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| - | ==リーマン積分と可積分条件==
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| - | この節は、区間上で定義された関数のリーマン積分の初歩を述べる。<br/>
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| - | 具体的には、リーマン積分の定義とリーマン積分が存在する（可積分）条件<br/>
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| - | について、数学的厳密性を保つように記述する。<br/>
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| - | 参考記事
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| - | *[[Wikipedia_ja:リーマン積分 |ウィキペディア(リーマン積分)]]
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| - | ===区間上の関数のリーマン和===
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| - | 区間$V=[a,b]$で定義され、実数に値をとる関数$y=f(x)$を考える。<br/>
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| - | この区間の分割<br/>
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| - | $\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\},x_0=a,x_n=b$<br/>
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| - | と、その代表点$\xi_i\in V_i(i=1,2,,,n)$に関する、$y=f(x)$のリーマン和とは、<br/>
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| - | $I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=$<br/>
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| - | $\sum_i f(\xi_i)v(V_i)=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ <br/>
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| - | で定義する。<br/>
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| - | ====リーマン和の意味 ====
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| - | リーマン和は、<br/>
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| - | $y=f(x)$のグラフを、棒グラフで近似したときの<br/>
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| - | 棒グラフの作る面積(各角柱の面積和)であることが分かる。図参照。<br/>
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| - | $y=f(x)$のグラフとｘ軸、および２直線$x=a$、$x=b$で囲まれる部分の面積を近似している。<br/>
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| - | ===リーマン可積分===
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| - | ====リーマン可積分とリーマン積分の定義====
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| - | 分割を細かくしていくとき、<br/>
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| - | 分割の仕方や代表点の選び方に関係なく<br/>
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| - | リーマン和がある一定値に収束するとする。<br/>
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| - | すると、この値は<br/>
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| - | $y=f(x)$のグラフとｘ軸、および２直線$x=a$、$x=b$で囲まれる部分の面積<br/>
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| - | と考えられる。<br/>
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| - | 定義；<br/>
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| - | $\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,n\}$の大きさ$d(\Delta)$とは、<br/>
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| - | この分割で得られた小区間の長さの、最大値で定義する。<br/>
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| - | 記号で書くと<br/>
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| - | $d(\Delta)=max\{x_{i}-x_{i-1} \mid i=1,2,,,n\}$<br/>
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| - | 定義；リーマン可積分とリーマン積分<br/>
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| - | $f$を、有界閉区間$V$上で定義され、実数の値をとる関数とする。<br/>
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| - | もし、ある実数$I$が存在して、<br/>
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| - | どんな分割$\Delta=\{V_i=[x_{i-1},x_i] \mid i=1,2,,,,n\} $と<br/>
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| - | 代表点$\xi_i\in V_i(i=1,2,\cdots ,n)$であっても、<br/>
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| - | $\lim_{d(\Delta) \to 0}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=I$<br/>
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| - | が成り立つ時、<br/>
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| - | $f$は$V$上で(リーマン)可積分であるという。<br/>
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| - | このとき、$I$ を$f$の$V$上での(リーマン)積分といい、<br/>
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| - | $I=\int_{V}f=\int_{V} f(x)dx$<br/>
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| - | などと書く。<br/>
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| - | ==== リーマン積分の命題 ====
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| - | 命題１ 線形性<br/>
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| - | 命題２ 積分の単調性<br/>
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| - | 命題３ 平均値定理<br/>
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| - | 命題４ 三角不等式<br/>
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| - | 命題５ 積分区間に関する加法性<br/>
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| - | ====リーマン和の不足リーマン和と過剰リーマン和による評価====
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| - | リーマン和を、代表点の選び方を変えて求めるとその値は変化する。<br/>
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| - | そこで、その最小値と最大値を求め、差を計算する。<br/>
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| - | もしこの差が分割を細かくしていくと零に収束するならば、可積分となろう。<br/>
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| - | 以下、この方針で議論を進める。<br/>
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| - | $V$を分割して得られた小区間$V_i=[x_{i-1},x_i]$を考える。<br/>
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| - | 関数$y=f(x)$をこの小区間上に限定した時、<br/>
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| - | 関数は、この区間上の点で最大値と最小値をとると仮定する(注参照)。<br/>
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| - | 関数の最大値$max\{f(x)\mid x\in V_i\}$と最小値$min\{f(x)\mid x\in V_i\}$を、
