nqd = ||\vec{P}|| $が表面電荷密度。
他方、$\sigma_p$は負の電極に接する不導体表面に現れる誘導電荷密度を表わすので、$\sigma_p = Nqd = ||\vec{P}|| $。
これが、単位体積あたりの双極モーメントが$\vec{P}$ の不導体の表面の分極電荷密度である。
次に一様な電場$\vec{E}$に、任意の方向に置かれた誘電体の単位体積あたりの双極モーメントが$\vec{P}$であるとき、誘電体の表面に現れる分極電荷を算出しよう。
誘電体の表面の単位長の外法線（表面に直交し、誘電体内部から外部に向かう、単位長さのベクトル）を$\vec{n}$と書くと、
その表面に現れる、分極電荷の面密度$\sigma_p$ は、$\vec P \cdot \vec n$
であることが導ける。
(注）RT;何故？
電束と電束密度
電荷Ｑの作る電場中に不導体があると、
電場の下流側と上流側の面にそれぞれ正、負同量の分極電荷が現れて、電荷Ｑの作る電場を弱める電場をつくり、
不導体中の電場は、両者の和になる。
このため、不導体中の電場は外部の電場より弱くなる。電気力線の本数は、電場の強さに比例するようにとりきめたので、不導体の中では本数は減少してしまう。
このため、電荷を内部に含む立体の表面の一部あるいは全部が不導体に含まれる場合、立体表面を貫く電気力線の本数は$\frac{Q}{\varepsilon_0} $より少なくなってしまい、[ガウスの法則]は成り立たないように見える。
しかし、これは電場が分極電荷のつくる電場も加えたものなのに電荷は分極電荷をくわえてないためにおこった現象であり、
電荷として真の電荷だけでなく分極電荷も考慮すれば、ガウスの法則は成立する。
「立体を貫く電気力線の本数は$\frac{Q+Q_{p}}{\varepsilon_0} $となる。
ここで$Q_{p}$は、この立体に含まれる分極電荷の総量。しかし$Q_{p}$は測定も難しく、この方法は手間がかかる。
そこで電気力線に代わって不導体中でも量の変わらないものを考え、ガウスの法則をその量を使って記述することを考える。
点電荷の電束と電束密度
点電荷ｑがある時、そこから（実際には流れるものはないが）ｑに等しい流体のようなものが湧き出し、電気力線にそって色々な方向に流れると考える。
各方向への流量は、電場の強さに比例して配分されると考える。この流れを電束といい、その量を電束量と呼ぼう
真空中に置かれたｑを中心とする半径ｒの球面Ｓ上での単位面積当たりの電束量を求めよう。
ｑという量の電束が点電荷から湧き出し、放射状の電場にそって流れ出し、球面Ｓを通り抜けるが、
この球面上では、電場の大きさは等しい（E=$q/4\pi r^2 \varepsilon_0$）ので、どの方向にも等しい密度で流れることがわかる。
そこで球面Ｓの単位面積当たりの電束量は、ｑをＳの面積で割った、$q/4\pi r^2$となる。
これは、$\varepsilon_0 E$に等しい。
次に、電束の密度と方向を与える、電束密度ベクトル（通常は単に電束密度と呼ぶ）を次のように定める。
電荷ｑを原点とする位置ベクトル$\vec r$の点での電束密度$\vec D$とは、
ベクトルの方向は電気力線の向き（＝電場の向き）、
その大きさは、その点をとおり、電気力線と直交する小平面$ds$をとり、そこをとおり抜ける単位面積あたりの電束量
で定義する。
$ds$は小さく、電気力線と直交するので、ｑを中心とする半径ｒ＝$||\vec r||$の球面にほぼ、のっているため、球面の一部と考えてよい。
前述の議論からここを通りぬける電束量は、単位面積当たり、$\varepsilon_0 E=q/4\pi r^2$である。
これは、$\varepsilon_0 \vec E $ が電束密度であることを示している。
真空中のガウスの法則は、Ｖを球や立方体などの立体、Ｓをその表面（＝閉曲面）とすると、
$\varepsilon_0 \vec E $ の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝ｑ；ｑがＶの内部のとき。 ＝０；ｑがＶの外部のとき。
であった。
電束密度Ｄを用いて表現すると
$D$ の外法線成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝ｑ
真空中の多数の点電荷の電束と電束密度
点電荷の集まりである電荷Ｑの作る電場Ｅは、
重ね合わせの原理から、
それぞれの点電荷の作る電場$E_{q}$ のなので、
Ｅの作る電束も、$E_{q}$ の作る電束の和となり、
電束密度は、$D=\varepsilon_0 \vec E=\sum_{q}\varepsilon_0 \vec E_{q}$
誘電体中の多数の点電荷の電束密度とガウスの法則PT
真空以外の不導体の媒質中の場合、不導体の原子が電荷の作る電場によって、多かれ少なかれ誘電分極して、かってに分極電荷を持ってしまうため、
ガウスの法則は、この電荷を考慮して、
$\varepsilon_0 \vec E $ の「Ｖの外法線」成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝
Ｖ内の真の電荷量Ｑ＋Ｖ内の分極電荷$Q_p$
としなければならない。
$Q_p$は測定も難しく、どこに発生するかも、分かりにくいので、これを扱いやすくしよう。
まず、分極ベクトル（単位体積あたりの双極モーメント）$\vec{P}=Nq\vec{d}$ が分かる場合；
立体Ｖの内部に現れる分極電荷の総量は
$-\vec P$の「Ｖの外法線」成分の、Ｓ上の平均値×Ｓの面積
となる。
何故なら
これを前述のガウスの法則の式に代入して、
$\varepsilon_0 \vec E+\vec P $ の「Ｖの外法線」成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝Ｖ内の真の電荷量Ｑ
分極電荷$Q_p$ を使わないで、ガウスの法則が記述できた。
しかし、$\vec{P}=Nq\vec{d}$ も知ることは難しい。
多くの不導体では、、$\vec{P}$ は$\vec{E}$と同じ向きになり、比誘電率$ \varepsilon_r $の誘電体では、$\vec{P}=(\varepsilon_r -1)\varepsilon_0 \vec E$ であった。
これを上式に代入すると、
$\varepsilon_r \varepsilon_0 \vec E $ の「Ｖの外法線」成分のＳ全体での平均値×面Ｓの面積＝Ｖ内の電荷量Ｑ
となる。
