物理/運動の法則の応用2
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目次
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解説
この節では複数の質点が集まって作る質点系と、硬くて形を変えない質点系である剛体の運動を、運動法則を用いて解析しよう。
質点系の運動
2個以上の質点が集まって出来ている系を質点系という。
質点系というときは、各質点は密集していても、離れ離れでも良い。互いに固着しようが、自由に動けようが構わない。
すべての物質は、分子の集合と考えたり、細分化して極小部分に分け、それらの集合と考えれば、十分な精度で、質点系とみなすことができる。
そのため質点系の運動の法則を、ニュートンの運動法則から導出すれば、その応用範囲は非常に広い。
質点系の運動と重心
系の任意の２つの質点間には作用・反作用の法則を満たす力が働いていてもよい。
この力を質点系の”内力”という。
質点系の各質点に外部から力（外力という）が加わる時、この質点系はどんな運動をするだろうか。
質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、
質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、
$m_i$ に、他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、
$d (m_i \vec{v_i})/dt=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ $\qquad$ ここで$\vec{v_i}=d\vec{r_i}/dt$、
各ベクトルを自由ベクトルとみなして$i=1 \ldots N$について加え合わせると、$\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$なので、
$\frac{d^2}{dt^2} \sum_i{ m_i \vec{r_i}} =\frac{d}{dt} \sum_i{ m_i \vec{v_i}} =\sum_i{\vec{f_i}} $
が得られる。
質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、
$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M)= \vec{F} $
質点系の重心$\vec{R}$を $\quad \vec{R}=\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M $ で定義すると、
$M\frac{d^2}{dt^2}\vec R= \vec{F} $
この式は、力$\vec{F}$をうける質量$M$の質点の運動方程式と同じである。
以下の解説も参考にしてください。
複雑にみえる運動も重心の運動をみれば簡単である
体操選手の運動は、跳躍などで空中をまいながら、回転や体の屈伸、ひねりなどを行う。大変複雑で美しい。
しかし、導出した質点系の重心の運動法則から、体の重心の運動は、投射体の運動であり、放物線をえがいて移動することが分かる。
空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。
剛体の運動とつり合い
剛体
剛体(Rigid body)とは、
質点系であって、それらの、どの2質点の間の距離も変わらない,特殊な質点系のことを言う。
どの2質点の間の距離も変わらなければ変形は起こらない。
固くて変形しにくい物体を理想化した概念である。
剛体の運動
剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。
重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように簡単に扱える。
重心の周りの回転運動について解析するには、少し難しい数学が必要になる。
- ウィキペディア（剛体の力学）を参照のこと。
このテキストでは、固定軸の周りの回転運動を中心に、 剛体運動の初歩と釣合の条件について学ぶ。
固定軸のまわりの回転運動
剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動（車輪の回転など）を考える。
応用も考え、回転軸は重心を通らなくてもよいように一般化しておく。
（注）なお、軸が動かないようにするためには軸受が必要である。
工夫しても回転時に軸は軸受から多少の摩擦力を受け、回転にブレーキがかかる。
しかし、これは無視出来るほど小さいと仮定する。
すると軸が受ける力は、軸の変動を防ぎ、固定軸の周りの運動に限定させる作用を持ち、
回転を遅める作用は持たないことになる。
回転運動の表示法
固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。
・剛体の位置を表す変数；回転角
剛体が幾ら回転したか分かるように、剛体の、回転軸上にない一点$P_s$に印を付ける。
次に、角度を測る基準線をきめるため、座標系を決めよう。
$P_s$から固定軸へ垂線をひき、その足を原点$O$とし,固定軸をｚ座標とする(静止した)３次元直交座標$O-xyz$を考える。
剛体が固定軸の周りを回転すると、印$P_s$はxy平面上を、原点$O$を中心に円を描いて動くことになる。
その位置ベクトル$\vec{OP_s}$がx軸の正方向となす角度$\phi$を、回転角と呼ぶ。図参照。
但し、x軸から反時計回りの角を正にする。
また一回転した後ならば、一回転の角$2\pi$を加え、逆周りに一回転した後なら$2\pi$を引き、
角度だけでなく回転数も分かるようにする。
回転角が指定されると、点$P_s$の位置が決まる。
それだけでなく剛体は変形しないので、剛体のすべての点の位置がきまる。
そこで回転角$\phi$の時間変化$\phi=\phi (t)$を明らかにすれば、剛体の回転運動は定まる。
固定軸のまわりの回転運動において回転角の果たし役割は、質点の運動において質点の位置が果たし役割に対応していることが分かる。
・回転の角速度と角加速度
$\phi=\phi (t)$を時間で微分した$d\phi (t)/dt$を回転の角速度と呼ぶ。
直観的には、時刻$t$の瞬間の、回転の速さ（回転角の時間に対する変化率）を表す。
さらにもう一回時間微分した$d^2\phi (t)/dt^2$を回転の角加速度と呼ぶ。
回転力(トルク）
質点の運動に倣って、剛体に作用する力によって、その位置(＝回転角）がどう変化するかの法則を導出したい。
しかし、剛体の回転の場合、ある方向の力は、剛体の回転に全く関係しない。
例えば、回転軸から放射状にでる半直線方向の力は全く回転の変化に寄与しない。
そこで剛体の回転を変化させる力とはなにかという問題から考察する必要が起こる。
質点運動における力の定義(力と運動量の変化の関係）や力と仕事の関係など力の係っている式のなかから、
剛体の回転運動に容易に拡張出来るものを選び、その式から、回転に関する力を求めることを試みる。
力の定義からは、回転運動への拡張を、推測することは難しい。
力と仕事の関係の考察をしてみよう。
力と仕事の関係からの考察
適当な直交座標系をさだめ、ベクトルは、座標成分で表示する。
質点に、一定の力$\vec F=(F_x,F_y,F_z)$を作用させて、x軸方向に変位させる。
質点はこの軸の上でしか動けないように拘束され、摩擦はないと仮定する。
質点の変位ベクトルは一次元の変数$x$を使って$\vec s=(x,0,0)$と表せる。
すると力のなす仕事は、$W=\vec F \cdot (x,0,0)=F_{x}x$である。
逆に物体に一定の力を加え、x軸上で$x$だけ変位させた時の仕事$W$が分かれば、質点を動かした力は
$F_x=W/x$
で求められる。
$F_y,F_z$は、質点をx軸上で動かすことには全く寄与せず、
x軸に拘束された質点を動かす力は、$F_x$なのである。
固定軸まわりの回転もその変位は一次元の変数である回転角度で表わせるので、
これに倣って、
$W/$回転した角度
を、回転にかんする力であると考える。これを回転力と呼ぶ。トルクともいう。
この方針を実行して回転力を具体的に求めよう。
剛体に力を加え微小角動かす時の、力のなす仕事の算出
図4.1のように剛体の任意の一点$P(x,y,z)$を考える。
z座標の上方からxy平面を見下ろしているので、ｚ座標は点になり$O$と書いてある。
まず一点$P(x,y,z)$に力$\vec F=(F_{x},F_{y},F_{z})$が作用して、微小角$\Delta\theta$だけ回転したときの
仕事$\Delta W$を計算し回転力を求めよう。
$P$点から回転軸（ｚ軸）に垂線を下ろし、その足を$O'=(0,0,z)$とする。
$\vec{O'P}$の長さを$r$、x軸となす角を$\theta$(ラジアン)と置く。
この角度は、
剛体につけた印の位置ベクトル$\vec{OP_s}$がｘ軸となす回転角$\phi$と
このベクトルと$\vec{O'P}$（をｘｙ平面に平行移動したベクトル）の間の角の和である。
後者は、剛体なので、運動しても変わらない定数である。そこで、$\theta=\phi+$定数,と書ける。
剛体がｚ軸の周りを微小角$\Delta\theta$回転して、点$P$が図の点$Q$に移動したとする。
すると角$\angle OPQ$はほぼ直角（=$\pi /2$）で$\vec{PQ}$の長さ$PQ$は、$PQ=r(\Delta\theta)$。
$\vec{PQ}$のｘ成分とｙ成分は、図4－１中に示したように、それぞれ、$-QR=-PQ*y/r$、$PR=PQ*x/r$。
$PQ=r(\Delta\theta)$を代入すると、
$\vec{PQ}_x=-y(\Delta\theta)$、$\vec{PQ}_y=x(\Delta\theta)$、$\vec{PQ}_z=0$
点$P(x,y,z)$に作用する力$\vec{F}=(F_{x},F_{y},F_{z})$が、物体を$\vec{PQ}$だけ動かしたので、
その仕事は、$\Delta W=\vec{F} \cdot \vec{PQ}$（内積）。
この右辺を内積の性質を用いて座標成分で表すと、
$F_{x}*(-y)\Delta\theta+F_{y} x\Delta\theta+F_{z}* 0$
$=(xF_{y}-yF_{x})*\Delta\theta$
ｚ軸まわりの回転力の導出
