物理/光と光波への補足

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(☆☆「4.3 光と光波」への補足)
(☆☆「4.3 光と光波」への補足)
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$\frac{1}{s_1}+\frac{n}{s_2}=\frac{n-1}{r}\qquad \qquad (a)$<br/>
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ここで、$n:=\frac{c_1}{c_2}$ とする。<br/>
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(2)光源からの近軸光線が、レンズ内の軸上の点 $L_1$ に向かう場合には、<br/>
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(2)光源からの近軸光線が、レンズ内(レンズ面の正側)の軸上の点 $L_1$ に向かう場合には、<br/>
$L_1$ とレンズ面との距離に負の符号をつけたものを、 $s_1$ とおけば、<br/>
$L_1$ とレンズ面との距離に負の符号をつけたものを、 $s_1$ とおけば、<br/>
式(a) が成り立つ。<br/><br/>
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=== 一般の球面単レンズ  ===
=== 一般の球面単レンズ  ===
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レンズの左側の面(光源側の面)に、命題1を適用すると、
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点光源からの近軸光線の束がレンズ左面で屈折後、光軸上のどの点に向かう光線束になるかが分かる。
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すると、レンズの右面による屈折で、光軸上のどの点に向かうかは、
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再度命題1の後半の命題を適用すると求まる。
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こうして、球面単レンズの基本公式が得られる。
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(1)光軸上の点光源から出た、光軸に近いあらゆる光線(近軸光線)は、<br/> 
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(球面)レンズで屈折し、レンズの光軸のある点に、ほぼ集まり、像を作るか、発散して虚像を作る。<br/>
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光源とそれぞれの光線のレンズ面までの距離を $s_1$ 、<br/>
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レンズ面から像までの距離 $s_2$ との間には、<br/> 
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$\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{f} \qquad \qquad (13)$<br/> 
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という関係が成立つ。<br/> 
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$\quad$ ここでfはレンズの焦点距離という(注参照のこと)。<br/>
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(2)レンズの焦点距離fは、<br/>
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レンズの屈折率n(=空中の光速/レンズ中の光速)、<br/>
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レンズの左面(光源に面した面)の曲率半径 $r_1$と<br/>
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レンズの右面(光源と反対側の面)の曲率半径 $r_2$ を用いて<br/>
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$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\qquad \qquad (14)$ <br/>
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で表せる。<br/> <br/> 
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=== 組合わせレンズ ===
=== 組合わせレンズ ===

2016年8月19日 (金) 02:11時点における版

目次

☆☆「4.3 光と光波」への補足

この節では、テキスト「4.3 光と光波」で、省略した2つの事柄について説明する。

一般の場合における光の反射と屈折時の位相変化 

 レンズの公式の証明

単レンズは屈折面を二つ持ち複雑なので、
  最初に屈折面が一つの球面であるレンズから解析する。
 
なお、「4.3 光と光波」で説明したように、今後の解析においては、次の4つの約束事を仮定する。
(1)レンズの軸を水平になるように書く(x軸にとる)。
(2)物体(光源)とレンズ面との距離 $s_1$ は、物体がレンズの左側にある時、正とする。
(3)像のレンズとの距離 $s_2$ は、像がレンズの右側(光線の進行方向)にあるとき、正とする。
負のときは、レンズの左側、光源のある側に見える虚像を表す。
(4)球の表面の曲率半径 r とは、球の半径Rに正負の符号をつけたもの。
 球の中心が表面の右側にある時、正に定め(r=R)、
 球の中心が表面の左側にある時、負に定める(r= - R)。

球面が一つの特殊レンズ

一枚の屈折面(レンズ面)を持ち、その片側に光源があり、他方の側はレンズである、
  これを、もう一枚組合わせれば、通常の単レンズになるので、
  もっとも単純な構成のレンズと考えられる。
  図参照。
 

ファイル:GENPHY00010405-01.jpg
図 屈折面が一つの球面レンズ

 

レンズ面の球の中心をC、半径をRとし、
レンズの軸と屈折面との交点をO'とする。
さらに光源側の媒質1での光速を $c_1$ ,レンズ内の媒質2の光速を、 $c_2$ とする。
命題1
  (1)光源とレンズ面との距離 $s_1$ と、
近軸光線による光源の像とレンズ面の距離 $s_2$ の間には,
次の関係がある。
$\frac{1}{s_1}+\frac{n}{s_2}=\frac{n-1}{r}\qquad \qquad (a)$
ここで、$n:=\frac{c_1}{c_2}$ とする。
(2)光源からの近軸光線が、レンズ内(レンズ面の正側)の軸上の点 $L_1$ に向かう場合には、
$L_1$ とレンズ面との距離に負の符号をつけたものを、 $s_1$ とおけば、
式(a) が成り立つ。

証明


一般の球面単レンズ

レンズの左側の面(光源側の面)に、命題1を適用すると、 点光源からの近軸光線の束がレンズ左面で屈折後、光軸上のどの点に向かう光線束になるかが分かる。 すると、レンズの右面による屈折で、光軸上のどの点に向かうかは、 再度命題1の後半の命題を適用すると求まる。 こうして、球面単レンズの基本公式が得られる。 命題2(球面単レンズの基本公式)
  (1)光軸上の点光源から出た、光軸に近いあらゆる光線(近軸光線)は、
  (球面)レンズで屈折し、レンズの光軸のある点に、ほぼ集まり、像を作るか、発散して虚像を作る。
光源とそれぞれの光線のレンズ面までの距離を $s_1$ 、
レンズ面から像までの距離 $s_2$ との間には、
  $\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{f} \qquad \qquad (13)$
  という関係が成立つ。
  $\quad$ ここでfはレンズの焦点距離という(注参照のこと)。
(2)レンズの焦点距離fは、
レンズの屈折率n(=空中の光速/レンズ中の光速)、
レンズの左面(光源に面した面)の曲率半径 $r_1$と
レンズの右面(光源と反対側の面)の曲率半径 $r_2$ を用いて
$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\qquad \qquad (14)$ 
で表せる。
 
 

 組合わせレンズ

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