物理/多変数解析学
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「9.1 多変数解析学」
序
本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。
それ以降の内容については、ウィキブックスには殆どないため、
このテクストで今後叙述する予定です。
多変数の実数値関数の微分
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開集合Ｄ上で定義された実関数 $y=f(x_1,x_2,,,x_n)$ を考える。
（注）${\bf R^n}$ に含まれる集合Ｕが開集合とは、
Ｕの任意の点 a に対して、ある正数ｒが存在し、
a を中心とする半径ｒの円$S_{r}(a)$ がＵに含まれること。
第一階述語論理で書くと
$(\forall a \in U)(\exists r \gt 0)(S_{}(a)\triangleq \{x\in R^n \,|\, \|x-a \|\leq r\}\subset U)$
開区間 $I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$は開集合の一例である。
一変数関数の議論から類推するために
以後、$\textbf{x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、 $y=f(\textbf{x})$ と書くこともある。
$I^n \,$上で定義された実数値関数 $\ y=f(\textbf{x})=f(x_1,x_2,,,x_n)\,$ の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル $\textbf{h}=(h_1,h_2,,,h_n)$ を考え、極限
$\lim_{\textbf{h} \to 0,\textbf{h}\neq 0}\frac{f(\textbf{x} + \textbf{h})-f(\textbf{x})}{{\bf h} }$
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
$\textbf{h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
関数$f$ の変数 $\textbf{x}$ の第i成分 $x_i$ だけを変数とし、
他の変数は任意の実数に固定$\Bigl(x_j = a_j \quad (j\neq i)\Bigr)$して得られる関数
$f_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)\triangleq f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n) $
を考える。
この関数は、一変数なので、任意の点$x_i $ での微分係数
$\frac{df_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(x_i)\triangleq \lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{f_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i+h)-f_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)}{h}$
$=\lim_{ h \to 0, h\neq 0}\frac{ f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i}+h,a_{i+1},,,a_n)-f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},,,a_n)}{h}$
を考えることができる。
定義（偏微分）
もし、一変数関数 $f_{x_j=a_j,j\neq i}(x_i)=f(a_1,a_2,,,a_{i-1},x_i,a_{i+1},,,a_n)$ が、ある点$x_i=a_i$で微分可能ならば、
関数ｆは、点$\textbf{a} = (a_1.a_2,,,,a_n)$で,$x_i$ について偏微分可能であると言い,
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\textbf{a}) \triangleq \frac{df_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(a_i)$
を、$f(\textbf{x})$ の 点$\textbf{a}$ での変数 $x_i$ についての偏微分係数という。
定義（偏導関数）
$f(\textbf{x})$ が定義域D内のどの点でも $x_i$ に関して偏微分可能ならば、
任意の点$\textbf a \in D$ にその点の偏微分係数$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\textbf{a}) = \frac{df_{x_j=a_j,j\neq i}}{dx_i}(a_i)$を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、$f(\textbf{x})$ の $x_i$ に関する偏導関数といい、記号
$f_{x_{i}},\quad D_{x_i}f,\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} ,\quad \partial f/\partial x_i$
などで表示する。
参考文献；ウィキペディア(偏微分)
以後は、議論を簡単にするため、２変数の関数について記述する。
多変数には容易に拡張できる。
補題
${\bf R^2}$ の開区間 ${\bf I^2}=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)$上で定義された、２変数の実数値関数$ y = f(x_1,x_2) $ を考える。
ｆが$\textbf{I}^2$上で$x_1$ にかんして偏微分可能ならば、次の２つの条件は同等である。
