数学・解析/積分

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2011年8月26日 (金) 08:42時点における版

数学・解析積分

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解説

不定積分

関数 F(x) を微分した関数(導関数)が f(x) のとき、F(x)f(x) の不定積分または原始関数といい、

F(x) = \int f(x) dx

と表します。f(x)x の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。

f(x) = x^a のとき、

\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)

となります。C は定数で、積分定数といいます。

積分(定積分)

f(x) の不定積分を F(x) で表すとき、

\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)

となり、これを与えられた区間 [a,b] の上での積分と言います。

区分求積法

リーマン和

f(x) の区間 [a,b] の上での積分

\int_{a}^{b}f(t)dt

は、右図の面積 S を表します。

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