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2018年6月23日 (土) 05:50時点における版

　☆☆惑星の運動(2)

2.3節の惑星運動の項では、
惑星の軌道を円と仮定すると、
運動の第１、第2法則のもとでは、
ケプラーの法則と万有引力の法則が同等であることを示した。
この節では軌道について仮定せず、
運動の第１、第2法則のもとで、
万有引力の法則と惑星に関するケプラーの3法則が同等であることを導く。

　惑星の運動方程式

他の惑星の影響を無視して、太陽と一つの惑星の二体からなる系を考える。
太陽の質量を$M$、惑星の質量を$m$とする。
この二体を、ともに質点であるとみなし、位置はそれぞれの重心とする。
この系には、系外から力が作用しないため、任意の慣性系から観測すると（注１参照）、
系の重心は等速直線運動をする。
ところが、太陽の質量は惑星の質量より圧倒的大きいため二体の重心は太陽の重心とほぼ一致し、
太陽重心は慣性系からみると等速直線運動しているとみなしてよい。

• ウィキペディア(大きさ順の太陽系天体の一覧)

（注１）慣性系の存在はニュートン力学（古典力学）の大前提であり、運動法則の第一法則としてまとめられている。
慣性系からみた質点系の運動は、テキストの2.3　で、その導入部分を説明している。
（注２）他の惑星の影響を無視し、太陽と当該惑星の2体を質点とみなしても、
他の惑星からの影響の少ない地球などの惑星の運動は、かなり正確に予測できることが知られている。
正確にするには二体ではなく他の惑星も考慮した多体問題として論じなければならないが、解析は非常に難しくなる。

そこで太陽$S$を原点$O$とする慣性座標系を考える。
任意の時刻$\ t\ $の惑星$P_t$の位置ベクトル$\vec{OP_t}$を$\vec{r}(t)$とかく。
惑星が太陽からうける力（万有引力の法則を仮定しないと未知）を仮に$\vec f$と書くと、
惑星の運動は、ニュートンの第2法則から次の微分方程式で形式的には記述されが、
力が未知なので、この方程式は解を持ち得ない。
$\ M\frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}(t)=\vec{f} $

　運動の第１、第２法則と万有引力の法則からケプラーの3法則を導く　

　惑星の運動方程式

万有引力を仮定すると、位置$\vec{r}$にある惑星に働く力$\vec f$は、
$\vec f = -\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|}$
となるので、惑星の運動方程式は次式で与えられる。
$\ M\frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}(t)=-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|} $
両辺をMで除すると
$\ \frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}(t)=-\frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|} \qquad \qquad (1)$
ここで、式（１）の右辺中の$G$は万有引力定数である。
式（１）を満たす（ベクトル値)関数$\vec{r}$を求めることを、微分方程式（１）を解くという。
なお、ある時刻$t_0$（以後、初期時刻と呼ぶ)の位置ベクトルと速度ベクトルが指定されたベクトルになるような
微分方程式の解を求めなければならないこともある。
指定された位置ベクトルを$\vec{r}_0$、速度ベクトルを$\vec{v}_0$と書くと、
速度ベクトル$\vec{v}(t)$は
$\vec{v}(t)=\frac{d \vec{r}}{dt}(t)$なので、
これ等の条件（初期条件と呼ぶ）は次のように表せる。
$\vec{r}(t_0)=\vec{r}_0、\quad \frac{d \vec r}{dt}(t_0)=\vec{v}_0 \qquad \qquad (2)$
初期条件をみたす微分方程式の解を求める問題を微分方程式の初期値問題と呼ぶ。

　惑星は平面上を運動する

不動の太陽の位置$O$,時刻ｔの惑星の位置$P(t_0)$と$P(t_0)$を始点とした初速ベクトル$\vec{v}_0$を含む
平面$H$を考える。

この平面と直交する一つのベクトル$\vec h$を考え、
式（１）の両辺の左側からベクトル積として作用させる。
$\ \vec h \times \Bigl(M\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ \vec h \times \Bigl(-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|}\Bigr) \qquad \qquad (3)$
ベクトル積の性質から
　 左辺は
$\ \vec h \times \Bigl(M\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ M\vec h \times \Bigl(\frac{d \vec{v}}{dt}(t)\Bigr)=\ M\vec h \times \Bigl(\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr)$
$=\ M\Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr)$(注1をみよ）
右辺は
$\ \vec h \times \Bigl(-\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|}\Bigr) = -\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t)$
なので、 $\ M\Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{GMm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t) $
が得られる。
故に
$\ \Bigl(\frac{d^2 \vec h \times\vec{r}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec h \times \vec{r}(t)\qquad \qquad (4)$