ゆえに、力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力（トルク）$T_\vec{e_z}$は$\Delta W/\Delta\theta=xF_{y}-yF_{x}$
に等しい。
これより、$\Delta W=T_\vec{e_z}\Delta\theta$が得られる。
この式と、直線上に拘束された質点の運動における、力と仕事の関係式( 節 項）と対比させると、
$T_\vec{e_z}$ は、拘束された直線の上を動かすときに、働いた力の成分が対応し、
$\Delta\theta$ は、変位量 に対応していることが分かる。
ｚ軸まわりの回転力（トルク）の性質
(1)力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力は,$\vec{F}_z$には関係しない。
言いかえるとz軸を固定軸とする剛体にｚ軸の方向の力を加えても、ｚ軸の周りの回転は起こらない。
(2)剛体の１点$P(x,y,z)$に作用する力$\vec F$を考える。
点$P(x,y,z)$からｚ軸に下ろした垂線の足を$O'(0,0,z)$と書く。
力$\vec F$を、,
$\vec{O'P}$方向の成分$\vec F_r$と、
ｚ軸まわりの回転により$P$の描く、$O'$を中心とする回転円の（左回りの）接線方向の成分$\vec F_t$
および、これら２成分に直交する成分(ｚ軸と平行)
に分解する(図参照）。この時、
・力$\vec F_r$のｚ軸まわりの回転力は、零である。
すなわち、動径方向の力は回転に寄与しない。
・力$\vec F$のｚ軸まわりの回転力は、$\vec F_t$のｚ軸まわりの回転力に等しい。
数式で表すと、$xF_{y}-yF_{x}=x(F_t)_{y}-y(F_t)_{x}$
(3)剛体に作用する力の作用点を、力の作用線上で動かす限り、回転力は変化しない。
ここで、力の作用線とは、力の作用点を通り、力の方向と重なる直線のこと。
これらはいずれも直観と合致する。
証明は、試みてほしい。
他の軸の周りの回転力
力$\vec{F}$のｘ軸、y軸まわりの回転力も同様に計算できる。結果は、
x軸まわりの回転力；$yF_{z}-zF_{y}=y(F_t)_{z}-z(F_t)_{y}$
y軸まわりの回転力；$zF_{x}-xF_{z}=z(F_t)_{x}-x(F_t)_{z}$
原点まわりの力のモーメント
位置ベクトル$\vec r=(x,y,z)$の剛体の点$P$に作用する力$\vec F$の原点まわりの力のモーメントを、
$\vec N=($x軸まわりのトルク、y軸まわりのトルク、z軸まわりのトルク$)$で定義する。
数式で書くと、
$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,
ベクトル積と力のモーメントのベクトル積表示
以上の結果は、ベクトル積（クロス積ともいう）を用いると簡潔、正確に表現でき、
回転運動の性質を調べるのが容易になる。
3次元ベクトル$\vec a,\vec b$ のベクトル積$\vec a \times \vec b$とは、3次元ベクトルであり,
大きさは$\vec a,\vec b$ を2辺とする平行四辺形の面積に等しく、
方向はこの四辺形に垂直で、向きは、$(\vec a,\vec b,\vec a \times \vec b)$が右手系をなすように定めたものである。
すると、ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。
ベクトル積にかんする命題
以下に述べる全ての命題で、
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル
$\alpha$は実数とする。
命題１．
$ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$
命題２．
$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$
命題３
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$
命題４．
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$
命題４の系
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
命題５．
$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、右手系をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。
この時、
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$
命題６．
ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ で決まる座標の座標成分で表示しておく。
すると$\vec a \times \vec b=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$
命題７．
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} =(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}$
命題８．
$ \quad \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $を,$t$にかんして微分可能な、ベクトルに値をとる関数とする。すると、
$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は、$t$にかんして微分可能で、
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$
これらの証明は、後節で扱う。 ベクトル積に関しては以下を参照のこと。
力のモーメントのベクトル積表示
ベクトル積の命題６を用いると、
位置ベクトル$\vec r$の点に作用する$\vec F$ の
原点まわりの力のモーメントは、$\vec N = \vec r \times \vec F$
x軸まわりの回転力(トルク）は、$\vec N \cdot \vec e_x $ と表せることが分かる。
ｙ軸とｚ軸周りの回転力も、それぞれ
$\vec N \cdot \vec e_y $ ,$\quad \vec N \cdot \vec e_z $で
表せる。
力のモーメントの性質
もっと一般に、どんな軸の周りの回転力も、$\vec N$ から得られる。
定理；
$\vec e$を、原点を始点とする大きさ１の任意のベクトルとする。
すると、
$\quad$ $\vec N \cdot \vec e$は、力$\vec{F}$の$\vec e$軸の周りの回転力になる。式で書くと、$T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e $
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
力$\vec{F}$のもとで、剛体を$\vec e$軸の右まわりに角度$\phi$だけ回転させたとき、
$\vec{F}$のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$
証明；
９つに分けて示す。
ⅰ）準備
図のように、剛体の点 $P$ から、$\vec e$ 軸に垂線を下ろし、その足を $Q$ とする。
力 $\vec F$ のもとで、剛体が $\vec e$ を固定軸にして、
微小時間に、微小角$\delta \phi$ だけ回転したとする。
このとき、$P$ が移った先を、$P'$ とする。
ⅱ）回転角 $\delta \phi$ が微小なので、
この回転中の $P$ の軌跡(円弧の微小部分）は、有向線分$\vec{PP'}$ で精度高く、近似できる。
ⅲ）この間に力 $\vec F$ がなした仕事 $\delta W$ は、$\delta W=\vec{PP'} \cdot \vec F$
この仕事を、回転角$\delta \phi$で割ると、力の $\vec e$ 軸周りの回転力が得られる。そこで、$\vec{PP'}$ を、この定理で与えられている諸量を使って表現し、これを用いて、仕事を計算しよう。
ⅳ）有向線分$\vec{PP'}$の方向を求める。
$\vec{PP'}$ は、$\vec e$ 軸と垂直で$Q$ を通る平面$H$上にあり、
$Q$を中心とする円の弧の微小部分をなすので、線分$QP$ と直交する。$\vec{PP'}\perp QP$
また、$\vec e$ 軸と垂直で$Q$ を通る平面$H$上にあるので、
$\vec{PP'}$は$\vec e$ 軸とも直交し、従って線分$OQ$と直交する。$\vec{PP'}\perp OQ$
ゆえに、$\vec{PP'}$ は、３点O,Q,Pを通る平面 $OQP$ と直交する。
すると、$\vec{PP'}$ は、平面 $OQP$ 上のすべての線分と直交する。
ゆえに、$\vec{PP'}\perp \vec e$,$\quad \vec{PP'}\perp \vec{OP}$
これで、$\vec{PP'}$ の方向は、求まった。
ⅴ）有向線分$\vec{PP'}$ の向き
点 $P$ は、$\vec e$ 軸の周りを右周りに回転するので、その向きは、
$\vec e \times \vec{OP}$ と同じ向きである。
ⅵ）$\vec{PP'}$ の大きさ。
$\vec{PP'}$は、 $Q$ を中心とする、半径 $\| \vec{QP} \|$ の円弧の一部なので、
その中心角$\delta \phi$ を用いて、$\| \vec{PP'}\|=\|\vec{QP}\|\delta \phi$
ⅶ）ⅳ）、ⅴ）、ⅵ）から
$\vec{PP'}=\frac {\vec e \times \vec r}{\|\vec e \times \vec r \|}\|\vec{QP}\|\delta \phi$
ⅷ）$\vec{PP'}=\vec e \times \vec r \delta \phi$が成り立つ。
なぜなら、
$\|\vec e \times \vec r \|= \|\vec e \|\|\vec r \|\sin \theta =\|\vec r \|\sin \theta =\| \vec{QP} \| $ ,ここで $\theta$ は$\vec e$ と$\vec r$ の間の角。