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| - | <br/>
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| - | それぞれ、$m(f;V_i),M(f;V_i)$と書く。<br/>
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| - | (注) 区間上で最大値、最小値を取らない関数では、<br/>
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| - | [[wikipedia_ja:有界函数 |有界な関数]]でありさえすれば、最大値、最小値と殆ど同じ命題をもち、常に存在する<br/>
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| - | 上限、下限に置き換えれば以後の、議論は成り立つ。<br/>
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| - | 上限、下限については「不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限」で説明する。<br/><br/>
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| - | すると、$V_i$の任意の点$\xi$ に対して、<br/>
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| - | $m(f;V_i)\leq f(\xi) \leq M(f;V_i)$ <br/>
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| - | 故に、<br/>
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| - | '''補題１'''<br/>
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| - | ⅰ）どのような代表点$\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)$に対しても<br/>
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| - | $I_{m}(f,\Delta):=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^m,,,\xi_{n}^m)
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| - | =\sum_i m(f;V_i)v(V_i)$<br/>
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| - | $\leq
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| - | I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\sum_i f(\xi_i)v(V_i)$<br/>
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| - | $\leq
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| - | \sum_i M(f;V_i)v(V_i)
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| - | =I_{M}(f,\Delta)=I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M) \qquad (1)$ <br/>
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| - | そこで、$I_{m}(f,\Delta)$を'''$\Delta)$に関する$f$の'''不足リーマン和'''、$I_{M}(\Delta)$を'''過剰リーマン和'''と呼ぶ。<br/>
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| - | ⅱ）$I_{m}(f,\Delta)=\min_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M)$ <br/>
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| - | $I_{M}(f,\Delta)=\max_{\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n}I^{f,\Delta}(\xi_{1}^M,,,\xi_{n}^M)$ <br/>
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| - | 証明は明らかなので省略。<br/>
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| - | ====分割の細分とリーマン和の評価式====
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| - | '''定義；分割の細分'''<br/>
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| - | $V$の分割${\Delta}'$が分割$\Delta$の細分というのは、<br/>
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| - | $\Delta$の分点の集合$\{x_0,x_1,,,,x_n\}$が、<br/>
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| - | ${\Delta}'$の分点の集合$\{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}$に真に含まれることと定義する。<br/>
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| - | 記号でかけば、$\{x_0,x_1,,,,x_n\}\subset \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\},
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| - | \{x_0,x_1,,,,x_n\}\neq \{x'_0,x'_1,,,,x'_{n'}\}$。<br/>
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| - | 記号では、$\Delta \leq {\Delta}'$と記す。<br/><br/>
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| - | '''補題２'''<br/>
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| - | $\Delta \leq {\Delta}'$という分割に対し、<br/>
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| - | $I_{m}(f,\Delta)
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| - | \leq I_{m}(f,\Delta')
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| - | \leq I_{M}(f,\Delta')
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| - | \leq I_{M}(f,\Delta) \qquad (2)$
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| - | <br/>
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| - | が成り立つ。 <br/>
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| - | （証明）<br/>
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| - | $\Delta$の小区間$V_i=[x_{i-1},x_i]$が分割${\Delta}'$では、<br/>
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| - | $\{V'_j=[x_{i-1},x'_j],V'_{j+1}=[x'_j,x_i]\}$の２つに分割されたとする。<br/><br/>
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| - | すると、区間上の関数の最大値と最小値の定義から、<br/>
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| - | $m(f;V_i) \leq m(f;V'_j)$ $\quad m(f;V_i) \leq m(f;V'_{j+1})$<br/>
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| - | $M(f;V_i) \geq M(f;V'_j)$ $\quad M(f;V_i) \geq M(f;V'_{j+1})$<br/>
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| - | これらから、命題は成立することが分かる。<br/><br/>
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| - | ====不足リーマン和の上限と過剰リーマン和の下限====
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| - | 補題２から、分割の細分を繰り返していくと、その分割に対応する、<br/>
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| - | 不足リーマン和は、広義増加(増加するか、同じ値にとどまる）し、<br/>
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| - | 過剰リーマン和は、広義減少する。<br/>
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| - | 分割を細かくしていったとき、これらの極限が一致すれば、補題１から、<br/>
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| - | リーマン和の極限値は、代表点に無関係に、定まることになる。<br/>
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| - | そこで色々な分割に対応する不足リーマン和のなかの最大値と<br/>
