物理/多変数解析学
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「9.1 多変数解析学」
序
本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。
それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、
このテクストで今後叙述する予定です。
多変数の実数値関数の微分
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開集合Ｄ上で定義された実関数 $y=f(x_1,x_2,,,x_n)$ を考える。
開区間 $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$は開集合の一例である。
（注）${\bf R^n}$ に含まれる集合Ｕが開集合とは、
Ｕの任意の点 a に対して、ある正数ｒが存在し、
a を中心とする半径ｒの円$S_{r}(a)$ がＵに含まれること。
第一階述語論理式で書くと
$(\forall a \in U)(\exists r \gt 0)(S_{}(a)\triangleq \{x\in R^n \,|\, \|x-a \|\leq r\}\subset U)$
一変数関数の議論から類推するために
以後、$\vec{x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、 $y=f(\vec{x})$ と書くこともある。
$I^n \,$上で定義された実数値関数 $\ y=f(\vec{x})=f(x_1,x_2,,,x_n)\,$ の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル $\vec h=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限
$\lim_{\vec h \to 0,\vec h\neq 0}\frac{f(\vec x + \vec h)-f(\vec x)}{{\bf h} }$
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
$\vec h$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
関数$f$ の変数 $\vec{x}$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、
他の変数は任意の実数に固定$\Bigl(x_j = a_j \quad (j\neq i)\Bigr)$して得られる関数
$\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)\triangleq f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n) $
を考える。
この関数は、一変数なので、任意の点$x_i $ での微分係数
$\frac{d\phi_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(x_i)\triangleq \lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i+h)-\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)}{\bf h}$
$=\lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{ f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i}+h,a_{i+1},,,a_n)-f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},,,a_n)}{\bf h}$
を考えることができる。
定義（偏微分）
もし、一変数関数 $\phi_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)=f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n)$ が、ある点$x_i=a_i$で微分可能ならば、
関数ｆは、点$\vec a = (a_1.a_2,,,,a_n)$で,$x_i$ について偏微分可能であると言い,
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a) \triangleq \frac{d\phi_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(a_i)$
を、$f(\vec{x})$ の 点$\vec a$ での変数 $x_i$ についての偏微分係数という。
定義（偏導関数）
$f(\vec{x})$ がどの点$\vec{x}$でも $x_i$ に関して偏微分可能であるならば、
任意の点$x_i$ にその点の偏微分係数$\frac{d\phi^i}{dx_i}(x_i)$を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、$f(\vec{x})$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号
$f_{x_{i}}(\vec{x}),\quad D_{x_i}f(\vec{x}),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\vec{x}),\quad \partial f/\partial x_i$
などで表示する。
次に最も簡単な場合に限定して、合成関数の偏微分についての命題を述べる。
もっと一般的な合成関数の偏微分については、この章の付録で紹介する予定である。
定理（合成関数の偏微分）
$R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と
$R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数
$h(x,y)=g(f(x,y)$
を考える。
もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能で,
$\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、
$h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
$\vec{e_i}$ を直交座標系の$x_i$座標軸の正方向の方向・向きを持つ単位長さのベクトルとする（第ｉ直交座標ベクトルと呼ぼう）。
多変数関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$での偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ は、
点$\vec x $ を、第i座標（座標ベクトル$\vec{e}_i$)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数ｆの変化率とみなせる。
式で書くと
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)
= \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec{e}_i)-f(\vec x )}{h}$
このように考えると、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$を、座標ベクトル$\vec{e}_i$に平行ではなく、
任意に指定するベクトル$\vec a$に平行に微小量動かすときの関数ｆの変化率を考えることもできることが分かるだろう。
定義 方向微分
関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\vec x = (x_1,x_2,,,x_n)$での,$\vec a$ 方向の微分係数とは、
$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\vec x + h\vec a)-f(\vec x )}{h}$
のことで、
$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}}(x),\quad f_{\vec a}(x),\quad D_{\vec a}(x)$
などと書く。
この定義から、ある点ｘの$\vec{a}$方向微分は、
点ｘがその点から方向$\vec{a}$にそって動くときの関数値の変化率、
$ \qquad ( \|\vec{a}\|$ を単位長にした）
を与えるものだということが分かる。
命題
(1) $\vec{e_i}$ 方向の微分は、$\vec{e_i}$ 座標軸($x_i$座標軸）に関する偏微分である。
ここで、$\vec{e_i}$ は$x_i$座標軸の正方向向きの単位長さのベクトル。
式で書くと、
$\frac{\partial f}{\partial \vec{e_i}}(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $
（２）$\alpha$ を任意の実数とすると
$\frac{\partial f}{\partial \alpha \vec{e_i}}(x) = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能