この式をⅶ)で得られた式に代入すれば、所望の結果が得られる。
ⅸ）$\delta W=\vec{PP'} \cdot \vec F
=(\vec e \times \vec r \delta \phi) \cdot \vec F
=(\vec e \times \vec r) \cdot \vec F \delta \phi
=(\vec r \times \vec F)\cdot \vec e \delta \phi$
ⅹ）$ T_\vec e = \frac{\delta W}{\delta \phi} =(\vec r \times \vec F)\cdot \vec e =\vec N \cdot \vec e $
定理の証明終わり。
（注）剛体が固定軸の周りでなく、自由に回転するときでも、
ある瞬間には、ある軸の周りの回転になっている。
力のモーメントは、どんな軸周りの回転力の情報も含んでいることが証明されたので、
回転運動一般に有効な概念であることが分かる。
剛体の複数個所に作用する力の回転力
次に剛体の多くの点に力を加えたときの回転力を求めよう。
力の作用点を$P_i(x_i,y_i,z_i)$、力を$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)$とする。
これらの力のもとで剛体がz軸まわりを$\Delta\theta$だけ微小回転するときの、各力のなす仕事の合計は、
$(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}(\vec F^i)_{y}-y_{i}(\vec F^i)_{x})*\Delta\theta$
従って、作用点$P_i(x_i,y_i,z_i)$の力$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)$の全体がもつz軸まわりの回転力は、
$T_\vec{e_z}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_z} =\sum_{i=1}^{n}(x_{i}(F_{i})_{y}-y_{i}(F_{i})_{x}) \quad $ ここで$T^i_\vec{e_z}$は力$\vec F^i $のｚ軸まわりの回転力。
同様に、x軸まわりとy軸まわりの回転力も、それぞれ
$T_{\vec e_x}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_x} =\sum_{i=1}^{n}(y_{i}(F^i)_{z}-z_{i}(F^i)_{y})$
$T_{\vec e_y}=\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_y} =\sum_{i=1}^{n}(z_{i}(F^i)_{x}-x_{i}(F^i)_{z})$
力$\vec F^i $の原点周りに力のモーメント$\vec N^i$は$\vec N^i=(T^i_{\vec e_x},T^i_{\vec e_y},T^i_{\vec e_z})$で定義した。
全ての力の原点周りの力のモーメントも、同様に
$\vec N=(T_{\vec e_x},T_{\vec e_y},T_{\vec e_z})$で定義する。すると、
$\vec N=(\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_x},\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_y},\sum_{i=1}^{n}T^i_{\vec e_z})=\sum_{i=1}^{n}N^i$
全ての力の原点周りの力のモーメント$\vec N$も、上述の定理と同様の定理(定理の系と呼ぶ）が成り立つ。
定理の系
$\vec N$を剛体に作用する全ての力のモーメントとし、
$\vec e$を、原点を始点とする大きさ１の任意のベクトルとする。
すると、
$\quad$ $\vec N \cdot \vec e$は、力$\vec{F}$の$\vec e$軸の周りの回転力になる。
式で書くと、$T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e $
この式を、回転力の定義に基づいて言い換えると、
力$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,, n) $のもとで、剛体を$\vec e$軸の右まわりに角度$\phi$だけ回転させたとき、
これらの力のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$
この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。
質点系に作用する重力のモーメント
ｎ個の質点系を考える。
第ｉ質点の質量を$m_i$、位置ベクトルを$\vec{r_{i}}$とする。
鉛直上方をｚ軸の正方向とする直交座標系$0-xyz$をいれる。
この質点系に作用する重力の原点周りのモーメント$\vec N$を求めよう。
第ｉ質点に働く重力は、
$\vec{f^{i}}=(0,0,-m_{i}g)$
なので、
$\vec N=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times \vec{f^{i}}
=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times (0,0,-m_{i}g)$
$=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\vec{r_{i}} \times (0,0,-g))
=(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}}) \times (0,0,-g))$
すでに学んだことから、この質点系の重心は、
$\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}})}{M}$
であった。ここで、 $M=\sum_{i=1}^{n}m_{i}$ 。
これを用いて、モーメントを書きなおすと、
$\vec N=M \vec{R} \times (0,0,-g)=\vec{R} \times (0,0,-Mg)$
となる。
これは、質点系の重心の位置に質点系の全質量が集中している時の、
原点周りの重力のモーメントに等しい。
回転運動の方程式
$\vec N$ が、あらゆる回転軸にかんする回転力を表現していることがわかった。
力$F$と運動量の変化の関係をあたえるニュートンの運動方程式（第2法則）を変形して、
回転力$\vec N$にかんする方程式を導こう。
直交右手座標系$O-xyz$ を定める。原点 $O$ は、考察対象に都合のよい点を選ぶ。
剛体を$N$個の（質点と考えてよい）微小部分$P^i(i=1 \cdots N)$に分け、
その質量を$m_i$、位置ベクトルを$\vec{r}^i(x_i,y_i,z_i)$とする。
$P_i$が外部から受ける力を$\vec {F}^i$、
$P_i$ が剛体の他の部分$P_j(j\neq i)$ から受ける力(内力)を$\vec {F}^{ij}$とおく。
後者は、剛体が変形しないよう、剛体の原子間に働かせる力に起因する。
この原子間の力は、原子の電荷による電気力と、
原子同士が接近しすぎたときに作用する量子力学的力により生じる。
作用・反作用の法則（運動の第3法則）から、$\vec F^{ij}=-\vec F^{ji}$ 。
さらに、剛体の２点間に働く内力の方向は、
その２点を結ぶ直線の方向と同じだと、仮定する。
各質点のニュートンの運動方程式
各質点ごとに、ニュートンの運動方程式を立てると、
$m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}=\vec F^i+\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j} \quad (i=1 \cdots N)$
これを変形して
$\vec F^i=m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j} \quad (i=1 \cdots N)$ $\qquad (1)$
この式から、
力$\vec F^i$の回転力$\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^i$にかんする式を導こう。
$\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^i$にかんする式の誘導
式（１）の両辺に左側から、$\vec r^i$ のベクトル積を施すと、
$\vec N^i=\vec r^i \times \vec F^i
=\vec r^i \times (m_i\frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec F^{i,j})
$ $(i=1 \cdots N) $
ベクトル積の性質３と性質４により、
$=m_i\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2}-\sum_{j\neq i}\vec r^i \times\vec F^{i,j}$ $\qquad (2)$
ここで、ベクトル積の性質８より
$\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \frac{d \vec r^i}{dt})
= \frac{d \vec r^i}{dt} \times \frac{d \vec r^i}{dt}
+\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2}
=\vec r^i \times \frac{d^2\vec r^i}{dt^2}$
なので、
$\vec N^i=m_i\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \frac{d \vec r^i}{dt})
-\sum_i\vec r^i\times \vec F^{i,j}
