物理/ベクトル解析

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目次

 8.2 ベクトル解析

 ベクトル場の微分

 ベクトル場とスカラー場

 スカラー場の勾配

 ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現 

 ベクトル場の発散

 ベクトル場の回転 

 テンソル表示とテンソル計算

 線積分と面積分 

 単連結領域

 線積分

 保存場

 ポテンシャル

 保存場とポテンシャル(関数) 

定理
 

 ポテンシャルの存在定理

定理(ポアンカレの定理)
  定義(2端を共有する2つの連続曲線の連続可変性)
  定義 単連結領域

命題
定理
$D$;$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域
$F \in C^{1}(D,\bf{R^n})$
とする。
すると次の3条件は同値である。
(1)
(2)
(3)
証明

 ベクトルポテンシャル

磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす(第5章電磁気学参照のこと)。
$A$が$C^2$級のベクトル場ならば
  $F \triangleq rot\ A$とおくと、
$div\ F= 0$
であった。
この逆命題
$div F = 0$ならば
ある$C^2$級のベクトル場$A$が存在して $F = rot A$ 。
がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、 $B = rot A$ と書けることになる。
この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$のベクトルポテンシャルという。

 ベクトルポテンシャルの存在定理 

定理

 面積分

 有向局面

 面積分

グリーンの定理

ストークスの定理

ガウスの発散定理

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