（１）関数ｆが変数 $x_2$ だけの関数で、 $x_1$ には関係しない。
（２）関数ｆは,任意の$\textbf{x}\in \textbf{I}^2$で$x_1$に関する偏導関数が零である（$(\forall \textbf{x}\in I^2)(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\textbf{x})=0$)
証明
（１）ならば（２）；偏微分の定義から、明らか。
（２）ならば（１）；I^2の任意の点 $\textbf x=(x_1,x_2)$ を考える。
$x_2$ を固定し、$x_1$ を動かし$\tilde{x_1}$にしても関数値は変化しないことを示そう。
まず $x_1 \lt \tilde{x_1}$ の場合を考える。
$f^{x_2}(x_1)\triangleq f(x_1,x_2)$という一変数 $x_1$の関数 $f^{x_2}$ を考えると、
$f(\tilde{x_1},x_2) - f(x_1, x_2) = f^{x_2}(\tilde{x_1}) - f^{x_2}(x_1)\qquad \qquad (1)$
関数 $f^{x_2}$ は微分可能なので、平均値の定理から、
或る$c \in [x_1,\tilde{x_1}]$ が存在して、
$ f^{x_2}(\tilde{x_1}) - f^{x_2}(x_1) = \frac{df^{x_2}}{dx_1}(c)(\tilde{x_1}-x_1)$
偏微分の定義から、
$ = \frac{\partial f}{\partial x_1}(c,x_2)(\tilde{x_1}-x_1)$
仮定から、$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(c,x_2) = 0$なので、
$ = 0$
故に、$ f^{x_2}(\tilde{x_1}) - f^{x_2}(x_1) = 0 \qquad \qquad \qquad (2)$
式（１）と（２）から、
$f(\tilde{x_1},x_2) - f(x_1, x_2) = 0 $
$\tilde{x_1}\lt x_1 $ の場合も同様に証明できる。
定理（２変数関数の平均値の定理）
${\bf R^2}$ の開集合Ｄで定義された関数$f(x_1,x_2)$
次に最も簡単な場合に限定して、合成関数の偏微分についての命題を述べる。
もっと一般的な合成関数の偏微分については、この章の付録で紹介する予定である。
定理（合成関数の偏微分）
$R^2$ から $R$ への関数$f(x,y)$ と
$R$ から $R$ への関数$g(x,y)$ の合成関数
$h(x,y)=g(f(x,y)$
を考える。
もし、$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能で,
$\quad g(x,y)$ が、$z_0=f(x_0,y_0)$ において微分可能ならば、
$h(x,y)=g(f(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
$\vec{e_i}$ を直交座標系の$x_i$座標軸の正方向の方向・向きを持つ単位長さのベクトルとする（第ｉ直交座標ベクトルと呼ぼう）。
多変数関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\textbf{x} = (x_1,x_2,,,x_n)$での偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ は、
点$\textbf{x} $ を、第i座標（座標ベクトル$\vec{e}_i$)に平行に無限に小さい距離移動させるときの、関数ｆの変化率とみなせる。
式で書くと
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)
= \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\textbf{x} + h\vec{e}_i)-f(\textbf{x} )}{h}$
このように考えると、点$\textbf{x} = (x_1,x_2,,,x_n)$を、座標ベクトル$\vec{e}_i$に平行ではなく、
任意に指定するベクトル$\textbf{a}$に平行に微小量動かすときの関数ｆの変化率を考えることもできることが分かるだろう。
定義 方向微分
関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$の、点$\textbf{x} = (x_1,x_2,,,x_n)$での,$\textbf{a}$ 方向の微分係数とは、
$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(\textbf{x} + h\textbf{a})-f(\textbf{x} )}{h}$
のことで、
$\frac{\partial f}{\partial \textbf{a}}(x),\quad f_{\textbf{a}}(x),\quad D_{\textbf{a}}(x)$
などと書く。
この定義から、ある点ｘの$\textbf{a}$方向微分は、
点ｘがその点から方向$\textbf{a}$にそって動くときの関数値の変化率、
$ \qquad ( \|\textbf{a}\|$ を単位長にした）
を与えるものだということが分かる。
命題
(1) $\vec{e_i}$ 方向の微分は、$\vec{e_i}$ 座標軸($x_i$座標軸）に関する偏微分である。
ここで、$\vec{e_i}$ は$x_i$座標軸の正方向向きの単位長さのベクトル。
式で書くと、
$\frac{\partial f}{\partial \vec{e_i}}(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $
（２）$\alpha$ を任意の実数とすると
$\frac{\partial f}{\partial \alpha \vec{e_i}}(x) = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能