= \frac{d}{dt}(\vec r^i \times m_i\frac{d \vec r^i}{dt})
-\sum_{j\neq i}\vec r^i\times \vec F^{i,j} \qquad (3)$
質点$P_i$の運動量を$\vec P^i$と書くと、
$P^i=m_i\vec v^i=m_i\frac{d\vec r^i}{dt}$なので、
$\vec N^i=\frac{d}{dt}(\vec r^i \times \vec P^i)
-\sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j} $
定義；角運動量(運動量のモーメントともいう）
質点の位置ベクトルを$\vec r$、運動量を$\vec p$と書くとき、
$\vec l=\vec r \times \vec p$を,この質点の角運動量と呼ぶ。
これを用いると、
$\vec N^i=\frac{d\vec l^i}{dt}-\sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j} $
回転の運動方程式の導出
故に、
$\vec N=\sum_i\vec N^i=\frac{d\sum_i \vec l^i}{dt}-\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j} \qquad (4) $
ここで、
$\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j}=\sum \sum_{i<j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}+\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j} \qquad (5)$
式（４）の右辺の第２項の上付き添え字i,jを、それぞれ、j'と i'でおきかえられるので、
$ \sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}
=\sum \sum_{j'>i'}\vec r^{j'} \times \vec F^{j',i'}$
内力は作用反作用の法則が適用できると仮定しているので、
$\vec F^{j',i'}=-\vec F^{i',j'}$ 。この式を上の式の右辺に代入すると、
$ \sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}
=-\sum \sum_{j'>i'}\vec r^{j'} \times \vec F^{i',j'}$
この式の右辺の和をとる変数i',j' を i,j におきかえると、
$\sum \sum_{i>j}\vec r^i \times \vec F^{i,j}=-\sum \sum_{i<j}\vec r^{j} \times \vec F^{i,j}$
この式を、式（5）の右辺の第２項に代入して整頓すると、
$\sum_i \sum_{j\neq i} \vec r^i \times \vec F^{i,j}
=\sum \sum_{i<j}(\vec r^i - \vec r^{j}) \times \vec F^{i,j}$
さらに、内力に関する第２の仮定により、$\vec r^i - \vec r^{j}$ と$\vec F^{i,j}$は同じ方向なので、ベクトル積の定義より、この項は、零となることが分かる。
故に、式（４）の右辺の第２項は零となり、
$\vec N=\frac{d\sum_i \vec l^i}{dt} \qquad (6) $
が得られる。全角運動量を$\vec L =\sum_i \vec l^i $とおけば、
式（６）は、次のように書ける。
命題；回転運動の関するオイラーの運動方程式
剛体の内力に上述の2つの仮定を付ける。このとき、
剛体に作用する全ての外部力の原点周りの力のモーメント$\vec N=\sum_i\vec N^i=\sum_i\vec r^i \times \vec F^i$と、
全角運動量$\vec L =\sum_i \vec l^i =\sum_i \vec r^i \times \vec p^i$の間には、
$\vec N=\frac{d\vec L}{dt} \qquad $ （７）
この命題の導出までは詳しく述べたが、本テキストではこれ以上は深入りしない。
この先にも興味がある方は、次の記事をご覧ください。
固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式
回転運動の運動方程式から、任意の軸の周りの回転運動の方程式が簡単に導出できる。
ｚ軸周りの場合を例にとり、説明する。
ｚ軸周りの回転力は$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$なので、
回転運動の方程式から
$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z
=\frac{d\vec L}{dt} \cdot \vec e_z$
この式の右辺に,$L=\sum_i \vec r^i \times \vec p^i$ を代入すると
右辺
$=\frac{d\sum_i \vec r^i \times \vec p^i}{dt}\cdot \vec e_z \qquad$ 微分の加法性から
$=(\sum_i \frac{d \vec r^i \times \vec p^i}{dt})\cdot \vec e_z \qquad$ 内積の加法性から
$=\sum_i(\frac{d \vec r^i \times \vec p^i}{dt}\cdot \vec e_z) \qquad$ ベクトル積の性質８から
$=\sum_i(\frac{dr^i}{dt}\times \vec p^i+\vec r^i \times \frac{d\vec p^i}{dt})\cdot \vec e_z$ $\qquad \vec p^i=m_i\frac{d\vec r^i}{dt} $を代入し、ベクトル積の性質を用いると、
$=\sum_i(\vec r^i \times \frac{d^2 \vec r^i}{dt^2})\cdot \vec e_z$
故に、
$T_{\vec e_z}=\sum_i(m_i\vec r^i \times \frac{d^2 \vec r^i}{dt^2})\cdot \vec e_z\qquad (1) $
剛体はｚ軸の周りを回転するので、
その各点$P_i$(位置ベクトル$\vec r^i=\vec{OP_i}$）は、
ｚ軸と直交する平面上を、ｚ軸を中心とする円を描いて運動する。
この拘束条件を考慮して、
時刻$t$の位置ベクトル$\vec r^i(t)$の座標成分を書きなおすと、
$\vec r^i(t)=(x^i,y^i,z^i)=(\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t),z^i) \qquad (2)$
ここで$\hat{r}_i$は、点$P_i$とｚ軸との距離、
$\theta(t)$は、$\vec r^i(t)$をｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角度である。図参照。
剛体につけておいた印$P_s$の位置ベクトル$\vec{OP_s}$を
ｘｙ平面に正射影した像がｘ軸となす角（回転角）$\phi$を用いると、
$\theta_i(t)=\phi(t)+\phi_i \qquad (3)$
（$\phi_i$は、$P_i$ごとに決まる、定数）と書ける。
式（１）の右辺を、式（２）を利用して、変形すると、
$=\sum_i m_i\left((\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t),z^i)
\times
\hat{r}_i(-\cos\theta_i\dot{\theta_i}^2-\sin\theta_i\ddot{\theta_i},
-\sin \theta_i \dot{\theta_i}^2 +\cos \theta_i\ddot{\theta_i}, 0) \right)\cdot \vec e_z $
$=\sum_i m_i\hat{r}_i\left((\hat{r}_i\cos\theta_i(t),\hat{r}_i\sin\theta_i(t),
z^i)
\times
(-\cos\theta_i\dot{\theta_i}^2-\sin\theta_i\ddot{\theta_i},
-\sin \theta_i \dot{\theta_i}^2 +\cos \theta_i\ddot{\theta_i}, 0) \right)_3$
ベクトル積の性質６より、
$=\sum_i m_i\hat{r}_i$
$\left(\hat{r}_i\cos\theta_i(t)
(-\sin\theta_i(t)\dot{\theta_i}(t)^2
+\cos\theta_i(t)\ddot{\theta_i}(t))
-\hat{r}_i\sin\theta_i(t)
(-\cos\theta_i(t)\dot{\theta_i}(t)^2
-\sin \theta_i(t)\ddot{\theta_i}(t) \right)$
$=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2\ddot{\theta_i}(t)$
ここで、$\theta_i(t)=\phi(t)+\phi_i$を代入すると
$=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)$
以上により、
$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$
$=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)$
が得られた。
$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$とおくと、この式は
$T_{\vec e_z}=I \ddot{\phi}(t) \qquad (4)$
と書ける。ここで$I$を、剛体の軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。