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| - | 過剰リーマン和の最小値を求めることが、重要になる。<br/>
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| - | しかし一般にはこれらは存在しないことが示せる。<br/>
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| - | そこで最大値に近い命題を持つ上限と最小値に近い下限という概念を利用する。<br/>
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| - | ==== ２つの分割の共通の細分 ====
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| - | 分割$\Delta$の分点の集合$\{x_j \mid j=1,2,,,m\}$と、<br/>
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| - | 分割${\Delta}'$ の分点の集合$\{x'_j \mid j=1,2,,,n\}$の<br/>
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| - | 和集合$\{x_j \mid j=1,2,,,m\} \cup \{x'_j \mid j=1,2,,,n\}$を分点とする分割を$\Delta \vee {\Delta}'$と書く。<br/>
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| - | すると新しい分割は<br/>
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| - | $\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}' \qquad $ と
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| - | ${\Delta}' \leq \Delta\vee {\Delta}' \quad $<br/>
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| - | を満たす。<br/>
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| - | これを用いると、<br/>
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| - | 不足リーマン和の上限$\mathscr{s}(f)$と<br/>
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| - | 過剰リーマン和の下限$\mathscr{S}(f)$が存在することが証明できる。<br/>
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| - | 補題５<br/>
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| - | $f$を区間$V=[a,b]$で定義され実数値をとる有界関数<br/>
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| - | すなわち、$\{f(x)\mid x\in V\}$が${\bf R}$の有界部分集合となる関数とする。<br/>
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| - | $V=[a,b]$の分割を全て集めて作った集合を$\mathscr{D}(V)$と書く。<br/>
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| - | すると、<br/>
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| - | ⅰ）任意の$\Delta,{\Delta}'\in \mathscr{D}(V)$に対して、<br/>
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| - | $I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')$<br/>
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| - | ⅱ）集合$\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は上に有界、<br/>
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| - | 集合$\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は下に有界<br/>
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| - | ⅲ）$\mathscr{s}(f):=\sup\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$と
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| - | <br/>
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| - | $\mathscr{S}(f):=\inf\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は存在し、<br/>
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| - | $\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f)$ <br/>
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| - | 証明；<br/>
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| - | ⅰ）$\Delta \leq \Delta\vee {\Delta}'$ なので、補題２から、<br/>
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| - | $I_m(f,\Delta)
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| - | \leq I_m(f,\Delta\vee {\Delta}')
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| - | \leq I_M(f,\Delta\vee {\Delta}')
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| - | \leq I_M(f,{\Delta}') $<br/>
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| - | ⅱ）１）で証明した不等式で、分割${\Delta}'$ は固定する。<br/>
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| - | すると全ての分割 $\Delta$に対して、$I_m(f,\Delta) \leq I_M(f,{\Delta)}')$なので<br/>
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| - | 集合$\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は、上界$I_M(f,{\Delta)}')$を持ち、上に有界である。<br/>
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| - | 後者も同様にして下に有界であることが示せる。<br/>
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| - | ⅲ）従って、実数の連続性の公理から、<br/>
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| - | 集合$\{I_m(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は上限$\mathscr{s}(f)$をもち、<br/>
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| - | 集合$\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$は下限$\mathscr{S}(f)$をもつ。<br/>
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| - | 上限は、上界の中の最小値なので、<br/>
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| - | $\mathscr{s}(f)\leq I_M(f,{\Delta}')$<br/>
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| - | この式は任意の${\Delta}'$について成立するので、<br/>
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| - | $\mathscr{s}(f)$は、集合$\{I_M(f,\Delta) \mid \Delta \in \mathscr{D}(V)\}$の下界である。<br/>
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| - | 下限$\mathscr{S}(f)$は、下界のなかの最大値なので$\mathscr{s}(f) \leq \mathscr{S}(f)$を得る。<br/>
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| - | ====分割を細かくしていくときの不足リーマン和と、過剰リーマン和の極限====
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| - | 定理（ダルブー；Darboux）<br/>
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| - | $V=[a,b]$<br/>
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| - | $f$を、$V$で定義され、実数に値を取る有界関数とする。<br/>
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| - | このとき、<br/>
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| - | ⅰ）$\lim_{d(\Delta) \to 0}I_m(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)$<br/>
