物理/惑星の運動(2)
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☆☆惑星の運動(2)
2.3節の惑星運動の項では、
惑星の軌道を円と仮定すると、
運動の第2法則のもとでは、
ケプラーの法則と万有引力の法則が同等であることを示した。
この節では軌道について仮定せず、
運動の第2法則のもとで、
万有引力の法則と惑星に関するケプラーの3法則が同等であることを導く。
惑星の運動方程式
他の惑星の影響を無視して、太陽と一つの惑星の2体からなる系を考える。
太陽の質量を$M$、惑星の質量を$m$とする。
この２体を、ともに質点であるとみなし、位置はそれぞれの重心とする。
この系には、系外から力が作用しないため、任意の慣性系から観測すると、
系の重心は等速直線運動をする。
ところが、太陽の質量は惑星の質量より圧倒的大きいため2体の重心は太陽の重心とほぼ一致し、
太陽重心は慣性系からみると等速直線運動しているとみなしてよい。
（注）他の惑星の影響を無視し、太陽と惑星を質点とみなしても誤差は小さいことが知られている。
そこで太陽$S$を原点$O$とする静止座標系を考える。
任意の時刻$\ t\ $の惑星$P_t$の位置ベクトル$\vec{OP_t}$を$\vec{r}(t)$とかく。
すると惑星の運動は、ニュートンの第2法則と万有引力の法則より次の微分方程式で記述される。
$\ M\frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}(t)=-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|} \qquad \qquad (1)$
ここで、式（１）の右辺中の$G$は万有引力定数である。
式（１）を満たす（ベクトル値)関数$\vec{r}$を求めることを、微分方程式（１）を解くという。
なお、ある時刻$t_0$（以後、初期時刻と呼ぶ)の位置ベクトルと速度ベクトルが指定されたベクトルになるような
微分方程式の解を求めなければならないこともある。
指定された位置ベクトルを$\vec{r}_0$、速度ベクトルを$\vec{v}_0$と書くと、
速度ベクトル$\vec{v}(t)$は
$\vec{v}(t)=\frac{d \vec{r}}{dt}(t)$なので、
これ等の条件（初期条件と呼ぶ）は次のように表せる。
$\vec{r}(t_0)=\vec{r}_0、\quad \frac{d \vec r}{dt}(t_0)=\vec{v}_0 \qquad \qquad (2)$
初期条件をみたす微分方程式の解を求める問題を微分方程式の初期値問題と呼ぶ。
惑星は平面上を運動する
$O$,$P(t_0)$と$P(t_0)$を始点とした初速$\vec{v}_0$を含む
平面$H$を考える。
この平面と直交する一つのベクトル$\vec h$を考え、
式（１）の両辺の左側から外積として作用させる。
$\ \vec h \times \Bigl(M\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ \vec h \times \Bigl(-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|}\Bigr) \qquad \qquad (3)$
外積の性質から
左辺は
$\ \vec h \times \Bigl(M\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ M\vec h \times \Bigl(\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ M\vec h \times \Bigl(\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr)$
$=\ M\Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr)$(注1をみよ）
右辺は
$\ \vec h \times \Bigl(-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|}\Bigr) = -\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t)$
なので、
$\ M\Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t) $
が得られる。
故に
$\ \Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t)\qquad \qquad (4)$
$\vec h$を外積として初期条件に作用させると
$\vec h \times \vec{r}(t_0) = \vec h \times \vec{r_0}=0,
\frac{d \vec h \times \vec{r}}{dt}(t_0) =\vec h \times \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0) =\vec h \times \vec{v_0} = 0$
故に、
$\vec h \times \vec{r}(t_0) = 0,
\frac{d \vec h \times \vec{r}}{dt}(t_0) = 0\qquad \qquad (5)$
tの関数$\vec{x}\triangleq \vec h \times \vec{r}$を考えると、
式(4),(5)は
$\ \Bigl(\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec{x}(t)\qquad \qquad (4')$
$\vec{x}(t_0) = 0,\quad \frac{d \vec{x}}{dt}(t_0) = 0\qquad \qquad \qquad (5')$
常微分方程式(4')を初期条件(5')のもとで解くと、
$\vec{x}\triangleq \vec h \times \vec{r}\equiv 0$
が得られる。(注２参照)
これよりベクトル$\vec{r}(t)$は,常にベクトル$\vec{h}$と直交し、
平面H上にあることが証明された。
（注１）
（注２）
運動の第2法則と万有引力の法則からケプラーの3法則を導く
ケプラーの第２法則の導出
第2法則（面積速度一定の法則）、
「惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積（面積速度）は、一定である」
を導出しよう。