原点を始点とする任意の回転軸$\vec{e},\|\vec{e}\|=1$まわりの回転の方程式も同様に得られる。
この方程式の変数$\phi$ は、一次元のスカラーなので、
質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式
$F=m\ddot{x}$
と、対比させる。すると、
質点に作用する力 $F$ ＜＝＝＝＞ 剛体に作用する回転力$T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e$
質点の質量 $m$ ＜＝＝＝＞ 剛体の$\vec{e}$軸まわりの慣性モーメント
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$、$\hat{r}_i$は質量$m_i$と$\vec{e}$軸を延長した直線との距離
質点の位置変数 $x(t)$ ＜＝＝＝＞ 剛体の$\vec{e}$軸周りの回転角変数$\phi(t)$
質点の速度 $\dot{x}=\frac{dx(t)}{dt}$ ＜＝＝＝＞剛体の$\vec{e}$軸周りの角速度$\dot{\phi}(t)$;
質点の運動量 $m\dot{x}$ ＜＝＝＝＞ 剛体の角運動量$I\dot{\phi}$;
運動方程式$F=m\ddot{x}$ ＜＝＝＝＞ $T_{\vec e}=I\ddot{\phi}$
という、対応関係があることが分かる。
この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、
もし$\vec N=0$ ならば、任意の軸まわりの回転力が零なので、
剛体の任意の軸まわりの角加速度が零、角速度が一定となることが分かる。
剛体の回転の運動エネルギー
剛体の各微小部分(質量$m_i$）の速度を $v_i$と書くと、
その運動エネルギーは $\frac{1}{2}m_i {v_i}^2,(i=1 \cdots n)$なので、
剛体全体の運動エネルギーは、$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2$
回転運動している各微小部分の速度は、$v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}$と書けるので、
$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)$
物理振り子
剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。
これを物理振り子、あるいは実体振り子という。
水平回転軸をｘ軸とし、鉛直上方をｚ軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、
回転軸とこの平面の交点を原点$O$、重心を$G$と記す。図参照。
回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。
すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。
そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。
重力の原点周りの力のモーメント$\vec N$は、
剛体の重心$\vec R$に、剛体の全質量$M$があるとしたときの
重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。
故に、
$\vec N=\vec R \times (0,0,-Mg)=(-R_{2}Mg,R_{1}Mg,0)$
ｘ軸まわりの力のモーメントは、
$\vec N \cdot \vec e_{x}=-R_{2}Mg=-Mg\|\vec{OG}\|\sin\phi$
従って、回転の運動方程式は
$I\frac{d^{2}\phi}{dt^2}=-Mg\|\vec{OG}\|\sin\phi$
ここで$I$は、軸まわりの、振り子の慣性質量。
剛体の慣性モーメントの計算(一次元の剛体)
剛体$V$は、ごく細く、まっすぐな棒で,
長さ$l$、質量密度(単位長さあたりの質量)は一定で$\rho$とする。
棒の左端から$l_1$の場所$O$を通り、棒に直交する軸まわりの慣性モーメントを具体的に計算しよう。
$O$を原点とし、棒と同じ方向の数直線を考え、これを座標系として採用。
$V=[a=-{l_1},b=l-l_1]$と表現する。
剛体$V$の慣性モーメントは、
剛体を質点とみなせるほど細かい部分$V_i=[x_{i-1},x_i],(i=1,2,,,n)$に分割して、
各$V_i$の質量$m_i$と、$V_i$と$O$との距離$\hat{r}_i$を用いて、
$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$で定義した。但し$x_0=a,x_n=b$
剛体の分割と慣性モーメントの近似式・リーマン和
$V_i$の質量$m_i$は、$V_i$の長さ$x_i-x_{i-1}$に質量密度$\rho$を掛ければ得られるので
$m_i=\rho (x_i-x_{i-1})$であり、
$I=\sum_i \rho (\hat{r}_i)^2(x_i-x_{i-1})$
と書ける。
しかし、剛体$V=[a,b]$をいくら細かく分割しても、
各小区間$V_i=[x_{i-1},x_i]$は大きさ(長さ)をもつので、
原点との距離$\hat{r}_i$は、一つに定まらない。
そこで、各小区間$V_i$から、代表点$\xi_i$を選びだし、その点の原点からの距離$|\xi_i|$、($\xi_i$絶対値)を、$\hat{r}_i$とみなす。
すると、慣性モーメント$I$の式は
$\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2=\sum_i \rho(\xi_i)^2(x_i-x_{i-1})$
で近似される。
そこで、この分割を
$\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} $
と表し、
$I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
で,慣性モーメントの近似式を表すことにする。
すると、
慣性モーメントの近似式は、
$I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}\rho(\xi_i)^2(x_i-x_{i-1})\qquad (1)$
と書ける。
この値は分割の仕方と分割小区間の代表点$\xi_i(\in V_i)$の選び方によって変化する。
$V_i$の中で、原点に最も近い点${{\xi}^m}_i(\in V_i)(i=1,2\cdots,n)$にとると
最小値
$I_{m}(\Delta):=\sum_{i=1}^{n}\rho({{\xi}^m}_i)^2(x_i-x_{i-1})$
をとり、
$V_i$の中で、原点に最も遠い点${{\xi}^M}_i(\in V_i)(i=1,2\cdots,n)$にとると
最大値 $I_{M}(\Delta):=\sum_{i=1}^{n}\rho({{\xi}^M}_i)^2(x_i-x_{i-1})$
を取る。
関数$y=f(x)=\rho x^2$を使って表現すれば、
$I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$
であり、$I_{m}(\Delta)\leq I^{\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)\leq I_{M}(\Delta)$を満たす。
質量密度が場所で変わるときは、、関数は$y=f(x)=\rho(x) x^2$になり、
剛体の重心を求めるときは、後述するように、別の関数が現れる。
そこで、数学の分野では、一般の関数$y=f(x)$にたいして
$I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\qquad (2)$
を求め、分割$\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} $と$V_i$の代表点$\xi_i,(i=1,2,,,n)$に関する関数$y=f(x)$のリーマン和と呼ぶ。
その最小値$I_{m}(f,\Delta)$と最大値$I_{M}(\Delta)$も,同様に定義される。
$I_{m}(f,\Delta)\leq I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)\leq I_{M}(\Delta)\qquad (3)$
慣性モーメントの近似式(1)は、関数$y=f(x)=\rho(x) x^2$にたいするリーマン和である。
慣性モーメントの近似式の意味
今後、関数$y=f(x)$は、$V=[a,b]$で定義された有界関数として、
議論を進める。
有界関数とは、十分大きな正数$M$を選べば、
$V=[a,b]$の全ての点$x$に対して、$|f(x)| \leq M$となること。
$y=f(x)=\rho x^2$を代入すれば、考察対象の剛体の慣性モーメントの話になる。
リーマン和
$I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$
は、$y=f(x)$のグラフを、棒グラフで近似したときの棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。
また、$I_{m}(f,\Delta)$は一点鎖線でしめす、小さいほうの長方形の和であり、
$I_{Mm}(f,\Delta)$は点線でしめす、大きいほうの長方形の和である。
$I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$は、$y=f(x)$のグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線$x=a$、$x=b$で囲まれる部分の面積$S$を近似している。
また、$I_{m}(f,\Delta)\leq S \leq I_{Mm}(f,\Delta) \qquad (4) $
であり、
$I_{m}(f,\Delta)$は面積を下から評価し、
$I_{M}(f,\Delta)$は面積を上から評価していることがわかる。
分割を限りなく細かくしていくとき、
リーマン和が分割や代表点の選び方に関係ない数に収束するならば、
その極限値は、