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| - | ⅱ）$\lim_{d(\Delta) \to 0}I_M(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)$<br/>
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| - | 証明；<br/>
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| - | ⅰ）を示す。（ ⅱ）は同じようにして証明できるので略す）<br/>
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| - | これを示すには、<br/>
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| - | どんなに小さい正の実数$\epsilon$に対しても、それに応じた小さい正の実数$\delta_{\epsilon}$を適切に選べば、<br/>
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| - | 分割の大きさが$\delta_{\epsilon}$より小さい、どんな分割$\Delta$も、<br/>
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| - | $\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)<\epsilon$<br/>
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| - | であることを示せばよい。<br/>
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| - | 以下に、数段階に分けて、これを証明する。<br/>
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| - | $\quad １)<br/>
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| - | $上限の命題(補題３)から、<br/>
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| - | ある分割<br/>
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| - | $D=\{{V^D}_i=[{x^D}_{i-1},{x^D}_i] \mid i=1,2,,,n\}in \mathscr{D}(V)$<br/>
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| - | が存在して、<br/>
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| - | $\mathscr{s}(f)-I_m(f,D)<\frac{\epsilon}{2} \qquad (1)$<br/>
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| - | 今後この$D$を使って、証明を進める。<br/>
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| - |
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| - | $\quad 2)$<br/>
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| - | 分割$D$の小区間${V^D}_i$の長さ$({x^D}_i-{x^D}_{i-1})(i=1,2,,,n)$の
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| - | 最小値を$e$とおくと<br/>
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| - | $e=min_{i=1}^{n}({x^D}_i-{x^D}_{i-1})$ <br/>
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| - | $e$に比べて非常に小さい大きさを持つ分割、<br/>
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| - | $\Delta=\{V^{\Delta}_i=[{x^{\Delta}}_{i-1},{x^{\Delta}}_i] \mid i=1,2,,,N\}$、
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| - | <br/>
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| - | $d(\Delta)=max_{i=1,2,,,N}({x^{\Delta}}_i-{x^{\Delta}}_{i-1}) \ll e$<br/>
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| - | <br/>
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| - | を考える。<br/>
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| - | もし、$D \leq \Delta$ならば補題２より、<br/>
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| - | $I_m(f,D) \leq I_m(f,\Delta)$、<br/>
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| - | すると$\mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)\leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D) \leq
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| - | \frac{\epsilon}{2}\leq \epsilon$ <br/>
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| - | 通常、分割$\Delta$は、$D$の細分になっていない。<br/>
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| - | この場合は、高々(n-1)個の$\Delta$の小区間が、$D$の小区間には含まれず、<br/>
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| - | $D$の分点${x^D}_i(i=1,2,,,n-1)$をまたぐことになる。図参照のこと。<br/>
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| - | 議論を簡単にするため、<br/>
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| - | $D$の分点${x^D}_i(i=1,2,,,n-1)$が全て、$\Delta$の小区間によって跨がれている<br/>と仮定し、議論を進める。<br/>
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| - | 他のケースでも、証明はおなじようにできるので、<br/>
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| - | このように仮定しても何の問題も起こらない。<br/>
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| - | $D$の分点${x^D}_i$を跨ぐ$\Delta$の小区間を$V^{\Delta}_{m_i}$とする(i=1,2,,,n-1)。<br/>
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| - | $\quad 3)$ <br/>
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| - | ２つの分割$D、\Delta$から${\Delta}':=D \vee \Delta$を作る。<br/>
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| - | すると<br/>
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| - | ${\Delta}'=\{V^{\Delta}_1,V^{\Delta}_2,,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{1}-1},$<br/>
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| - | $\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{1}-1},x^{D}_1],[x^{D}_1,x^{\Delta}_{m_{1}}],$<br/>
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| - | $\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{1}+1},V^{\Delta}_{m_{1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_{m_{2}-1},$<br/>
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| - | $\qquad \quad [x^{\Delta}_{m_{2}-1},x^{D}_2],[x^{D}_2,x^{\Delta}_{m_{2}}],$<br/>
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| - | $\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{2}+1},V^{\Delta}_{m_{2}+2},,,V^{\Delta}_{m_{3}-1},$<br/><br/>
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| - | $\qquad \quad ,,,,,,,,,$<br/><br/>
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| - | $\qquad \quad V^{\Delta}_{m_{n-1}+1},V^{\Delta}_{m_{n-1}+2},,,,,,,,,V^{\Delta}_N\} \qquad (2)$<br/>
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| - | と書ける。<br/>
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| - |
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| - | $\Delta \leq {\Delta}'$で、 $D \leq {\Delta}'$ なので、<br/>
