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物理/多変数解析学

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目次

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「9.1 多変数解析学」 

本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。

それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、 このテクストで今後叙述する予定です。

多変数の実数値関数の微分

Rn={(x1,x2,,,xn)xiR,i=1,2,n} の開区間
In=ni=1(ai,bi)上で定義された実関数y=f(x1,x2,,,xn)を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、x:=(x1,x2,,,xn)とおき、y=f(x)と書くこともある。
In上で定義された実数値関数 y=f(x)=f(x1,x2,,,xn)の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル h=(h1,h2,,,hn) を考え、極限
lim
が存在するとき、関数fは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
{\bf h}はn次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。

偏微分

そこで、f の変数 \vec{x} の第i成分 x_i だけを変数とし、
他の変数は定数とみなしてして得られる一変数関数
\phi^{i}(x_i) \triangleq f(\vec{x}) \quad ここで\ \Bigl(\ x_j (j\neq i);定数\ \Bigr)
を考える。
この関数は、一変数なので、点x_i=a での微分係数 
\frac{d\phi^i}{dx_i}(a)\triangleq \lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(a+h)-\phi^i(a)}{\bf h}
=\lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{ f(x_1,,,x_{i-1},a+h,x_{i+1},,,x_n)-f(x_1,,,x_{i-1},a,x_{i+1},,,x_n)}{\bf h}
を考えることができる。

定義(偏微分)
変数 \vec{x} の第i成分 x_i 以外のx_j\ (j\neq i)  は固定する。
もし、一変数関数 \phi^i(x_i)=f(\vec{x}) が、点x_i=aで微分可能ならば、
関数fは、x_i に関して、点x_i=aで 偏微分可能であると言い,
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \triangleq \frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}(a)
を、f(\vec{x}) の 変数 x_i  に関する点a での偏微分係数という。

定義(偏導関数)
f(\vec{x})  が x_i に関してどの点でも偏微分可能であるならば、
任意の点x_i にその点の偏微分係数\frac{d\phi^i}{dx_i}(x_i)を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、f(\vec{x})  の x_i に関する偏導関数といい、記号
f_{x_{i}}(\vec{x}),\quad D_{x_i}f(\vec{x}),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec{x}),\quad \partial f/\partial x_i
などで表示する。

定理(合成関数の微分)
R^2 から R への関数f(x,y) と
R から R への関数g(x,y) の合成関数 
h(x,y)=g(f(x,y) 
を考える。
もし、f(x,y) が (x_0,y_0) で、xに関して偏微分可能で,
\quad g(x,y) が、z_0=f(x_0,y_0) において微分可能ならば、
h(x,y)=g(f(x,y) は (x_0,y_0) で、xに関して偏微分可能であり,

方向微分

多変数関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)の、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)での偏微分係数 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) は、
\vec x  を、第i座標(座標ベクトル\vec{e}_i)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数fの変化率とみなせる。
式で書くと
\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec{e}_i)-f(\vec x )}{h}

このように考えると、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)を、座標ベクトル\vec{e}_iに平行ではなく、
任意に指定するベクトル\vec aに平行に微小量動かすときの関数fの変化率を考えることもできることが分かるだろう。

定義 方向微分
関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)の、点\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)での,\vec a 方向の微分係数とは、
\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec a)-f(\vec x )}{h}
のことで、
\frac{\partial f}{\partial \vec{a}}(x),\quad f_{\vec a}(x),\quad D_{\vec a}(x)
などと書く。

微分(全微分) 

定義1;微分可能(全微分可能ともいう)、導値(微分係数)、導関数
定理1;
微分可能ならば、偏微分可能

定理2
C^{1}級の関数は微分可能

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