$y=f(x)$のグラフとｘ軸およびｙ軸と平行な直線$x=a$、$x=b$で囲まれる部分の面積
と考えられる。
もし、分割$\Delta$を細かくしていくとき
$I_{m}(f,\Delta)$と$I_{M}(f,\Delta)$が同じ値に収束することが示せれば、
(3)式と(4)式から、リーマン和は、関数のグラフの作る面積$S$に収束することが分かった。
可積分の定義と積分
「分割を細かくしていくとき、リーマン和が収束する」ということは、
面積を決める上で決定的に重要がことなので、
可積分という名を付けて、数学的に厳密に定義する。
このためにはまず、分割の大きさを定める必要がある。
定義：分割の大きさ
分割 $\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} $の大きさとは、
$d(\Delta):=max_{i=1,2,\cdots n}(x_i-x_{i-1})$
定義：可積分と積分
$f$を、有界閉区間$V$上で定義され、実数の値をとる関数とする。
もし、ある実数$I$が存在して、
どんな分割$\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} $と代表点$\xi_i\in V_i(i=1,2,\cdots ,n)$であっても、
$\lim_{d(\Delta) \to 0}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=I$
が成り立つ時、
$f$は$V$上で(リーマン)可積分であるという。
このとき、$I$ を$f$の$V$上での(リーマン)積分といい、
$I=\int_{V}f=\int_{V} f(x)dx$
などと書く。
積分の性質
定理（積分の線形性）
$f, g \quad$を、区間$I$上で定義された、任意の実数値関数であり、
$c, d \quad$を任意の実数とする。
このとき、
（１）$f,\quad g \quad$が$I$上で可積分ならば、$cf+dg \quad$も$I$上で可積分
（２）このとき、$ \int_{I}(cf+dg)=c\int_{I}f+d\int_{I}g $
証明；リーマン和の定義から、区間$I$の任意の分割$\Delta=\{I_1,,,,I_n\} $と
分割区間の任意の代表点$\xi\in V_i(i=1,2,,,,n) $($\xi$は$V_i$に含まれる意)に対して、
$S(cf+dg,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
=cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}) \qquad (1)$
$f,\quad g \quad$は可積分なので、その定義から、
$\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}f $
$\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\})=\int_{I}g $
(1)式の両辺の極限$\lim_{d(\Delta) \to 0}$ をとろう。
右辺の極限
$=\lim_{d(\Delta) \to 0}
\left(cS(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+dS(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n}\right) $
極限の性質から、
$=c\lim_{d(\Delta) \to 0}S(f,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n})
+d\lim_{d(\Delta) \to 0}S(g,\Delta,\{\xi_i\}_{i=1}^{n} $
$=c\int_{I}f+d\int_{I}g $
従って（１）式の左辺の極限$ \int_{I}(cf+dg)$ も存在して、右辺の極限と一致する。
証明終わり。
慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法
$V$は、先述の、ごく細い一様な質量密度$\rho=M/l$のまっすぐな棒で、
座標系を入れて、$V=[a=-{l_1},b=l-l_1]$と表現しておく。
原点を通りこの棒と直交する軸のまわりの(この棒の)慣性モーメントを、
リーマン和の極限を取って求めよう。
区間$V=[-{l_1},l-l_1]$をｎ($\geq 2$)等分して得られる点列,
${x^n }_0=-l_1, {x^n }_1={-l_1}+l/n, {x^n }_i={-l_1}+i(l/n),,,{x^n }_n=l-{l_1}$
を分点とする分割を${\Delta}^n$と記す。すると、
${x^n }_i-{x^n }_{i-1}=l/n,\quad(i=1,2,,,n)$, $d({\Delta}^n)=l/n$であり、
${\Delta}^n=\{{V^n}_j=[{x^n}_{j-1},{x^n}_j] \mid j=1,2,,,n\}$
$\{{\Delta}^n \mid n=2,3,,,\}$という分割の列は、
$\lim_{n\to\infty} d({\Delta}^n)=\lim_{n\to\infty}\frac{l}{n}=0$を満たす。
$y=f(x)=\rho x^2$がリーマン可積分であることを認めれば、
可積分の定義から、どんな代表点${{\xi}^n}_j\in {V^n}_j$を選んでも、
$\lim_{n\to \infty}I^{f,{\Delta}^n}({{\xi}^n}_1,{{\xi}^n}_2,,,{{\xi}^n}_n)=I$となる。
そこで、代表点を${{\xi}^n}_j={x^n}_j=-l_1+j(l/n) \quad (n=2,,,),(j=1,2,,,,n)$と選ぶ。
関数$y=f(x)=\rho x^2$を用いると、
分割$\Delta^n$を用いた慣性モーメントの近似値は次のようになる。
$I^{f,{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n)
=\sum_j f({x^n}_j)1/n
=\sum_j f(-{l_1}+j(1/n))\frac{l}{n}
=\rho\sum_{j=1}^{n} (-{l_1}+j(1/n))^2\frac{l}{n} $
ここで、
$\sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1),\quad \sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$(注参照）を利用して、この式を計算すると、
$=\rho l ({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})$
$\rho=M/l$なので、
$=M({l_1}^2-{l_1}l\frac{n+1}{n}+\frac{l^2}{6} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n})$
故に、
$I=\lim_{n\to \infty}I^{f,{\Delta}^n}({x^n}_1,{x^n}_2,,,,{x^n}_n)
=\frac{M}{3}(l^2-3{l_1}l+3{l_1}^2)$
（注）$S_{1}:=\sum_{j=1}^{n} j=\frac{1}{2}n(n+1)$の証明
$(j+1)^{2}-j^{2}=2i+1$ なので、両辺のj=1,2,,,n に関する和を取る。
左辺の和は$\sum_{j=1}^{n}((j+1)^{2}-j^{2})=(n+1)^{2}-1$
右辺の和は$\sum_{j=1}^{n}(2j+1)=2\sum_{j=1}^{n}j+n=2S_{1}+n$
故に、$(n+1)^{2}-1=2S_{1}+n$
$(n+1)^{2}-1-n=2S_{1}$ $S_{1}=\frac{1}{2}\left((n+1)^{2}-1-n\right)=\frac{1}{2}n(n+1)$
$S_{2}:=\sum_{j=1}^{n} j^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$の略証
$(j+1)^{3}-j^{3}=3j^2+3j+1$なので、この両辺のj=1,2,,,nに関する和を取る。
左辺の和は$(n+1)^{3}-1$、右辺の和は$3S_{2}+3S_{1}+n$,故に$3S_{2}+3S_{1}+n=(n+1)^{3}-1$
慣性モーメントの計算（2）原始関数を利用する方法
積分可能な関数の積分をリーマン和の極限から求める計算は煩雑であり、複雑な形状の剛体の慣性モーメントを求めるにはふさわしくない。
次の定理が強力な計算法を提供する。
定理
$V=[a,b]$を数直線上の区間、
$f$を$V$上可積分な実数値関数
とする。
もし$F$が、
$V$上で微分可能で
全ての$V$の点$x$で、$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$
を満たす関数ならば(注参照)、
$\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$
上記の条件を満たす関数$F$を、$f$の原始関数という。
(注)関数$F$は、$V$上でしか定義されていないので、
端点$a,b$では、通常の微分は定義できない。そこで、
$\frac{d}{dx}F(a):=\lim_{h \to 0,h\geq 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}$
$\frac{d}{dx}F(b):=\lim_{h \to 0,h\leq 0}\frac{F(b+h)-F(b)}{h}$
と定義する。
証明；
区間$[a,b]$の任意の分割
$\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i]\mid 1 \leq i \leq n,x_0=a,x_n=b\}$
に対して、
代表点を$\xi_i\in V_i$($\xi_i$は$V_i$の点の意)とすると、
$f$のリーマン和は
$I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