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| - | $I_m(f,\Delta) \leq I_m(f,{\Delta}')$, $\quad I_m(f,D) \leq I_m(f,{\Delta}')$<br/>
| |
| - | 後者の式から、<br/>
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| - | $0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}') \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,D)$<br/>
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| - | この式と(1)式から、<br/>
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| - | $0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')<\frac{\epsilon}{2}$<br/>
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| - | そこで、<br/>
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| - | 「$d(\Delta) \to 0 $ならば、$I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)<\frac{\epsilon}{2}$
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| - | <br/>
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| - | が示せれば、<br/>
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| - | $0 \leq \mathscr{s}(f)-I_m(f,\Delta)$<br/>
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| - | $=(\mathscr{s}(f)-I_m(f,{\Delta}')+(I_m(f,{\Delta}'-I_m(f,\Delta)\leq \epsilon$<br/>
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| - | が示され、証明が終わる。<br/>
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| - | $\quad 4)$ <br/>
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| - | $I_{m}(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{N} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)$
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| - | であり、<br/>
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| - | （２）式から、<br/>
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| - | $I_m(f,{\Delta}')$<br/>
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| - | $=\sum_{i\notin \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)$<br/>
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| - | $+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])$<br/>
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| - | $+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])$<br/>
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| - | なので、<br/>
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| - | $I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)$<br/>
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| - | $=\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])$<br/>
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| - | $+\sum_{k=1}^{n-1} m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])$<br/>
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| - | $-\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} m(f;V^{\Delta}_i)v(V^{\Delta}_i)$<br/>
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| - | 関数は$V$上で有界なので、適切に正の実数$M$を選ぶと、$x$が$V$の要素ならば<br/>
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| - | $|f(x)|\leq M$が成立する。<br/>
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| - | すると$|m(f;[x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])|, |m(f;[x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])|
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| - | \leq M$<br/>
| |
| - | が成り立つ。また<br/>
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| - | $v(V^{\Delta}_{m_k})
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| - | =v([x^{\Delta}_{m_{k}-1},x^{D}_k])+v([x^{D}_k,x^{\Delta}_{m_{k}}])$で、<br/>
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| - | $v(V^{\Delta}_i)\leq d(\Delta) $<br/>
| |
| - | なので<br/>
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| - | $|I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq 2M\sum_{i\in \{m_1,m_2,,,,m_{n-1}\}} v(V^{\Delta}_i)\leq 2M(n-1)d(\Delta)$<br/>
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| - | そこで、<br/>
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| - | $\delta_{\epsilon}=\frac{\epsilon}{4Mn}$
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| - | と選べば、<br/>
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| - | $d(\Delta)\leq \delta_{\epsilon}$をみたすどのような分割$\Delta$も、<br/>
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| - | $0\leq I_m(f,{\Delta}')-I_m(f,\Delta)|\leq \frac{\epsilon}{2}$<br/>
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| - | を満たすことが証明できた。証明終わり。<br/>
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| - |
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| - | ====可積分条件====
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| - | 定理；可積分条件 <br/>
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| - | $V=[a,b]$<br/>
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| - | $f$を、$V$で定義され、実数に値を取る有界関数とする。<br/>
| |
| - | 次の条件のうち1つが成立すれば、残り2つは成立する(互いに同値という）。<br/>
| |
| - | ⅰ）$f$は$V$上で（リーマン）可積分<br/>
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| - | ⅱ）$\lim_{d(\Delta) \to 0}(I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta))=0$<br/>
| |
| - | ⅲ）$\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)$<br/>
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| - | <br/>
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| - | 証明<br/>
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| - | ⅰ）を仮定する。ⅱ）が成立することを示そう。<br/>
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| - | $f$の積分値を$\alpha$とおくと、可積分の定義から、<br/>
