数学・解析/積分

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=== 不定積分 ===
=== 不定積分 ===
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関数 <tex>F(x)</tex> を微分した関数(導関数)が <tex>f(x)</tex> のとき、<tex>F(x)</tex> <tex>f(x)</tex> の不定積分または原始関数といい、
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関数 $F(x)$ を微分した関数(導関数)が $f(x)$ のとき、$F(x)$ $f(x)$ の不定積分または原始関数といい、
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:<tex>F(x) = \int f(x) dx</tex>
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$$F(x) = \int f(x) dx$$
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と表します。<tex>f(x)</tex> ''x'' の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。
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と表します。$f(x)$ $x$ の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。
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<tex>f(x) = x^a</tex> のとき、
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$f(x) = x^a$ のとき、
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:<tex>\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)</tex>
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$$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)$$
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となります。''C'' は定数で、積分定数といいます。
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となります。$C$' は定数で、積分定数といいます。
=== 積分(定積分)===
=== 積分(定積分)===
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<tex>f(x)</tex> の不定積分を <tex>F(x)</tex> で表すとき、
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$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ で表すとき、
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:<tex>\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)</tex>     
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$$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$$
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となり、これを与えられた区間 <tex>[a,b]</tex> の上での積分と言います。
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となり、これを与えられた区間 $[a,b]$ の上での積分と言います。
=== 区分求積法 ===
=== 区分求積法 ===
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[[File:Integral.png|thumb|リーマン和]]
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$f(x)$ の区間 $[a,b]$ の上での積分
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$$\int_{a}^{b}f(t)dt$$
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は、右図の面積 $S$ を表します。
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:<tex>\int_{a}^{b}f(t)dt</tex>
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は、右図の面積 ''S'' を表します。
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== CAIテスト  ==
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2012年8月10日 (金) 06:33 時点における最新版

数学・解析積分

目次

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解説

不定積分

関数 $F(x)$ を微分した関数(導関数)が $f(x)$ のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分または原始関数といい、 $$F(x) = \int f(x) dx$$ と表します。$f(x)$ が $x$ の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。

$f(x) = x^a$ のとき、 $$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)$$ となります。$C$' は定数で、積分定数といいます。

積分(定積分)

$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ で表すとき、 $$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$$ となり、これを与えられた区間 $[a,b]$ の上での積分と言います。

区分求積法

$f(x)$ の区間 $[a,b]$ の上での積分 $$\int_{a}^{b}f(t)dt$$ は、右図の面積 $S$ を表します。

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