$=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$
小区間$V_i=[x_{i-1},x_i]$での関数$F$の平均勾配
$\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}$
は、平均値の定理により、
$V_i=[x_{i-1},x_i]$の中のある一点$\eta_i$における$y=F(x)$の接線の勾配
$\frac{d}{dt}F(\eta_i)$に等しので、
$\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=\frac{d}{dt}F(\eta_i)=f(\eta_i)$
故に、$f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1})$
そこで、各小区間$V_i$の代表点を$\eta_i,(i=1,2,,,n)$と選べば、
$I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)$
$=\sum_i f(\eta_i)(x_i-x_{i-1})$
$=\sum_{i=1}^{n}\left(F(x_i)-F(x_{i-1})\right)$
$=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)$
$f$は可積分なので、
$\int_{[a,b]}f=\lim_{d(\Delta)\to 0}I^{f,\Delta}(\eta_1,,,\eta_n)$
$=\lim_{d(\Delta)\to 0}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a)$
証明終わり。
さて、慣性モーメントを求めたい剛体では、
$f(x)=\rho x^2$なので、その原始関数は、
$F(x)=\frac{1}{3}\rho x^3$
従って、慣性モーメントは、定理を適用して、
$I=\int_{[a,b]}\rho x^2=\frac{1}{3}\rho (b^3-a^3)$
$\rho=M/l$,$a=-l_1,b=l-l_1$を代入して、整頓すると、
$=\frac{M}{3}(l^2-3l_{1}l+3{l_1}^2)$
重心の計算への応用
質量密度が場所により変わる、長さ$l$のごく細い棒$V$の重心を求めてみよう。
考えやすくするため、
棒の一端を原点にし、他端がｘ軸の正の位置にくるように座標系$O-x$をいれる。
この座標系で剛体は$V=[0,l]$と書ける。
$V$を小区間$V_i=[{x^n}_{i-1},{x^n}_{i}],i=1,2.\cdots,n),{x^n}_n=0,{x^n}_n=l$に分割（分割$\Delta$と記す)し、これらの小区間を質点とみなせば、その重心は、
$\vec{R}=\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M $
で定義された(1.1.1節参照)。ここで$m_i $ は第ｉ質点の質量、$M=\sum_{i} m_i$、
$\vec{r_i}$は第ｉ質点の位置ベクトル。
ベクトルを座標成分表示すると、この問題では一次元なので、
$R=\sum_{i} m_i r_i/M $、$M=\sum_{i} m_i$
しかし、実際には $V_i$は、質点ではないので、
位置ベクトルは、定まらない。
またその質量も密度が一定ならば、$m_i=\rho ({x^n}_{i}- {x^n}_{i-1})$できまるが、
密度が変化するならば、定まらない。
そこで、各小区間 $V_i$の代表点$\xi_i (\in V_i)$を選び
$m_i=\rho(\xi_i)({x^n}_{i}- {x^n}_{i-1})$,$r_i=\xi_i $
で近似する。
すると分割$\Delta$と代表点$\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$に対応する、
質量$M$と重心$G$の近似値は、それぞれ
$M^{\rho,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
$=\sum_i \rho(\xi_i)v(V_i)=\sum_i \rho(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$
$G^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
$=\sum_i f(\xi_i)v(V_i)=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$
ここで、$f(x)=\frac{1}{M}\rho(x)x$
もし、関数$\rho(x)$が積分可能ならば、分割$\Delta$を細かくしていけば
$M=\lim_{d(\Delta) \to 0}M^{\rho,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
$=\int_{[0,l]}\rho$
もし関数$\rho$の原始関数$P$が存在する($\rho(x)=\frac{dP(x)}{dx}$)ならば
$=P(l)-P(0)$
もし関数$f(x)$も積分可能ならば、分割$\Delta$を細かくしていけば
$G=\lim_{d(\Delta) \to 0}G^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$
$=\int_{[0,l]}f$
もし関数$f$の原始関数$F$が存在する($f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$)ならば
$=F(l)-F(0)$
例；$\rho(x)=\rho_0$ならば、$P(x)=\rho_0 x$なので $M=\rho_0 l$
また、$f(x)=\frac{1}{M}\rho_{0}x$となるので$F(x)=\frac{1}{2M}\rho_{0}x^2$
となり、$G=F(l)-F(0)=\frac{l}{2}$
例；$\rho(x)=x$ならば、$P(x)=\frac{x^2}{2}$なので $M=\frac{l^2}{2}$
このとき$f(x)=\frac{1}{M}\rho(x)x=\frac{1}{M}x^2$なので
$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$
２次元以上の物体の慣性モーメントについて
てこの原理と力のモーメント
図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、
この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。
てこの原理
梃子の端$A_1$に力$\vec{f^1}$が作用し、他端$A_2$に力$\vec{f^2}$が作用して、
つりあう(静止し続ける)とき、２つの力の間にはどのような関係があるだろうか。
棒は軽くて無視できるとして考察する。
軸周りに静止し続けるということは、
固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、
梃子に働く外力$\vec{f^1}, \vec{f^2}$の、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。
$O$を原点、回転軸をｚ軸,梃子の棒をｘ軸とする、直交座標系$O-xyz$を導入すると、
$\vec{OA_1}=(-l_1,0,0),\quad \vec{OA_2}=(l_2,0,0)$
$\vec{f^1}=({f^1}_x,{f^1}_y,{f^1}_z),\quad
\vec{f^2}=({f^2}_x,{f^2}_y,{f^2}_z)$
と表現できる。
そこで、1.4.3.2.3節(ｚ軸まわりの回転力の導出)から
ｚ軸まわりのトルク(回転力)は
$T_{\vec{e_z}}=-l_{1}{f^1}_y+l_{2}{f^2}_y$
となる。
従って
つりあい条件は、
$l_{1}{f^1}_y=l_{2}{f^2}_y$
これをてこの原理という。
$l_{2}$ を$l_{1}$に比べて、非常に大きくとれば、
少しの力${f^2}_y$で非常に大きな力${f^1}_y$と釣り合わせることが出来ることが分かる。
てこの原理については、
も参照のこと。
剛体に働く力の作用線
力が作用する点を着力点といい、
着力点を通り力のベクトルと方向が等しい直線を、力の作用線という。
剛体に働く力は、その着力点をかえると、一般には、剛体の運動への効果が異なってしまう。
しかし、力のベクトル和と、力のモーメント和が不変となるように力の着力点を移動したり力の合成をすることは、
剛体の運動には全く影響がでないので、許される。
例えば、力の着力点をその作用線にそってうごかしたり、
同じ着力点をもつ複数の力を、それらのベクトル和に置き換えることは許される。。
剛体のつり合い
いくつかの力が作用し、剛体が静止したままであるか、
重心$G$が等速直線運動(静止も含む)を続け、
重心の周りの回転が変化しない(回転しないままか、同じ回転を続ける）場合に、
剛体（に作用している力）は釣り合っているという。
重心が等速直線運動を行うのは、
剛体に作用する外力のベクトル和が０になることであり、その場合に限る。
これについては、「1.1.1 質点系の運動と重心」で説明した。
重心周りの回転が変化しないのは、重心まわりの外力のモーメントの総和が０になることであり、この場合に限る。これについては、「1.2.3.5 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式」で説明した。
定理；剛体のつり合い
剛体に、外力$\vec{F^1},\vec{F_2},,,,\vec{F_n}$がはたらいている。
このとき、次の条件は同等である。
ⅰ）剛体は釣り合っている。
ⅱ）外力のベクトル和が零で、重心$G$まわりの外力のモーメントの和が零。
ⅲ）外力のベクトル和が零で、任意の固定点$P$まわりの外力のモーメントの和が零。
証明；条件ⅰ）とⅱ）が同等であることは、すでに、説明した。
条件ⅱ）とⅲ）の同等性を示そう。
外力の和が零であるという条件の下で、
「任意の固定点$P$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{P}$は常に等しい」