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| - | 任意の$\epsilon>0$に対して、$\delta>0$が存在して、<br/>
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| - | $d(\Delta)<\delta$である任意の分割と、その分割の任意の代表点$\xi_i,(i=1,2,,,)$に対し,<br/>
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| - | $|I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)-\alpha |<\frac{1}{2}\epsilon$<br/>
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| - | が成立する。<br/>
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| - | 変形すると<br/>
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| - | $\alpha-\frac{1}{2}\epsilon
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| - | <I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
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| - | <\alpha+\frac{1}{2}\epsilon \qquad (1) $<br/>
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| - | ここで、補題１のⅱ）から、<br/>
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| - | $\inf_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{m}(f,\Delta)$<br/>
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| - | $\sup_{\{\xi_i\}}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n) =I_{M}(f,\Delta)$<br/>
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| - | なので、<br/>
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| - | (1)式から、<br/>
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| - | $\alpha-\frac{1}{2}\epsilon
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| - | \leq
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| - | I_{m}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | I_{M}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | \alpha+\frac{1}{2}\epsilon$<br/>
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| - | これより、任意の$\epsilon>0$に対して、$\delta>0$が存在して、<br/>
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| - | $d(\Delta)<\delta \implies (0\leq I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)\leq \epsilon)$<br/>
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| - | ⅱ）が示せた。<br/>
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| - | ⅱ）を仮定する。 ⅲ）が成り立つことを示す。<br/>
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| - |
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| - | $I_{m}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | \mathscr{s}(f):=\sup_{\Delta}I_{m}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | \mathscr{S}(f):=\inf_{\Delta}I_{M}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | I_{M}(f,\Delta)$<br/>
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| - | なので、<br/>
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| - | $0
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| - | \leq
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| - | \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)
| |
| - | \leq
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| - | I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta)$<br/>
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| - | 故に、分割を細かくしていき、極限をとると、<br/>
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| - | $0
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| - | \leq
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| - | \mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)
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| - | \leq
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| - | \lim_{d(\Delta)\to 0}(I_{M}(f,\Delta)-I_{m}(f,\Delta))$<br/>
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| - | ⅱ）が成立するので、<br/>
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| - | $=0$<br/>
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| - | ⅲ)が示せた。<br/>
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| - | ⅲ）を仮定する。 $\alpha=\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)$とおく。<br/>
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| - | ⅰ）が成り立つことを示そう。<br/>
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| - | 補題１のⅰ)から、どのような分割$\Delta$と、その代表点$\{\xi_i\}_{i}, (\xi_i \in V_i,i=1,2,,,n)$に対しても<br/>
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| - | $I_{m}(f,\Delta)
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| - | \leq
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| - | I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)
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| - | \leq
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| - | I_{M}(f,\Delta)$<br/>
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| - | ここで、ダルブーの定理から、<br/>
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| - | $\lim_{d(\Delta) \to 0}I_{m}(f,\Delta)=\mathscr{s}(f)=\alpha$,<br/>
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| - | $\lim_{d(\Delta) \to 0}I_{M}(f,\Delta)=\mathscr{S}(f)=\alpha$<br/>
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| - | が成り立つので、<br/>
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| - | $\lim_{d(\Delta) \to 0}I^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)=\alpha$ <br/>
| |
| - | が成り立つ。<br/>
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| - | ⅰ）が示せた。<br/>
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| - |
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| - | ====区分的に連続(有限個の点を除いて連続)な閉区間上の関数は積分可能====
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| - | 色々な関数のグラフを書くとつながっているところを、跳んでいるところが出来る。<br/>
