物理/ベクトル解析
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目次 |
8.2 ベクトル解析
ベクトル場の微分
ベクトル場とスカラー場
スカラー場の勾配
ナブラ∇ とそれを用いた勾配の表現
ベクトル場の発散
ベクトル場の回転
テンソル表示とテンソル計算
線積分と面積分
単連結領域
線積分
保存場
ポテンシャル
保存場とポテンシャル(関数)
定理
ポテンシャルの存在定理
定理（ポアンカレの定理）
定義（２端を共有する２つの連続曲線の連続可変性）
定義 単連結領域
命題
定理
$D$；$\bf{R^n}$(i=2,3)の単連結領域
$F \in C^{1}(D,\bf{R^n})$
とする。
すると次の３条件は同値である。
（１）
（２）
（３）
証明
ベクトルポテンシャル
磁場$B$はつねに$div B = 0$を満たす（第５章電磁気学参照のこと）。
$A$が$C^2$級のベクトル場ならば
$F \triangleq rot\ A$とおくと、
$div\ F= 0$
であった。
この逆命題
$div F = 0$ならば
ある$C^2$級のベクトル場$A$が存在して
$F = rot A$ 。
がなりたてば、磁場$B$はつねにある$C^2$級のベクトル場$A$を用いて、
$B = rot A$ と書けることになる。
この$C^2$級のベクトル場$A$を$B$のベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの存在定理
定理