$\vec h$をベクトル積として初期条件に作用させると
$\vec h \times \vec{r}(t_0) = \vec h \times \vec{r_0}=0, \frac{d \vec h \times \vec{r}}{dt}(t_0) =\vec h \times \frac{d\vec{r}}{dt}(t_0) =\vec h \times \vec{v_0} = 0$
故に、
$\vec h \times \vec{r}(t_0) = 0, \frac{d \vec h \times \vec{r}}{dt}(t_0) = 0\qquad \qquad　(5)$
tの関数$\vec{x}\triangleq \vec h \times \vec{r}$を考えると、
式(4),(5)は
　 $\ \Bigl(\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}(t)\Bigr) = -\frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}\vec{x}(t)\qquad \qquad (4')$
$\vec{x}(t_0) = 0,\quad \frac{d \vec{x}}{dt}(t_0) = 0\qquad \qquad \qquad　(5')$
常微分方程式(4')を初期条件(5')のもとで解くと、
$\vec{x}\triangleq \vec h \times \vec{r}\equiv　0$
が得られる。(注２参照)
これよりベクトル$\vec{r}(t)$は,常にベクトル$\vec{h}$と直交し、 平面H上にあることが証明された。

（注１）

（注２）

　惑星の角運動量は保存される

式（１）の両辺に、左側から$\vec{r}(t)$をベクトル積として作用させると、
$\vec{r}(t)\times \ \frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}(t)=-\vec{r}(t)\times \frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|} \qquad \qquad (a)$
ここで、ベクトル積の性質から
$\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\vec{r}\times \frac{d \vec r}{dt}\Bigr)=\frac{d \vec r}{dt}\times \frac{d \vec{r}}{dt}+\vec{r}\times \ \frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2} $
$\quad =\vec{r}\times \ \frac{d^{2} \vec{r}}{dt^2}$
$\quad$また右辺は
$\quad -\vec{r}(t)\times \frac{Gm}{\|\vec{r}(t)\|^{2}}\frac{\vec{r}(t)}{\|\vec{r}(t)\|} = 0$(注参照)
なので、式(a)は、
$\frac{d}{dt}\Bigl(\vec{r}\times \frac{d \vec r}{dt}\Bigr)=0$
となる。
（注）万有引力でなく、惑星に作用する力の向きが原点向きであるか、それと逆向きという条件だけで良い。

$\frac{d \vec r}{dt}=\vec v$（速度ベクトル）なので、上式は
$\frac{d}{dt}\Bigl(\vec{r}\times \vec v \Bigr)=0\qquad \qquad (b)$
あるいは、惑星の運動量$\vec p=m\vec v$を用いて
$\frac{d}{dt}\Bigl(\vec{r}\times \vec p \Bigr)=0\qquad \qquad (c)$
となる。この2式から、
$\vec{r}\times \vec v $　と$\vec{r}\times \vec p $
は、ともに時不変（時間が経過しても一定値）であることが分かる。
定義（角運動量）
$\vec{r}\times \vec p $を、（原点からみた）惑星の角運動量という。

角運動量の保存法則
求心力、ないし遠心力（力の向きが原点向きか、その逆向き）だけを受けて
運動する質点の角運動量は保存される。

　ケプラーの第２法則の導出

第2法則（面積速度一定の法則）、
「惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積（面積速度）は、一定である」
を導出しよう。
すでに運動の三つの法則(第１、第2法則と万有引力の法則）から、
惑星は、太陽重心を通るある平面上を、角運動量が保存されるように、運動することが証明された。
面積速度の概念を分析すれば、以上の結果から、面積速度一定が容易に導ける。

　面積速度について

　ケプラーの第２法則の導出

　ケプラーの第１法則の導出

　惑星運動の微分方程式の極座標表示　　

　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　

　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　

　ケプラーの第３法則の導出

　運動の第2法則とケプラーの3法則から万有引力の法則を導く