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| - | $y=X$のグラフはずっとつながっている。<br/>
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| - | 関数$y=f(x)$を、<br/>
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| - | $x<0$のとき $f(x)=0$, $0\leq x$のとき $f(x)=1$ <br/>
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| - | で定義すると、<br/>
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| - | $x=0$のところでそのグラフは跳んでいる。<br/>
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| - | 連続や不連続は関数の非常に重要な性質であり、<br/>
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| - | それを調べることはとても豊かな知識をもたらす。<br/>
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| - |
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| - | 定理 <br/>
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| - | 有界閉区間上$V=[a,b]$で定義され、実数に値を取る連続関数$f$は、V上で可積分である。<br/>
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| - | 略証；<br/>
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| - | 有界閉区間上の連続関数は[[wikipedia_ja:一様連続 |一様連続]]なので、<br/>
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| - | 任意の$\epsilon>0$に対して、$\delta>0$が存在して、<br/>
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| - | $|x-x'|\leq \delta$を満たす$V$の任意の２点に対して、<br/>
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| - | $|f(x)-f(x')|< \frac{\epsilon}{b-a}$<br/>
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| - | が成立する。<br/>
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| - | $V=[a,b]$の分割$\Delta$を細かくして、<br/>
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| - | $d(\Delta)<\delta$<br/>
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| - | を満たすようにする。<br/>
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| - | すると、その分割によって得られた小区間$V_i(i=1,2,,,n)$の長さは、<br/>
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| - | 全て$\delta$より小さくなるので、<br/>
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| - | $\sup \{f(x)\mid x\in V_i\}-\inf\{f(x)\mid x\in V_i\}<\frac{\epsilon}{b-a}$<br/>
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| - | $M(f;V_i),m(f;V_i)$の定義から<br/>
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| - | $M(f;V_i)-m(f;V_i)<\frac{\epsilon}{b-a}, (i=1,2,,,n)$
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| - | これを用いると、<br/>
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| - | $I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)=\sum_{i=1}^{n} M(f;V_i)v(V_i)-\sum_i m(f;V_i)v(V_i)$<br/>
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| - | $=\sum_i(M(f;V_i)- m(f;V_i))v(V_i)
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| - | \leq
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| - | \sum_i \frac{\epsilon}{b-a}v(V_i)
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| - | =\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^{n}v(V_i)
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| - | =\frac{\epsilon}{b-a}(b-a)
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| - | =\epsilon$<br/>
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| - | 故に、<br/>
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| - | 任意の$\epsilon>0$に対して、$\delta>0$が存在して、<br/>
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| - | $d(\Delta)<\delta$を満たす任意の分割$\Delta$にたいして、<br/>
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| - | $I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)\leq \epsilon$が示せた。<br/>
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| - | $\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq
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| - | I_M(f,\Delta)-I_m(f,\Delta)$<br/>
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| - | なので<br/>
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| - | $\mathscr{S}(f)-\mathscr{s}(f)\leq \epsilon$<br/>
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| - | が任意の$\epsilon>0$にたいして成立する。故に<br/>
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| - | $\mathscr{S}(f)=\mathscr{s}(f)$<br/>
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| - | 可積分条件のⅲ)が示せた。証明終わり。<br/><br/>
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| - | 定理の系；有界閉区間上で定義され、区分的に連続な(有限個の不連続点をもつ)実数値関数$f$は積分可能である。<br/>
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| - | 証明は容易なので略す。
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| - | ====ベクトル値関数の場合 ====
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| - | ベクトル値関数$\vec f$の場合も、リーマン和とリーマン可積分の定義は実数値関数の場合と変わらない。<br/>
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| - | 可積分条件については、<br/>
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| - | 座標系をいれ、関数の各座標成分$\vec{f}_x,\vec{f}_y,\vec{f}_z$を考える。ここで、$\vec{f}_x(t):=\vec{f}(t)_x$である。他も同様。<br/>
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| - | すると区分的連続なベクトル値関数の各成分は区分的連続なので積分可能となり、<br/>
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| - | $\vec f$の積分可能性が示せる。<br/>
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| - | ===原始関数を用いるリーマン積分の計算 ===
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| - | === 一変数関数の変数変換 ===
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| - | ==== 積分計算を便利にする記号法 ====
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| - | === 2変数関数のリーマン積分 ===
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| - | 概要のみ記す。
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