物理/解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開
提供: Internet Web School
目次[非表示] |
「 8.4 解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開
序
関数列・関数族の項別積分と項別微分
関数列の各点収束
関数列の一様収束
関数の一様ノルム
定義１（有界関数と一様ノルム）
集合A上で定義され、Rmの値をとる関数fを考える。
１）関数fが有界とは、
fの値域{f(a)|a∈A}(⊂Rm)がRmの有界集合であること。
すなわち、ある正数Mが存在し、‖f(a)‖<M(for∀a∈A)。（注参照）
２）有界関数fの一様ノルム‖f‖∞とは
‖f‖∞≜
(注) m次元ベクトルのノルムとしては通常はユークリッドノルム（２乗ノルム)を用いるが、
p乗ノルム（p \geq 1)や無限大ノルムでも良い。
一般のノルムの定義とノルムの同等性を参照のこと。
定義２（一様コーシー列）
定義３（一様収束）
集合A上で定義された\bf{R^m}値の関数の列 (f_{n})_{n\in N}が
A上で定義された\bf{R^m}値の関数f に一様収束するとは、
\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0
定理１
集合A上で定義された\bf{R^m}値の関数の列 (f_{n})_{n\in N}が
A上で関数f に一様収束するするならば、各点収束する。
定理２
n次元空間の部分集合A上で定義された\bf{R^m}値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。
定理３
n次元空間の部分集合A上で定義された\bf{R^m}値の連続関数の列が、関数fに一様収束するならば、関数fは連続関数である。
定理１の逆は一般に成立しないが、いくつかの条件を付ければ成立する。
定理３（ディニの定理）
項別積分定理
項別微分定理
級数と収束
無限級数の収束性
条件収束と絶対収束
収束条件
正項級数の収束条件
整級数（幕級数）
整級数と収束
項別微分定理
整級数の微分可能性
高階微分微分可能関数の整級数近似（テイラー展開）
微分可能な関数 f(x) の導関数 f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx}) が微分可能ならば、
その導関数 (f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2}) が考えられる。
これをｆの2階の導関数という。
例えば、変数ｔの関数 f(t) が時刻ｔの質点の位置とすると、
その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。
さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。
テイラー展開とテイラーの定理
テイラー展開、テイラー級数についての入門書は
より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。
そこでテイラーの定理について説明する。
