物理/８章の付録
提供: Internet Web School
目次[非表示] |
８章の付録
問の解答
問
（１）準備２項定理;を用いた展開
an≜(1+1n)n(nは自然数) とおく。
すると、
2≤a1=1+11=2<a2=(1+12)2=214である。
以下に、数列 {an}∞n=1 が単調増大で、有界（２より、３より小）である事を示す。するとテキストの定理により
nが３以上の自然数の時は、anを２項定理を用いて展開すると
an=(1+1n)n=∑nm=0nCm1n−m(1n)m(1)
ここで nCm は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、
mが１以上でn 以下の自然数の時は
nCm=n!m!(n−m)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!(2)
ここで、m が1以上の自然数の時は m!≜1⋅2⋅3⋯(m−1)⋅m
mが零の時は nC0≜1 、0!≜1と定義する。
式（２）を式（１）に代入して計算すると
an=1+∑nm=1n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!1n−m(1n)m
=1+∑nm=11(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
=2+∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!(3)
ここで、n より小さい全ての自然数 i に対して
0<1−in<1 なので、
2<an<2+∑nm=21m!(4)
（２）すべての2以上の自然数 n に関して、
2<an<3(5)
であることを示そう。
式(3)から、2<an は明らか。
式（４）から
an<2+∑nm=21m!(6)
右辺の m は2以上の自然数なので、
1m!≤1(m−1)m=1m−1−1m
である。故に、
an<2+∑nm=2(1m−1−1m)=2+(1−1n)=3−1n<3
（３）数列 {an}∞n=1 は単調増加
n≥2 の時、常に an<an+1 を示せばよい。
式(3)を利用すると(注参照）、
an+1=2+∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!
すると、
an+1−an=∑n+1m=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
右辺の第一項の和を2つに分けると、
=1(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)m!
+∑nm=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)m!−∑nm=21(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
=1(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)m!
+∑nm=21(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−m−1n+1)−1(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n)m!
上の式で、全てのi∈{1,2,,,,n}に対して,(1−in+1)>0と(1−in+1)>(1−in) なので、
an+1−an>0
（注）式（３）のｎに ｎ＋１ を代入すればよい。
三角関数の微分
準備
次の命題が、三角関数の微分を求めるうえで中心的役割を果たす。
命題
lim
証明
まず、\theta を正に保ちながら零に近づける場合を考える。
すると、 0 \lt \theta \lt \pi/2 と考えて良い。
点Ｏを中心にし、半径1の円を考え、円周上に一点Ａをさだめる。
図のように、円周上の点Ｂを、線分ＯＢが直線ＯＡとなす角がｘ（ラジアン)となるようにとる。
図から\triangle{OAB} \subset 扇形OAB \subset \triangle{OAP}
\quad ここで、点PはＡを通り線分OAと垂直な直線と半直線OBの交点。
すると、
\triangle{OAB}の面積 \lt 扇形OAB の面積 \lt \triangle{OAP}の面積
ここで、\triangle{OAB}の面積=\frac{1\cdot \sin{\theta}}{2},\quad 扇形OAB の面積=\pi\cdot 1^{2}\cdot \frac{\theta}{2\pi}\quad \triangle{OAP}の面積=\frac{1\cdot \tan{\theta}}{2}なので、
\frac{\sin{\theta}}{2} \lt \frac{\theta}{2}\lt \frac{\tan{\theta}}{2}=\frac{\sin{\theta}}{2\cos{\theta}}\qquad 各項を2倍すると、
\sin{\theta}\lt \theta \lt \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\quadここで \sin{\theta}\gt 0 なので、これで上式の各項を割ると、
1 \lt \frac{\theta}{\sin{\theta}} \lt \frac{1}{\cos{\theta}}
1 \gt \frac{\sin{\theta}}{\theta} \gt \cos{\theta}
故に、極限の性質から
1 \geq \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta} \geq \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\cos{\theta}=1
これより、\lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1 が得られる。
定理 三角関数の微分
（１）\frac{d}{d\theta}\sin{\theta}=|\cos{\theta}
（２）\frac{d}{d\theta}\cos{\theta}=-|\sin{\theta}
証明
（１）； \frac{d}{d\theta}\sin{\thetat} \triangleq \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin (\thetat+h)-\sin \theta}{h}
ここで、
\sin (\thetat+h)-\sin \theta = \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})+\frac{h}{2}\bigr) - \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})-\frac{h}{2}\bigr)
サイン関数を適用すると
=\sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} + \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} - \bigl(\cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} + \sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} \bigr)
== 指数関数と対数関数 ==
=== 実数の累乗 ===
a を任意の実数、n を2以上の自然数とする。
a^1=a,\quad a^2=a\cdot a,\quad a^3=a^2\cdot a=a\dot a\cdot a \cdots a^n=a^{n-1}\cdot a, \cdots
を総称して、a の累乗と呼ぶ。
a^n を、a の n 乗 、n をその指数と呼ぶ。
この定義から次の規則が容易に導かれる。
命題
a,b を任意の実数、m,nを任意の自然数とすると、
(1) a^{m}a^{n} = a^{m+n} \qquad \qquad \qquad (1)
(2) (a^{m})^n =a^{m n} \qquad \qquad \qquad (2)
(3) (ab)^n = a^n b^n \qquad \qquad \qquad (3)
(4) a^m \div a^n = a^{m-n} \quad (when\quad m\gt n)
\qquad \qquad \qquad = 1 \quad (when \quad m = n)
\qquad \qquad \qquad = \frac{1}{a^{n-m}} \quad (when\quad m \lt n)$
これから、この規則が成り立つようにしながら、累乗の定義を拡張し、指数が任意の実数にまで拡げよう。