ことを示せば良い。
外力$\vec{F^i}$の作用点を$\vec {P_i}(i=1,2,\cdots n)$とする。
すると、
$P$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{P}$は
$\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (1)$
任意の点$Q$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{Q}$は
$\vec N_{Q}=\sum_{i=1}^{n}\vec{QP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (2)$
$\vec{PP_i}=\vec{PQ}+\vec{QP_i}$を（１）式に代入すると
$\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i}
=\sum_{i=1}^{n}(\vec{PQ}+\vec{QP_i})\times \vec{F^i}$
ベクトル積の性質から、
$=\sum_{i=1}^{n}(\vec{PQ}\times \vec{F^i}+\vec{QP_i}\times \vec{F^i})
=\vec{PQ}\times \sum_{i=1}^{n}\vec{F^i}+\sum_{i=1}^{n}\vec{QP_i}\times \vec{F^i}$
仮定と(2)式から、
$=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}$
故に、$\vec N_{P}=\vec N_{Q}$
証明終わり。
気体と液体の圧力
この節では気体や液体を、
分子や原子という粒子から構成されるという微視的立場でなく、
巨視的に捉え空間的に滑らかな連続体であるとみなす。
連続体の内部の微小部分に働く力を考え、其の釣合いについて考え、
圧力の性質を導く。
気体や液体とは何か。
気体と液体の特徴
気体と液体は体積の変化には抵抗するが、
形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する）。
但し、気体の体積変化への抵抗は小さく、液体は非常に大きい。
静止気体と液体の圧力
気体や液体は、その表面または内部に任意の面を考えると、その面で２分される部分は、
互いに他を押している。それらは大きさ・方向は等しく、逆向きである(作用反作用の法則)
単位面積当たりのこの力を応力とよぶ。
その発生は、重力の存在と前述の気体や液体の特徴(形の変化に抵抗しない)に起因する。
この力の性質を、気体・液体の特徴から導こう。
応力は面に垂直に働く
説明は便宜上、液体の語で述べる。
命題１：
静止した液体(気体)の表面あるいは内部に任意のなめらかな面(注参照)を考える。
この面上の応力は、常にこの面に直角に働く。
面と常に直角に働く応力を、圧力と呼ぶ。
(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。
理由；
もし、ある面上のある一点$P$の周辺の微小面部分(Ｓと書く)で、押し合う力がこの面と平行な成分を持つとする。
Ｓは仮定より、平面（の一部）と考えてよい。
図のように、面部分Ｓとそれと平行な平面の一部Ｓ’から作られる、
非常に薄い液体の板状部分Ｖを考える。
するとＶがＳを通して液体から受ける力の総和$\vec F_S$は、面Ｓと平行な成分をもつ。
面ＳとＳ’は、非常に近いので、
Ｓを挟んで押し合う力と、Ｓ’を挟んで押し合う力は、単位面積当たり、ほぼ等しいと考えてよい。
すると、ＶがＳ’を通して液体から受ける力$\vec F_{S'}$は、
Ｓを通して受ける力と大きさと方向はほぼ同じで、逆向きになる。
$\vec F_{S'}$の面Ｓと平行な成分も、$\vec F_S$のＳと平行な成分と大きさはおなじで、逆向きになる。
液体は自由に形を変えられるので、ＶのＳ面とＳ’面は逆方向に動いてしまい、
静水という条件に反してしまう。
従って、
「ある面上のある一点$P$の周辺の微小面部分Ｓで、押し合う力がこの面と平行な成分を持つ」
という仮定はあり得ないことが示された。
命題２
どの面にも直角に働く応力(圧力)は、どの点でも面の方向によらず一定の強さ(大きさ)をもつ。
証明；
液体中の任意の点を$O$とする。
$O$を原点とする、直交右手系$O-xyz$を定める。
$O$を通る任意の面$H$をとる。
$O$点における、
この面における圧力$p$とｘｙ平面における圧力$p_z$、ｙｚ平面、ｚｘ平面における圧力$p_x,p_y$
が等しいことを示そう。
平面$H$と平行で$O$点の近くを通る平面$H'$が
ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸と交わる点をそれぞれ、
$A(\alpha a,0,0),B(0,\alpha b,0),C(0,0,\alpha c)$とおく。図参照。
四面体$OABC$の外部の液体が、
$\triangle{OBC}$を押す力を$\vec F^x$,$\triangle{OCA}$を押す力を$\vec F^y$,$\triangle{OAB}$を押す力を$\vec F^z$,$\triangle{ACB}$を押す力を$\vec F$
とおく。
四面体内の液体が静止しているので、
$\vec F^x+\vec F^y +\vec F^z+\vec F=0 \qquad (1) $
が成り立つ。
この式を圧力で表示しよう。
$\lim_{\alpha \to 0}\frac{\|\vec F^x\|}{|\triangle{OBC}|}=p_x$なので、
$\alpha $が十分小さければ
$\|\vec F^x\|=|\triangle{OBC}| p_x=\frac{1}{2}|\alpha b \alpha c|p_x$
故に、$2\vec F^x=\vec{OB}\times \vec{OC}p_x=\alpha b \alpha c p_x\vec{e_x}$
同様に$2\vec F^y=\vec{OC}\times \vec{OA}p_y=\alpha c \alpha a p_y\vec{e_y}$、
$2vec F^z=\vec{OA}\times \vec{OB}p_z=\alpha a \alpha b p_z\vec{e_z}$
$2\vec F=\vec{AC}\times \vec{AB}p=p(-\alpha a,0,\alpha c)\times (-\alpha a,\alpha b,0)$
これらを(1)式に代入して
$p_x\vec{e_x}+p_y\vec{e_y}+p_z\vec{e_z}+\vec{AC}\times \vec{AB}p=0 \quad (2)$
これを計算すると、
$\left({\alpha}^{2}bc(p_x-p),{\alpha}^{2}ca(p_y-p),{\alpha}^{2}ab(p_z-p)\right)=0$
これより、$p=p_x=p_y=p_z$ 証明終わり。
命題３
ⅰ）一様な重力のもとで静止している気体・液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。
ⅱ）もし液体の密度$\rho$が圧力によって変化しないならば、
深さ$l_1$の水平面$H_1$上の圧力$p_1$と
深さ$l_2 \quad(l_2>l_1)$の水平面$H_2$上の圧力$p_2$には
次の関係が成り立つ。
$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$
図示した液体部分$V$が静止しているので、$V$に作用する力の総和が零になっている。
このことから、この命題は容易に証明できる。
命題４ アルキメデスの原理
気体の圧力と大気圧
気体は圧力が増すと縮むので、命題３のⅱ）の結論は成立しない。
大気は静止していると仮定し、地表の大気圧から高度ｚでの大気圧を求めてみよう。
地表の一点を原点とし、鉛直上方をｚ軸の正方向になる座標$O-xyz$をいれる。
図のように、下底面が高さ$z$、上底面が高さ$z+h$の、単位断面積の角柱$V$を考える。
その部分の気体が受ける力の和は零となるので、
次式が成り立つ。
$p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1)$
ここで
・$p(z)$は高さ$z$の地点の大気圧(命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）、
・$m$は$V$の質量。$V$の体積$h$と平均質量密度$\rho$の積。
圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。
空気体積の変動にともなう温度変化がないとすると、
ボイルの法則(３章１節 熱とエネルギー参照)から、
$p\frac{V}{m}=c$（$c$は温度だけに依存する数）
質量密度$\rho=\frac{m}{V}$を代入すると、
$\frac{p}{\rho}=c$,ゆえに、$\rho=\frac{p}{c}$
$\frac{1}{c}$を、$c$とおくと、
$\rho=cp \qquad \qquad (2)$
この質量密度と圧力の関係を用いると、
$m=h\rho \approx hcp(z)$（ｈが小さいほど差は少なくなる）
この式を(１)式に代入して、
$p(z+h)+cgp(z)h\approx p(z) $、変形すると
$\frac{p(z+h)-p(z)}{h} \approx -cgp(z) $。これより
$\frac{dp(z)}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{p(z+h)-p(z)}{h}= -cgp(z) $
を得る。これを積分して
$p(z)=p_{0}e^{-cgz}$
を得る。
ここで$p_{0}$は、地表での圧力、$e$はネイピア数である。
地表での質量密度が$\rho_{0}$ならば,(2)式から、
$c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$
圧力の単位
圧力は、単位面積当たりの力なので、その単位は面積の単位$m^2$と力の単位$N$から得られる。
$Pa=N/m^2=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$
が圧力の単位で、パスカルと呼ばれる。
